七年级下册数学教案华师版全.docx
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七年级下册数学教案华师版全
第6章一元一次方程
6.1从实际问题到方程
教学目的
1.通过对多个实际问题的分析,使学生体会到一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。
2.使学生会列一元一次方程解决一些简单的应用题。
3.会判断一个数是不是某个方程的解。
重点、难点
1.重点:
会列一元一次方程解决一些简单的应用题。
2.难点:
弄清题意,找出“相等关系”。
教学过程
一、复习提问
小学里已经学过列方程解简单的应用题,让我们回顾一下,如何列方程解应用题?
例如:
一本笔记本1.2元。
小红有6元钱,那么她最多能买到几本这样的笔记本呢?
解:
设小红能买到工本笔记本,那么根据题意,得
1.2x=6
因为1.2×5=6,所以小红能买到5本笔记本。
二、新授:
我们再来看下面一个例子:
问题1:
某校初中一年级328名师生乘车外出春游,已有2辆校车可以乘坐64人,还需租用44座的客车多少辆?
问:
你能解决这个问题吗?
有哪些方法?
(让学生思考后,回答,教师再作讲评)
问题2:
在课外活动中,张老师发现同学们的年龄大多是13岁,就问同学:
“我今年45岁,几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?
”
小敏同学很快说出了答案。
“三年”。
他是这样算的:
1年后,老师46岁,同学们的年龄是14岁,不是老师的三分之一。
2年后,老师47岁,同学们的年龄是15岁,也不是老师的三分之一。
3年后,老师48岁,同学们的年龄是16岁,恰好是老师的三分之一。
你能否用方程的方法来解呢?
三、巩固练习
1.教科书第3页练习1、2。
2.补充练习:
检验下列各括号内的数是不是它前面方程的解。
(1)x-3(x+2)=6+x(x=3,x=-4)
(2)2y(y-1)=3(y=-1,y=2)
(3)5(x-1)(x-2)=0(x=0,x=1,x=2)
四、小结:
本节课我们主要学习了怎样列方程解应用题的方法,解决一些实际问题。
谈谈你的学习体会。
后记:
6.2.1等式的性质与方程的简单变形
教学目的
通过天平实验,让学生在观察、思考的基础上归纳出方程的两种变形,并能利用它们将简单的方程变形以求出未知数的值。
重点、难点
1.重点:
方程的两种变形。
2.难点:
由具体实例抽象出方程的两种变形。
教学过程
一、引入
上一节课我们学习了列方程解简单的应用题,列出的方程有的我们不会解,我们知道解方程就是把方程变形成x=a形式,本节课,我们将学习如何将方程变形。
二、新授
让我们先做个实验,拿出预先准备好的天平和若干砝码。
测量一些物体的质量时,我们将它放在天干的左盘内,在右盘内放上砝码,当天平处于平衡状态时,显然两边的质量相等。
如果我们在两盘内同时加入相同质量的砝码,这时天平仍然平衡,天平两边盘内同时拿去相同质量的砝码,天平仍然平衡。
如果把天平看成一个方程,课本第4页上的图,你能从天平上砝码的变化联想到方程的变形吗?
由学生自己得出:
方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式,方程的解不变。
方程两边都乘以或除以同一个不为零的数,方程的解不变。
例1.解下列方程
(1)x-5=7
(2)4x=3x-4
解:
(1)两边都加上5,得x=7+5即x=12
(2)两边都减去3x,得x=3x-4-3x即x=-4
注意:
“移项’’是指将方程的某一项从等号的左边移到右边或从右边移到左边,移项时要先变号后移项。
例2.解下列方程
(1)-5x=2
(2)
x=
这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。
三、巩固练习
教科书第7页,练习
四、小结
本节课我们通过天平实验,得出方程的两种变形:
1.把方程两边都加上或减去同一个数或整式方程的解不变。
2.把方程两边都乘以或除以(不等零)的同一个数,方程的解不变。
第①种变形又叫移项,移项别忘了要先变号,注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别。
后记:
6.2.2解一元一次方程
第一课时
教学目的
1.了解一元一次方程的概念。
2.掌握含有括号的一元一次方程的解法。
重点、难点
1.重点;解含有括号的一元一次方程的解法。
2.难点;括号前面是负号时,去括号时忘记变号。
教学过程
一、复习提问
1.解下列方程:
(1)5x-2=8
(2)5+2x=4x
2.去括号法则是什么?
“移项”要注意什么?
二、新授
一元一次方程的概念
前面我们遇到的一些方程,例如44x+64=3283+x=(45+x)y-5=2y+l问:
大家观察这些方程,它们有什么共同特征?
(提示:
观察未知数的个数和未知数的次数。
)
只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是l,这样的方程叫做一元一次方程。
例1.判断下列哪些是一元一次方程
x=3x-2 x-3=-l
5x2-3x+1=0 2x+y=l-3y=5
下面我们再一起来解几个一元一次方程。
例2.解方程
(1)-2(x-1)=4
(2)3(x-2)+1=x-(2x-1)
方程
(1)该怎样解?
由学生独立探索解法,并互相交流
此方程既可以先去括号求解,也可以看作关于(x-1)的一元一次方程进行求解。
第
(2)题可由学生自己完成后讲评,讲评时,强调去括号时把括号外的因数分别乘以括号内的每一项,若括号前面是“-”号,注意去掉括号,要改变括号内的每一项的符号。
补充例题:
解方程3x-[3(x+1)-(1+4)]=l
方程中有多重括号,你会解这个方程吗?
说明:
方程中有多重括号时,一般应按先去小括号,再去中括号,最后去大括号的方法去括号,每去一层括号合并同类项一次,以简便运算。
三、巩固练习
教科书第9页,习题l、2、3。
四、小结
本节课我们学习了一元一次方程的概念,并学习了含有括号的一元一次方程的解法。
用分配律去括号时,不要漏乘括号中的项,并且不要搞错符号。
后记:
6.3实践与探索
教学目的
让学生通过独立思考,积极探索,从而发现;围成的长方形的长和宽在发生变化,但在围的过程中,长方形的周长不变,由此便可建立“等量关系”同时根据计算,发现随着长方形长与宽的变化,长方形的面积也发生变化,且长方形的长与宽越接近时,面积越大。
通过问题3的教学,让学生初步体会数形结合思想的作用。
重点、难点
1.重点:
通过分析图形问题中的数量关系,建立方程解决问题。
2.难点:
找出“等量关系”列出方程。
教学过程
一、复习提问
1.列一元一次方程解应用题的步骤是什么?
2.长方形的周长公式、面积公式。
二、新授
问题1.用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形。
(1)使长方形的宽是长的专,求这个长方形的长和宽。
(2)使长方形的宽比长少4厘米,求这个长方形的面积。
(3)比较
(1)、
(2)所得两个长方形面积的大小,还能围出面积更大的长方形吗?
让学生独立探索解法,并互相交流。
第
(1)小题一般能由学生独立或合作完成,教师也可提示:
与几何图形有关的实际问题,可画出图形,在图上标注相关量的代数式,借助直观形象有助于分析和发现数量关系。
分析:
由题意知,长方形的周长始终不变,长与宽的和为60÷2=30(厘米),解决这个问题时,要抓住这个等量关系。
第
(2)小题的设元,可让学生尝试、讨论,对学生所得到的结论都应给予鼓励,在讨论交流的基础上,使学生知道,不是每道应用题都是直接设元,要认真分析题意,找出能表示整个题意的等量关系,再根据这个等量关系,确定如何设未知数。
(3)当长方形的长为18厘米,宽为12厘米时
长方形的面积=18×12=216(平方厘米)
当长方形的长为17厘米,宽为13厘米时
长方形的面积=221(平方厘米)
∴
(1)中的长方形面积比
(2)中的长方形面积小。
问:
(1)、
(2)中的长方形的长、宽是怎样变化的?
你发现了什么?
如果把
(2)中的宽比长少“4厘米”改为3厘米、2厘米、1厘米、0.5厘米长方形的面积有什么变化?
猜想宽比长少多少时,长方形的面积最大呢?
并加以验证。
通过计算,发现随着长方形长与宽的变化,长方形的面积也发生变
化,并且长和宽的差越小,长方形的面积越大,当长和宽相等,即成正方形时面积最大。
实际上,如果两个正数的和不变,当这两个数相等时,它们的积最大,通过以后的学习,我们就会知道其中的道理。
三、小结
本节课同学们认真思考,积极探索,通过分析图形问题中的数量关系,建立方程解决问题,进一步体会到运用方程解决问题的关键是抓住等量关系,有些等量关系是隐藏的,不明显,同学们要联系实际,积极探索,找出等量关系。
后记:
第七章 二元一次方程组
7.1二元一次方程组和它的解
教学目的
1.使学生了解二元一次方程,二元一次方程组的概念。
2.使学生了解二元一次方程;二元一次方程组的解的含义,会检验一对数是不是它们的解。
3.通过引例的教学,使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系,体会代数方法的优越性。
重点、难点
1.重点:
了解二元一次方程。
二元一次方程组以及二元一次方程
组的解的含义,会检验一对数是否是某个二元一次方程组的解。
2.难点;了解二元一次方程组的解的含义。
教学过程
一、复习提问
1.什么叫一元一次方程?
什么叫一元一次方程的解?
怎样检验一
个数是否是这个方程的解?
2.列方程解应用题的步骤。
二、新授
问题1:
暑假里,《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛,勇士队在第一轮比赛中共赛9场,得17分。
比赛规定胜一场得3分,平一场得1分,负一场得。
分,勇士队在这一轮中只负了2场,那么这个队胜了几场?
又平了几场呢?
这个问题可以用算术方法来解,也可以列一元一次方程来解,请同学们选一种方法试一试。
解后反思:
既然是求两个未知量,那么能不能同时设两个未知数?
学生尝试设勇士队胜了x场,平了y场。
让学生在空格中填人数字或式子:
那么根据填表结果可知
x十y=7①3x+y=17②
这两个方程有什么共同的特点?
(都含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是1)
这里的x、y要同时满足两个条件:
一个是胜与平的场数和是7场;另一个是这些场次的得分一共是17分,也就是说,两个未知数x、y
必须同时满足方程①、②。
因此,把两个方程合在一起,并写成
x+y=7①3x+y=17②
上面,列出的两个方程与一元一次方程不同,每个方程都有两个未知数,并且未知数的次数都是1,像这样的方程,叫做二元一次方程。
把这两个二元一次方程①、②合在一起,就组成了一个二元一次方程组。
结合一元一次方程,二元一次方程对“元”和“次”作进一步的解释;“元”与“未知数”相通,几个元是指几个未知数,“次”指未知数的最高次数。
用算术方法或通过列一元一次方程都可以求得勇士队胜了5场,
平了2场,即x=5,y=2
这里的x=5,与y=2既满足方程①即5十2=7
又满足方程②,即3×5十2=17
我们就说x=5与y=2是二元一次方程组的解。
一般地,使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两
个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。
二元一次方程组的解的检验范例。
三、小结
1.什么是二元一次方程,什么是二元一次方程组?
2.什么是二元一次方程组的解?
如何检验一对数是不是某个方程组的解?
后记:
7.2二元一次方程组的解法
教学目的
1.使学生通过探索,逐步发现解方程组的基本思想是“消元”,化二元——次方程组为一元一次方程。
2.使学生了解“代人消元法”,并掌握直接代入消元法。
3.通过代入消元,使学生初步理解把“未知”转化为“已知”,和复杂问题转化为简单问题的思想方法。
重点、难点
1.重点;用代入法把二元一次方程组转化为一元一次方程。
2.难点:
用代入法求出一个未知数值后,把它代入哪个方程求另一个未知数值较简便。
教学过程
一、复习
1.什么叫二元一次方程,二元一次方程组,二元一次方程组的解?
2.把3x+y=7改写成用x的代数式表示y的形式。
二、新授
回顾上一节课的问题2。
在问题2中,如果设应拆除旧校舍xm2,建新校舍ym2,那么根据
题意可列出方程组。
y-x=20000×30%①
y=4x②
怎样求这个二元一次方程组的解呢?
方程②表明,可以把y看作4x,因此,方程①中的y也可以看着
4x,即将②代人①(得到一元一次方程,实际上此方程就是设应拆除旧校舍xm2,所列的一元一次方程)。
这样就二元转化为一元,把“未知”转化为“已知”。
你能用同样的方法来解问题1中的二元一次方程组吗?
让学生自己概括上面解法的思路,然后试着解方程组。
对有困难的同学,教师加以引导。
并总结出解方程的步骤。
1.选取一个方程,将它写成用一个未知数表示另一个未知数,记作方程③。
2.把③代人另一个方程,得一元一次方程。
3.解这个一元一次方程,得一个未知数的值。
4.把这个未知数的值代人③,求出另一个未知数值,从而得到方程组的解。
以上解法是通过“代人”消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程来解的,这种解法叫做代人消元法,简称代入法。
三、巩固练习
教科书第29页,练习。
四、小结
1.解二元一次方程组的思路。
2.掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤。
后记:
7.4实践与探索
教学目的
通过学生积极思考、互相讨论,经历探索事物之间的数量关系,形成方程模型,解方程和运用方程解决实际问题的过程,进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
重点、难点
1,重点:
让学生实践与探索,运用二元一次方程组解决有关配套问题的应用题。
2.难点:
寻找相等关系以及方程组的整数解问题。
教学过程
一、复习
列二元一次方程组解决实际问题的步骤是什么?
其中什么是关键?
二、新授
问题1.第42页实践与探索中的第一个问题。
学生阅读教科书并与同伴讨论、交流,探索解题方法,鼓励学生多角度地思考,只要学生的方法有道理,就要给予肯定和鼓励。
鼓励学生进行质问和大胆创新。
问题2.第42页实践与探索中的第二个问题。
让学生充分思考,并与伙伴交流后,教师可以提出以下问题:
这里讲的“其中的奥秘”,是指什么?
“奥秘”是指用这8块大小一样的矩形拼成的正方形,为什么中间会留下一个边长为2mm的小正方形的洞?
其中的道理是什么?
三、做一做。
把第6章实践与探索提出的问题,用本章的方法来处理,并比较两种,谈谈你的感受。
问题1:
设长方形的长为xcm,宽为ycm,根据题意列方程组
y=x
x+y=
问题2:
设小明的爸爸前年存了x元,利息税为y元,由题意得:
y=2.43%·x·2·20%
2.43%x·2-y=48.6
问题3:
设小张家到火车站有x千米,乘公共汽车从小张家到火车站要y小时,由题意得:
40x·2=80y
40x+80y=40(x+y+)
四、小结
后记:
第8章一元一次不等式
8.1.1认识不等式
教学目标:
1.认识不等式,能正确理解不等式的概念,弄清不等式的实质;
2.通过对具体问题的分析会列出简单的不等式,用不等式表示简单的数字语言;
3.理解不等式的解的概念,会寻找不等式的解.
教学过程:
一.研究问题:
世纪公园的票价是:
每人5元,一次购票满30张可少收1元.某班有27名少先队员去世公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买了27张票时,爱动脑的李敏同纪学喊住了王小华,提议买30张票.但有的同学不明白.明明只有27个人,买30张票,岂不浪费吗?
那么,究竟李敏的提议对不对呢?
是不是真的浪费呢
二.新课探究:
分析上面的问题
设有x人要进世纪公园,①若x≥30,应该如何买票?
②若x<30,则又该如何买票呢?
结论:
至少要有多少人进公园时,买30张票才合算?
概括:
、不等式的定义:
表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号>,<,≥,≤.
、不等式的解:
能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.
3、不等式的分类:
⑴恒不等式:
-7<-5,3+4>1+4,a+2>a+1.
⑵条件不等式:
x+3>6,a+2>3,y-3>-5.
三、基础训练。
例1、用不等式表示:
⑴a是正数;⑵b不是负数;⑶c是非负数;⑷x的平方是非负数;⑸x的一半小于-1;⑹y与4的和不小于3.
注:
⑴不等式表示代数式之间的不相等关系,与方程表示相等关系相对应;
⑵研究不等关系列不等式的重点是抓关键词,弄清不等关系。
例2、用不等式表示:
⑴a与1的和是正数;⑵x的2倍与y的3倍的差是非负数;⑶x的2倍与1的和大于—1;⑷a的一半与4的差的绝对值不小于a.
例3、当x=2时,不等式x-1<2成立吗?
当x=3呢?
当x=4呢?
注:
⑴检验字母的值能否使不等式成立,只要代入不等式的左右两边,如果符合不等号所表示的关系,就成立,否则就不成立。
⑵代入法是检验不等式的解的重要方法。
后记:
8.2.1不等式的解集
一、教学目标:
(1)使学生掌握不等式的解、不等式的解集的定义。
(2)知道什么是解不等式、不等式解集的表示方法。
二、复习与练习
1、用不等式表示:
(1)x的
与3的差是正数;
(2)2x与1的和小于0;(3)a的2倍与4的差是正数;
(4)b的--
与的和是负数;(5)a与b的差
是非正数;(6)x的绝对值与1的和不小于1;
2、下列各数中,哪些是不等式x+2>5的解?
哪些不是?
--3,--2,--1,0,1.5,3,3.5,5,7。
三、新课探究:
如图:
请你在数轴上表示:
(1)
小于3的正整数;
(2)
不大于3的正整数;
(3)
绝对值小于3大于1的整数;
(4)
绝对值不小于--3的非正整数;
由复习
(2)可知,大于3的每一个数都是不等式x+2>5的解,而不大于3的每一个数都不是它的解。
不等式x+2>5的解有无限多个,它们组成一个集合,称为不等式x+2>5的解集。
不等式x+2>5的解集,可以表示成x>3,也可以在数轴上直观地表示出来,如图
概括:
(1)、一个不等式的所有解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集。
(2)、求不等式的解集的过程,叫做解不等式。
(3)、不等式的解集在数轴上可直观地表示出来,但应注意不等号的类型,小于在左边,大于在右边。
当不等号为“>”“<”时用空心圆圈,当不等号为“
”“
”时用实心圆圈。
四、基础训练。
例1、方程3x=6的解有个,不等式3x<6的解有个。
例2、判断题
(1)x=2是不等式4x<9的一个解;
(2)x=2是不等式4x<9的解集;
(3)不等式4x<9的解集是x<2;(3)不等式4x<9的解集是x<
.
例3、将下列不等式的解集在数轴上表示出来。
(1)x<2
(2)x
(3)-1
后记: 8.2.2不等式的简单变形 教学目标: (1)联系方程的基本变形通过直观的试验与归纳,让学生自主探索得到不等式的基本性质。 (2)综合运用基本性质,会用“作差法”比较两数式的大小。 教学过程: 一、复习练习: 1.不等式 中 的最小整数值是,不等式 ≤2中 的最大整数值是. 2.写出不等式 的一个解是, =7(填“是”或“不是”)不等式 的解,不等式 的解是大于的数. 3.用不等式表示: 的5倍与2的差不大于 与1的和的3倍.. 4.用不等式表示“ 的相反数的4倍减5不小于2”为. 5.“ 不是一个正数”用不等式表示为. 6.“ 与3的差的4倍大于8”用不等式表示为. 7.在数轴上表示下列不等式的解集: (1)x>5. (2).x<-3.(3)x≥-1(4)-1 。 三、新课探究: 1、提问: 在解一元一次方程时,我们主要是对方程进行变形。 那么方程变形的依据是什么? 今天我们来研究解不等式,我们同样应先探究不等式的变形规律。 板书: 解一元一次不等式 (2)——不等式的简单变形 演示书本P58实验,由学生观察得出不等式的性质1,教师概括板书 (1)不等式性质1如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c。 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号方向不变 提问: 不等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,不等号的方向是否也不变呢? 2、将不等式7>4两边都乘以同一数,比较所得的数的大小,用“>”或“<”填空: 7ⅹ34ⅹ37ⅹ14ⅹ1 7ⅹ24ⅹ27ⅹ04ⅹ0 7ⅹ(-1)4ⅹ(-1) 7ⅹ(-2)4ⅹ(-2) 7ⅹ(-3)4ⅹ(-3) 从中你发现了什么? 教师概括: (2)不等式性质2如果a>b,并且c>0,那么ac>bc. (3)不等式性质3如果a>b,并且c<0,那么ac 也就是说,不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变;不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变。 四、基础训练 1、设a (1)a+1b+1; (2)a-3b-3;(3)3a3b;(4)-a_-b; (5)a+2a+3;(6)-4a-5-4a-3(7)则a-2b-1 2、 (1)若m+2 (2)若ac2>bc2,则ab,-a-1-b-1. (3)若a>b,则acbc(c≤0),ac2bc2(c≠0). 后记: 8.2.3解一元一次不等式 一、教学目标: (1)使学生掌握一元一次不等式的概念及其标准形式; (2)用解一元一次方程的步骤来探索解一元一次不等式的一般步骤; (3)会解一元一次不等式,重视数学学习中转化思想的运用。 二、复习提问: (1)不等式的三条基本性质是什么? (2)运用不等式基本性质把下列不等式化成 的形式. ① ② ③ ④ (3)什么叫一元一次方程? 解一元一次方程的步骤是什么? 三、新课探究: 1.一元一次不等式的定义: 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式. 2.一元一次不等式的标准形式是: . 3.求一元一次不等式解集的过程叫解一元一次不等式. 4.解一元一次不等式就是把不等式化成 的形式. 四、基础例解: 例1、解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来: ⑴ ⑵ 例2、⑴解一元一次方程 ,并说说经过哪些步骤。 ⑵请你将⑴中方程改为一元一次不等式,并解此不等式。 ⑶比较⑴与⑵,请你与同学互相讨论,归纳解一元一次方程与解一元一次不等式方法、步骤的异同点,并合作填写下表。 解一元一次方程 解一元一次不等式 相同步骤 区别 学生练习: 课本P62练习1、2. 例3、解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来: ① ② 后记: 8.3一元一次不等式组 一.教学目标: 1.了解一元一次不等式组及其解集的概念。
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