带电粒子在磁场中运动最小面积问题.docx

带电粒子在磁场中运动最小面积问题.docx

《带电粒子在磁场中运动最小面积问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《带电粒子在磁场中运动最小面积问题.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

带电粒子在磁场中运动最小面积问题

B的匀强磁场，要求这些电子穿

磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后,如图所示（粒子重力忽略不计）.试求：

（1）圆形磁场区域的最小面积.

（2）粒子从0点进入磁场区域到达b点所经历的时间.

（3）b点的坐标.

从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角30°,

带电粒子在磁场中运动最小面积问题

例1.在xOy平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e）,从坐标原点0不断以相同大小的速度v沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy平面的磁感应强度为过该磁场后都能沿平行于x轴正方向运动，试求出符合条件的磁场最小面积

例2.一质量为m带电荷量为q的粒子以速度v0从0点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的一圆形匀强

例3.—个质量为m带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正二角形ABC为了使该粒子能在AC边上的N点图示（CM=CN）垂直于AC边飞出三角形ABC可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力.试

求：

（1）粒子在磁场里运动的轨迹半径r及周期T;

（2）该粒子在磁场里运动的时间t;

（3）该正三角形磁场区域的最小边长；

针对训练

1.（09年海南高考）如图甲所示，ABCD是边长为a的正方形.质量为m电荷量为e的电子以大小为V。

的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点

入射，都只能从A点射出磁场.不计重力，求:

（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向.

（2）此匀强磁场区域的最小面积.

2.（09年福建卷）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强

磁场，磁感应强度大小B=2.0X10-3T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5X104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。

（1）求上述粒子的比荷q/m

（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；

（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内,

求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

3、（1994年全国高考试题）如图12所示，一带电质点，质量为m电量为q,以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，

可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，

试求这圆形磁场区域的最小半径。

重力忽略不计。

4.[2010•宁波模拟]如图甲所示，水平放置的平行金属板A和B间的距离为d,板长L=2.-'3d,B板的右侧边缘恰好是倾斜挡板NM上的一个小孔K,NM与水平挡板NP成60°角，K与N间的距离KN=a.现有质量为m带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，从AB的中点0以平行于金属板方向00的速度V。

不断射入，不计粒子所受的重力.

（1）若在AB板上加一恒定电压U=Ub,则要使粒子穿过金属板后恰好打到小孔K,求U。

的大小.

一2L

（2）若在AB板上加上如图乙所示的电压，电压为正表示A板比B板的电势高，其中T=，且粒子只在

Vo

0〜T时间内入射，则能打到小孔K的粒子在何时从0点射入？

（3）在NM和NP两挡板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场，使满足条件

（2）从小孔K飞入的粒

子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP上（之前与挡板没有碰撞），求该磁场的磁感应强度的最小值.

5.如图，一带电粒子以某一速度在竖直平面内做匀速直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面向里、磁感应强度为B的最小的圆形匀强磁场区域（图中未画出磁场区域），粒子飞出磁场后垂直电场方向进入宽为L的匀强电场，电场强度大小为E,方向竖直向上.当粒子穿出电场时速率变为原来的：

2倍.已知带

电粒子的质量为m,电荷量为q,重力不计.粒子进入磁场前的速度与水平方向成60°角.试回答：

（1）粒子带什么电？

（2）带电粒子在磁场中运动时速度多大？

:

:

（3）该最小的圆形磁场区域的面积为多大？

:

总

参考答案

例1.在xOy平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e）,从坐标原点0不断以相同大小的速度v沿不同的

方向射入第一象限，如图所示.现加上一个垂直于xOy平面的磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x轴正方向运动，试求出符合条件的磁场最小面积•

解：

由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径R=mv/Be是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的

运动轨道如图所示，因为电子只能向

第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆0,它就是磁场的上边界。

其它各圆轨迹的

圆心所连成的线必为以点0为圆心，以R为半径的圆弧0020。

由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。

如对图中任一轨迹圆02而言，要使电子

能平行于x轴向右飞出磁场，过02作弦的垂线C2A,则电子必将从点A飞出，相当于将此轨迹的圆心Q沿

y方向平移了半径R即为此电子的出场位置。

由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧OQO沿y方向向上

平移了半径R后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP示。

综上所述，要求的磁场的最小区域为弧

OAP与弧OBP所围。

利用正方形OOPC的面积减去扇形OOP的面积即为OBPC勺面积；即於-nR/4。

根据几何关系有最小磁场区域的面积为S=2（氐nR/4）=（n/2-1）（mv/Be）2。

例2.一质量为m带电荷量为磁场区域，磁场方向垂直于纸面，如图所示（粒子重力忽略不计）.

（1）圆形磁场区域的最小面积.

（2）粒子从O点进入磁场区域到达

（3）b点的坐标.

q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为粒子飞出磁场区域后，试求：

B的一圆形匀强从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向夹角30°,

b点所经历的时间.

解析：

（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径

m\0

R=qB

由图可知/aOb=60°磁场区域最小半径

_L3mv

2qB

r=Rcos30°

22

磁场区域最小面积S=n「=^2.

4qB

2nm⑵由O到a过程所经历的时间11=-

3Bq

由几何关系得ab=、；3R=

粒子由a到b所经历的时间t

ab3m

2

V0Bq

b点所经历的时间

•••粒子从O点进入磁场区域到达

m2厂

t=11+t2=Bq（3n+：

3）.

R

⑶因为sin30°=o^b，

3mvo

•O'b=2R得Ob=3R=Bq

,一，3mvo

故b点的坐标为（，0）.

qB

例3、一个质量为m带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC为了使该粒子能在AC边上的N点图示（CM=CN）垂直于AC边飞出三角形ABC可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力.试

求：

（1）粒子在磁场里运动的轨迹半径

（2）该粒子在磁场里运动的时间t;

（3）该正三角形磁场区域的最小边长；

…

r及周期T;

I解析］

（1）由qvB=T=—

九nrrr

⑵

c

粒了偏转的圏心克I为3帕。

5

16J3#

2）连接aO并延长与be交与H点,山图可inaO^lr.OH^r.

aO\Oil_2_mv4\r3

Lar=_cos30°_=cos30°=妙?

（31"

针对训练

1如图甲所示，ABCD是边长为a的正方形.质量为m电荷量为e的电子以大小为v的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射，都只能从

A点射出磁场.不计重力，求：

（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向.

（2）此匀强磁场区域的最小面积.

象限区域内有垂直于纸面

向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0X10-3T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5X104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐

标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重

力。

直径，由几何关系得

r丄

2

①

y

X

K

衫

X

[

\牡

k

o

\T

AhU

甲

由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得

2

vqvBmr

联立①②并代入数据得

q

m=4.9x107C/kg（或5.0x107C/kg）③

（2）设所加电场的场强大小为E。

如图乙，当粒子子经过Q点时，速度沿y轴正方向，依题意，在此时加

入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有

qEqvB④

代入数据得

E70N/C⑤

所加电场的长枪方向沿x轴正方向。

由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角为45°,设带点粒子做匀

速圆周运动的周期为T,所求时间为t，则有

⑥

联立①⑥⑦并代入数据得

t7.9106s⑧

（3）如图丙，所求的最小矩形是MMFP，该区域面积

S2r

联立①⑨并代入数据得

S0.25m

矩形如图丙中MMjRP（虚线）、

3、（1994年全国高考试题）如图12所示，一带电质点，质量为m电量为q,以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，

可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，

试求这圆形磁场区域的最小半径。

重力忽略不计。

解析：

质点在磁场中作半径为R的圆周运动，

qvB=（M（）/R，得R=（MV/（qB）。

根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、

出射方向的速度相切。

如图13所示，过a点作平行于x轴的直线，过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线均相距R的0'点就是圆周的圆心。

质点在磁场区域中的轨道就是以0'为圆心、R为半径的圆（图

中虚线圆）上的圆弧MNM点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上。

在通过MN两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周。

所以本题所求的圆形磁场

区域的最小半径为：

所求磁场区域如图13所示中实线圆所示。

4[2010•宁波模拟]如图39-5甲所示，水平放置的平行金属板A和B间的距离为d,板长L=2,3d,B

板的右侧边缘恰好是倾斜挡板NM上的一个小孔K,NM与水平挡板NP成60°角，K与N间的距离KN=a.

现有质量为m带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，从AB的中点0以平行于金属板方向00的速度vo不断射入，不计粒子所受的重力.

2

m\o例23F

［解析］

（1）A、

L=Vot①

d=iquot2②

22md

把L=23d代入①②式可得:

甲乙

图39-5

（1）若在AB板上加一恒定电压U=Ub，则要使粒子穿过金属板后恰好打到小孔K,求U）的大小.

⑵若在AB板上加上如图乙所示的电压，电压为正表示A板比B板的电势高，其中T=—，且粒子只在

Vo

o〜T时间内入射，则能打到小孔K的粒子在何时从0点射入？

（3）在NM和NP两挡板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场，使满足条件

（2）从小孔K飞入的粒

子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP上（之前与挡板没有碰撞），求该磁场的磁感应强度的最小值.

T6—2\/3m\o

⑵tx=4⑶一諾一

B板间加上电压后，带电粒子做类平抛运动，则:

-tx时刻开始做类抛运动，平抛的时间为tx,则:

汁x④

2md

把③代入④式可得：

tX=T⑤

4

⑶在］射入的粒子，在进入K时竖直方向的分速度为Vy,则

4

q-4UoTVo

Vy=atx=飞丁'4=-3⑥

tan9=也冷⑦

vo3

2彳^/

V=Vo+Vy=~^Vo

3

则9=30°,即粒子垂直MN板入射•如图甲所示，粒子从K点入射后做匀速直线运动从D点开始进入磁

NP则粒

场，粒子在进入磁场后，根据左手定则，所受的洛伦兹力斜向上，要使粒子能垂直打到水平挡板子需偏转300°后从E射出，做匀速直线运动垂直打到NP.

M

图甲

粒子做圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，即

2

mv_qvB=⑧

r

—mv

可得b=qr⑨

要使B最小，则要半径r最大，临界情况是圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，如图乙所示，根据对称性圆周运动的圆心C、交点G位于/MNP勺角平分线上，则由几何关系可得：

N

CDKF是边长为r的正方形.则在三角形NCF中，有

.'3r=a+r,

可得r=.-一

—1

翻—1mv6—^3m\0

B=

qa3qa

5.（2011年辽宁抚顺六校联合体模拟）如图8—3—5所示，一带电粒子以某一速度在竖直平面内做匀速直线运动，经过一段时间后进入一垂直于纸面向里、磁感应强度为B的最小的圆形匀强磁场区域（图中未画

出磁场区域），粒子飞出磁场后垂直电场方向进入宽为L的匀强电场，电场强度大小为E,方向竖直向上.当

粒子穿出电场时速率变为原来的2倍.已知带电粒子的质量为m电荷量为q，重力不计.粒子进入磁

场前的速度与水平方向成60°角.试回答：

（1）粒子带什么电？

（2）带电粒子在磁场中运动时速度多大？

（3）该最小的圆形磁场区域的面积为多大?

*\'旳

:

・5匸£—

：

'一臥\ZR

解析：

（1）根据粒子在磁场中偏转的情况和左手定则可知，粒子带负电.

（2）由于洛伦兹力对粒子不做功，故粒子以原来的速率进入电场中，设带电粒子进入电场的初速度为vo,

在电场中偏转时做类平抛运动，由题意知粒子离开电场时的末速度大小为vt=2vo,将vt分解为垂直于电场方向（x轴方向）和平行于电场方向（y轴方向）的两个分速度：

由几何关系知

Vx=Vy=vo,

L

Vy=at,vo=-,

F

a=mF=Eq

联立以上各式可解得：

vo=~m*

设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R,圆形

⑶如图所示，带电粒子在磁场中所受洛伦兹力提供向心力,磁场区域的半径为r，则:

2

mv>

Bqvo=—

由几何知识可得：

r=Rsin30°磁场区域的最小面积为S=nr

联立以上各式可解得

nmEL

4B2q.