1特殊平行四边形知识归纳和题型精讲.docx
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1特殊平行四边形知识归纳和题型精讲
特殊平行四边形相关知识归纳
和常见题型精讲
矩形
菱形
正方形
性
质
边
对边平行且相等
对边平行,四边相等
对边平行,四边相等
角
四个角都是直角
对角相等
四个角都是直角
对角线
互相平分且相等
互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判定
·有三个角是直角;
·是平行四边形且有一个角是直角;
·是平行四边形且两条对角线相等.
·四边相等的四边形;
·是平行四边形且有一组邻边相等;
·是平行四边形且两条对角线互相垂直。
·是矩形,且有一组邻边相等;
·是菱形,且有一个角是直角。
对称性
既是轴对称图形,又是中心对称图形
一.矩形
矩形定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).
矩形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,矩形也是轴对称图形,对称轴是通过对边中点的直线,有两条对称轴;
矩形的性质:
(具有平行四边形的一切特征)
矩形性质1:
矩形的四个角都是直角.
矩形性质2:
矩形的对角线相等且互相平分.
如图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,由性质2有AO=BO=CO=DO=
AC=
BD.因此可以得到直角三角形的一个性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
矩形的判定方法.
矩形判定方法1:
对角钱相等的平行四边形是矩形.
矩形判定方法2:
有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形判定方法3:
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形判定方法4:
(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
例1已知:
如图,矩形ABCD,AB长8cm,对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.
例2已知:
如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于F,若AE=BC.求证:
CE=EF.
例3.如图,已知矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.
例4、如图,在ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证:
AB=CF;
(2)当BC与AF满足什么数量关系时,四边形ABFC
是矩形,并说明理由.
二.菱形
菱形定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
【强调】 菱形
(1)是平行四边形;
(2)一组邻边相等.
菱形的性质
性质1菱形的四条边都相等;
性质2菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角;
菱形的判定
菱形判定方法1:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
注意此方法包括两个条件:
(1)是一个平行四边形;
(2)两条对角线互相垂直.
菱形判定方法2:
四边都相等的四边形是菱形.
例1 已知:
如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.
求证:
∠AFD=∠CBE.
例2已知:
如图
ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.
求证:
四边形AFCE是菱形.
例3、如图,在ABCD中,O是对角线AC的中点,过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F,求证:
四边形AFCE是菱形.
例4、已知如图,菱形ABCD中,E是BC上一点,AE、BD交于M,
若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。
求证:
AM=BE。
例5.(10湖南益阳)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,
=4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.
(1)求线段
的长.
例6、(2008四川自贡)如图,四边形ABCD是菱形,DE⊥AB交BA的延长线于E,DF⊥BC,交BC的延长线于F。
请你猜想DE与DF的大小有什么关系?
并证明你的猜想
例7、(2008山东烟台)
如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.
(1)求证:
△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由;
(3)设△BEF的面积为S,求S的取值范围.
三.正方形
正方形是在平行四边形的前提下定义的,它包含两层意思:
①有一组邻边相等的平行四边形(菱形)
②有一个角是直角的平行四边形(矩形)
正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的菱形.
正方形定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,正方形又是轴对称图形,对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线,共有四条对称轴;
因为正方形是平行四边形、矩形,又是菱形,所以它的性质是它们性质的综合,正方形的性质总结如下:
边:
对边平行,四边相等;
角:
四个角都是直角;
对角线:
对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.
注意:
正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质.
正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.
正方形的判定方法:
•
(1)有一个角是直角的菱形是正方形;
•
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形.
•注意:
1、正方形概念的三个要点:
•
(1)是平行四边形;
•
(2)有一个角是直角;
•(3)有一组邻边相等.
2、要确定一个四边形是正方形,应先确定它是菱形或是矩形,然后再加上相应的条件,确定是正方形.
例1已知:
如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.
求证:
OE=OF.
例2已知:
如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点.
求证:
四边形PQMN是正方形.
例3、(2008海南)如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且PE=PB.
(1)求证:
①PE=PD;②PE⊥PD;
(2)设AP=x,△PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值.
例4.(2006年河南省)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,E为底边BC的中点,且DE∥AB,试判断△ADE的形状,并给出证明.
例5:
(2008深圳)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,DB平分∠ADC,过点A作AE∥BD,交CD的延长线于点E,且∠C=2∠E.
(1)求证:
梯形ABCD是等腰梯形.
(2)若∠BDC=30°,AD=5,求CD的长.
例题讲解
例一.分析:
(1)因为矩形四个角都是直角,因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质,而此题利用方程的思想,解决直角三角形中的计算,这是几何计算题中常用的方法.
解:
设AD=xcm,则对角线长(x+4)cm,在Rt△ABD中,由勾股定理:
,解得x=6.则AD=6cm.
(2)“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形,利用面积公式,可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式:
AE×DB=AD×AB,解得AE=4.8cm.
例二分析:
CE、EF分别是BC,AE等线段上的一部分,若AF=BE,则问题解决,而证明AF=BE,只要证明△ABE≌△DFA即可,在矩形中容易构造全等的直角三角形.
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,且AD∥BC.∴∠1=∠2.
∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°.
∴∠B=∠AFD.又AD=AE,
∴△ABE≌△DFA(AAS).
∴AF=BE.
∴EF=EC.
此题还可以连接DE,证明△DEF≌△DEC,得到EF=EC.
菱形例1证明:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ CB=CD,CA平分∠BCD.
∴ ∠BCE=∠DCE.又CE=CE,
∴△BCE≌△COB(SAS).
∴ ∠CBE=∠CDE.
∵ 在菱形ABCD中,AB∥CD,∴∠AFD=∠FDC
∴ ∠AFD=∠CBE.
例2证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AE∥FC.
∴ ∠1=∠2.
又 ∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴ △AOE≌△COF.
∴ EO=FO.
∴ 四边形AFCE是平行四边形.
又 EF⊥AC,
∴
AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
例6、解:
DE=DF
证明如下:
连结BD
∵四边形ABCD是菱形
∴∠CBD=∠ABD(菱形的对角线平分一组对角)
∵DF⊥BC,DE⊥AB
∴DF=DE(角平分线上的点到角两边的距离相等)
例7、
正方形例1分析:
要证明OE=OF,只需证明△AEO≌△DFO,由于正方形的对角线垂直平分且相等,可以得到∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO,根据ASA可以得到这两个三角形全等,故结论可得.
证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等).
又DG⊥AE,∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.
∴∠EAO=∠FDO.
∴△AEO≌△DFO.
∴OE=OF.
例2分析:
由已知可以证出四边形PQMN是矩形,再证△ABM≌△DAN,证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP.即可证出MN=NP.从而得出结论.
证明:
∵ PN⊥l1,QM⊥l1,
∴PN∥QM,∠PNM=90°.
∵ PQ∥NM,
∴ 四边形PQMN是矩形.
∵四边形ABCD是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).
∴ ∠1+∠2=90°.
又 ∠3+∠2=90°,∴ ∠1=∠3.
∴△ABM≌△DAN.
∴AM=DN.同理AN=DP.
∴AM+AN=DN+DP
即MN=PN.
∴ 四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
例3
(1)证法一:
①∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,
∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°.
∵PC=PC,
∴△PBC≌△PDC(SAS).
∴PB=PD,∠PBC=∠PDC.
又∵PB=PE,
∴PE=PD.
②(i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时,
∵PB=PE,
∴∠PBE=∠PEB,
∴∠PEB=∠PDC,
∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°,
∴∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°,
∴PE⊥PD.)
(ii)当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,此时,PE⊥PD.
(iii)当点E在BC的延长线上时,如图.
∵∠PEC=∠PDC,∠1=∠2,
∴∠DPE=∠DCE=90°,
∴PE⊥PD.
综合(i)(ii)(iii),PE⊥PD.
(2)①过点P作PF⊥BC,垂足为F,则BF=FE.
∵AP=x,AC=
,
∴PC=
-x,PF=FC=
.
BF=FE=1-FC=1-(
)=
.
∴S△PBE=BF·PF=
(
)
.
即
(0<x<
).
②
.
∵
<0,
∴当
时,y最大值
.
(1)证法二:
①过点P作GF∥AB,分别交AD、BC于G、F.如图所示.
∵四边形ABCD是正方形,
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形,
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
∴GD=FC=FP,GP=AG=BF,∠PGD=∠PFE=90°.
又∵PB=PE,
∴BF=FE,
∴GP=FE,
∴△EFP≌△PGD(SAS).
∴PE=PD.
②∴∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°.
∴∠DPE=90°.
∴PE⊥PD.
(2)①∵AP=x,
∴BF=PG=
,PF=1-
.
∴S△PBE=BF·PF=
(
)
.
即
(0<x<
).
②
.
∵
<0,
∴当
时,y最大值
.
(注:
用其它方法求解参照以上标准给分.)
例4【解析】△ADE是等边三角形.
理由如下:
∵AB=CD,∴梯形ABCD为等腰梯形,
∵∠B=∠C.
∴E为BC的中点,
∵BE=CE.
在△ABE和△DCE中,
∵
∴△ABE≌△DCE.
∵AE=DE.
∴AD∥BC,DE∥AB,
∴四边形ABCD为平行四边形.
∴AB=DE
∵AB=AD,
∴AD=AE=DE.
∴△ADE为等边三角形.
例5:
(1)证明:
∵AE∥BD,∴∠E=∠BDC
∵DB平分∠ADC∴∠ADC=2∠BDC
又∵∠C=2∠E
∴∠ADC=∠BCD
∴梯形ABCD是等腰梯形
(2)解:
由第
(1)问,得∠C=2∠E=2∠BDC=60°,且BC=AD=5
∵在△BCD中,∠C=60°,∠BDC=30°
∴∠DBC=90°
∴DC=2BC=10
完
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