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艾舍尔的数学画
4艾舍尔的数学画
倍受数学家们推崇的荷兰著名艺术家艾舍尔(M.C.Escher,1898~1972)
荷兰著名艺术家艾舍尔(M.C.Escher,1898~1972)生于1898年,少年时期在学校的功课并不理想,除了每周两小时的美术课之外,对其他科目完全没有兴趣。
因此中学曾经留级两年,最后仍然没有正式毕业。
艾舍尔自道:
“绝不是我夸张,我在学校的数学从来没有及格过,真的!
我画里头的‘数学’都是我自己不知不觉表现出来的。
真好玩,现在我有好些数学家朋友,他们当我是个失散多年的亲兄弟一样。
我猜他们一定都不知道,其实我根本一点都不了解数学是什么。
”
艾舍尔的父亲是一位水利工程师,他在多方考虑之后,决定让艾舍尔攻读建筑——如此既可发挥他的艺术天分,将来也才能不愁生计。
艾舍尔遵从父亲的意思,在1919年进了一所建筑与室内设计学校。
不料人算不如天算,不久之后,他便在学校认识了一位教绘图技巧的老师——葡萄牙裔的画家德麦斯奎特(SamuelJessurundeMesquita)。
经过老艾舍尔的勉强同意,艾舍尔终于如愿以偿地转到德氏门下改学绘画。
在德氏门下这段时期,艾舍尔可说是一名很优秀、很认真的学生。
然而,他的表现却并非同学中最杰出的,也还不能算是一位真正的艺术家。
德氏当年写下的评语是:
“他的思想太严谨、头脑过于清晰冷静;就是缺乏艺术家特有的热情与幻想……”
两年之后,德氏认为艾舍尔已经打好绘画的基础——尤其是木刻画,应该是他闯出自己方向的时候了。
于是艾舍尔便在1922年自这所学校毕业。
离开学校以后,艾舍尔仍然与德氏经常保持联系,并常常将自己满意的作品寄给恩师指教。
德氏也很重视这位爱徒,甚至将艾舍尔的作品《天与水之一》(1938)挂在自己工作室的门口,并且还得意洋洋地到处宣扬,说他一位亲戚曾经惊叹:
“我认为这是‘你’画得最好的一幅画……”(德氏全家不幸于1944年遭纳粹杀害,为这段师生之谊画下令人遗憾的句号。
)
艾舍尔毕业后,立刻只身前往意大利旅行。
1922年冬天到翌年春天,住在意大利北部的西恩纳城(Siena),并在那里邂逅来自瑞士的洁特·乌密克(JettaUmiker)——后来的艾舍尔夫人。
洁特可算是个女画家,这主要是受了她母亲的遗传与影响。
艾舍尔与洁特于1924年结婚,婚后定居罗马近郊,在那里一直住到1935年。
著名数学家考克斯特(H.S.M.Coxeter)一向十分欣赏艾舍尔的作品。
有一次他突发奇想,硬把艾舍尔拉到他的课堂旁听。
事先还拍胸脯保证,说他这堂课的内容艾舍尔一定听得懂——因为艾舍尔全都已经画过这些数学结构。
结果一节课下来,艾舍尔一窍不通。
圆限之三
艾舍尔非常喜欢在意大利这十多年的生活。
每年春天——地中海气候最宜人的季节,他都会跟几位艺术家朋友展开为期两个月的写生之旅,足迹遍及意大利南部与西西里、科西嘉和马尔他岛。
两个月后,一行人才拖着疲惫的身躯与丰富的作品回家。
艾舍尔虽然一生工作勤奋,却成名甚晚。
旅居意大利期间,只举办过几个小型画展,帮一两本书画些插图,除此之外几乎没有卖出什么作品。
因而艾舍尔一直无法经济独立,始终要靠父母接济。
直到多年之后,他才终于熬出头:
自1951年开始,每年能顺利卖出许多画作(1951年卖出89幅,1954年则卖出338幅!
)。
不过他之所以成名也不是由于风景写生,而是转变风格后所创作的各种充满哲思的图案画。
可惜艾舍尔的父亲无法看到儿子功成名就的日子。
这位一直无条件支持艾舍尔的老人逝世于1939年,享年96岁。
虽然在他去世前一年,艾舍尔已完成了一幅转型期的杰作——《昼与夜》(1938),老艾舍尔那时却也几乎无法欣赏。
具有讽刺意味的是,后来艾舍尔的三个子女也似乎不太喜欢他们父亲的作品。
1935年,由于墨索里尼政权的威权专制作风,使得艾舍尔再也无法忍受——艾舍尔对于政治完全没有兴趣,他厌恶伪善的政治人物与狂热盲从的群众,更无法接受任何“光明远景”的宣传口号——艾舍尔全家毅然决然迁往瑞士。
可是在那里过了两个冬季后,就因为不习惯漫天“凄惨的白雪”而决心再次迁徙——皑皑白雪从来无法带给艾舍尔一丝创作灵感,他热爱、想望的始终是地中海岸的迷人风光;虽然在瑞士时,他也曾入乡随俗学会滑雪,但却一直不曾消除羁旅过客的心态。
1936年春天,艾舍尔全家如愿以偿地搭乘一艘地中海货轮经西班牙抵达比利时。
决定走水路的主要原因,是艾舍尔一直难忘海洋的呼唤。
有趣的是,整个旅程的全部费用,是事先约定以艾舍尔在途中所画的12幅画(各拓印四份)抵价支付。
途中经过西班牙的短暂停留,对于艾舍尔后期的画作有重大的影响。
在西班牙南部,艾舍尔夫妇足足花了三天时间研究摩尔人(Moor)的镶嵌装饰艺术(摩尔人原住非洲西北部,8世纪时曾占领西班牙)。
这些摩尔人用于墙壁和地板上的装饰图案,便是艾舍尔日后创作规则性平面镶嵌画的主要灵感来源。
1937年,艾舍尔一家搬到了比利时首都布鲁塞尔附近的小城,却又因为二次大战爆发,成了不受欢迎、“浪费比利时粮食”的外国人。
1941年一月,全家终于定居荷兰,结束了艾舍尔近20年的“长途旅行”与为期6年“大迁移”。
数学与艺术4-2(转)
2008年04月16日星期三下午02:
47
然而艾舍尔之所以成为今天的艾舍尔,却也要归功于这一趟迁移。
如果他一直留在罗马,
艾舍尔的素描:
摩尔人的镶嵌艺术(铅笔画,1936)
魔镜
一定还会继续陶醉在地中海美丽的风光中流连忘返。
但自从离开意大利之后,昔日的美景不再,只好转而向自己的内心世界展开另一场无尽之旅。
然而过去多年的写生习作却也没白废——这时艾舍尔不但已在画室中堆满数百张作品,心中更是早已“胸有成竹”。
在转变画风后,他将高超的写生技巧用于图案画的背景或空白处,造成一种相得益彰的特殊效果。
直到1972年3月27日逝世为止,艾舍尔最后30年的时光几乎都是在荷兰度过的——纵使阴湿寒冷的气候并非艾舍尔所爱,然而祖国的温馨却是他创作的另一重要原动力。
经过多年的潜心钻研与自我超越,艾舍尔终于以其独特的风格成为一位独一无二的大画家。
这里我们主要介绍他的平面镶嵌画。
8-4-1平面图案镶嵌
平面的规则分割称作“镶嵌”,即将封闭平面图形互不重叠排列起来,完全覆盖平面而不留空隙。
如铺在地板上的正方形地转。
古希腊毕达哥拉斯学派已经发现:
正多边形中只有三种能够镶嵌整个平面。
如下图所示。
平面的正三角形镶嵌
平面的正方形镶嵌
平面的正六边形镶嵌
但艾舍尔对各种镶嵌都十分着迷,不管是规则的还是不规则的。
他还特别钟爱所谓的“变形”(metamorphoses):
图形变化,且相互作用。
前已提及,他对于镶嵌的兴趣始于1936年旅行西班牙的时候。
他花三天时间描这些镶嵌画,后来他自己声称,这是他“曾经发掘过的最丰富的灵感的源泉”。
1957年,他写了一篇关于填充画的文章,文中评论说:
在数学方面,人们已经从理论上考虑过平面的规则划分……这是否意味着它仅仅是一个数学问题呢?
在我看来,不是的。
数学已经打开了通往一片广阔领域的大门,但它还没有进入这一领域。
它对于如何打开大门的方式,比门后面的花园更感兴趣。
艾舍尔在他的平面镶嵌画中开拓性地使用了一些基本的图案,并应用了反射、滑动反射、平移、旋转等数学方法,获得了更多的图案。
他还将基本的图形进行变形,成为动物、鸟和别的图形。
变化后的图形服从三重、四重、或六重对称。
效果既惊人又美观。
一位俄国数学家对他说:
“你比我们任何一位都懂得更多。
”
艾舍尔镶嵌图案的构造
爬虫的平面镶嵌(1939)
鸟的规则平面镶嵌(木刻,1949)
天鹅的规则平面镶嵌
骑马的人:
平面的规则镶嵌
昼与夜(木刻,1938)
天与水之一(1938)
在《爬虫》(Reptiles)中,状似蜥蜴的爬虫,爬出平面拼图,登上精装书,行过三角尺,跃上十二面体,胜利地朝天喷气,转上钢杯,“疲倦但满足地回到对称的平面世界里”(艾舍尔语)。
艾舍尔在许多六边形镶嵌中使用这爬虫图案。
爬虫(版画,1943)
8-4-2正多面体
艾舍尔对于正多面体特别着迷,他的许多作品都以此为主题。
我们知道,世界上只有五种正多面体——柏拉图立体:
正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
在木刻画《四种正多面体》中,艾舍尔将四种正多面体画在一起,他们的对称轴是同一条直线;四种图形是半透明的,每一个图形都可以从别的图形中看出来。
四个正多面体(木刻,黑、黄、红三色,1961)
将正多面体的每一面代以一个棱锥体,即可将正多面体可以变成许多有趣的星形体。
一个很漂亮的例子是艾舍尔的《秩序与混乱》(OrderandChaos)中的十二面星体。
星体居于一个透明的球体之中,其冷峻的美与四周乱糟糟的零碎杂物形成了鲜明的对照。
可以看出,观察者左上方明亮的窗户映在球体中。
秩序与混乱(版画,1950)
引力(1952)
相交立体也见于艾舍尔的许多作品中,最有趣者之一是木雕版画《星星》(Stars)。
画中有相交立体有正八面体、四面体和正方体等。
艾舍尔在多面体中画了变色龙,打破了我们通常的舒适的感性习惯,促使人们以新的眼光来看他作品中的事物。
这当然是数学家之所以推崇艾舍尔作品的又一原因——因为所有数学发现的背后正有着这样一种感性的新颖性。
星星(木版画,1948)
《双小行星》是由两座结构繁复的四面体相互交叉而组成。
其中一座像个四角岩石山巅,上面怪莽野卉、猛兽异禽,象征着自然的造化。
另一座则是人工的建筑,尖塔奇楼、玄梁妙壁,代表人类的工艺,整座双小行星的结构,杂乱与对称、蛮荒与文明交错鼎立,岩石的四面体尖顶又恰自工事四面体的城门突出,直堪称鬼斧神工。
艾舍尔此画的设计,令人想起科幻小说中所谓的天体工程(astroengineering);天体工程学幻想有朝一日,人类的科学技术能进步到可以改造太空中的星体,或建立配合星体的巨大工事,比如说:
在太空轨道上建造环绕地球的环形城市,将小行星中心挖空再装上喷射推进引擎而成的太空船,朝黑洞倾倒垃圾藉以带动发电机的能源工厂,将数颗行星融合后重制成更硕大的人工球壳星等等。
艾舍尔完成《双小行星》时是1949年,当时他是否接触到正方兴未艾的科幻风潮,已不可考。
但许多天体工程学的概念,如黑洞能源厂、小行星太空船等,都是1949年后的事。
双小行星(木刻,1949)
若将《双小行星》视为天体工程的设计,那艾舍尔可就是先驱者了!
《四面体小行星》与《双小行星》类似,但却是机关布景更复杂的精密建构。
如果说《双小行星》是天体工程的设计,那么《四面体小行星》就是太空工程的产物。
电影《星际大战》中,一再被绝地武士炸毁的帝国“死星”,就是颗硕大无朋的金属人工星球。
太空工程与天体工程不同之处,在于太空工程并不涉及大规模改造自然星体,而是试图建立完全人造的工事,例如:
月球基地、太空站、星舰、人造星球等。
与《双小行星》相同,《四面体小行星》也有个重力中心,四个面、六个边和四个尖角上的人与物都受向心的重力场牵引,不至受力方向错乱或飘浮太空。
球形的大气层包著这颗小行星,四个尖角穿出大气层——依艾舍尔的解释,尖角上的空气仍足够上面的人呼吸。
再细看其精细结构,可以发现每个面上建筑物所包围的环状岛附近,都有可供小舟划行的水道,水道四通八达,可通往小行星其他的面上。
水道的设计犹若威尼斯,屋宇房舍也是传统意大利式,人们自在地泛舟于水道里,徜徉在城楼上,穿梭于拱桥间,享受著美丽小世界里的阳光、空气和水。
这样的设计实在是最浪漫的古典式太空工艺。
四面体小行星(木刻,1954)
《扁虫》里的大眼睛扁虫,悠游于一处由四面体及八面体块构筑的空间里。
这样的建筑并非常见的方形砖块所砌成,亦无水平的地板或垂直的墙,并不适合人类居住,却恰恰能让扁虫睁著水汪汪的大眼,自自在在地漫游其间。
而这样的建构,若不视为扁虫的水族箱,纯就空间设计而言,也极具现代化的风味。
整个由多面体作为单元的构造,亦像是科幻电影里太空站的内舱。
艾舍尔的其他几幅关于多面体的画作,则是更具科幻意味的设计。
扁虫(版画,1959)
8-4-3 莫比乌斯带、结、螺线
艾舍尔对于拓扑学很感兴趣。
拓扑学研究的是图形在变化的时候(不撕开)的不变性质,在艾舍尔生活的时代,正是拓扑学方兴未艾的时候。
莫比乌斯带或许是最早的例子。
对此艾舍尔创作了许多作品。
莫比乌斯带只有一侧。
如果你沿着艾舍尔的《莫比乌斯带》(之二)(M?
biusStripII)上的蚂蚁所走的路线去走,你会发现:
它们根本不是在带的相反的两侧走——它们都走在相同的一侧。
莫比乌斯带(之一)(木刻、木版,1961)
骑马的人(木版,1946)
莫比乌斯带(之二)(木刻,1963)
天鹅(木刻,1956)
结(木版,1965)
结(1966)
螺线(木版,1953)
有鱼的球面(木刻,1958)
球面螺线(木刻,1958)
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