第二章 整式的加减整式的加减.docx

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第二章整式的加减整式的加减

一、教学目标：

（一）知识目标

1.会用字母表示数量关系；

2.会进行整式加减运算，并能说明其中的算理；

3．熟练掌握整式加减运算；

（二）能力目标

1.在进行整式加减运算的过程中，发展有条理的思考及语言表达能力；

2.在实际情景中，进一步发展符号感.

（三）情感目标

1.在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心；

2.在解决问题的过程中，获得成就感，培养学习数学的兴趣.

二、教学重难点：

（一）教学重点

1.经历字母表示数的过程，发展符号感.

2.会进行整式加减运算，并能说明其中的算理.

3．经历“由特例归纳、建立猜想、用符号表示，并给出证明”这一重要的数学探索过程.

（二）教学难点

1．灵活地列出算式和去括号.

2．利用整式的加减运算，解决简单的实际问题.

三、教学方法：

活动——讨论法；探究——交流法.

四、教具准备：

投影片

五、教学安排：

2课时.

六、教学过程：

第一课时：

在开始课堂之前，让学生先来看一个数学小幽默：

参看课件——整式的加减_

数学小幽默.

Ⅰ.提出问

题，引入新课

［师］下面我们先来做一个游戏：

（1）任意写一个两位数；

（2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个数；

（3）求这个两位数的和.

［生］我取了一个两位数12；交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到数21；求得这两个数的和是33.

我又取了一个两位数29；交换个位和十位上的数字得到92；求得这两个数的和是121.

最

后，我取了一个两位数31；交换个位和十位上的数字得到13；求得这两个数的和是44.

观察可以发现这些和都是11的倍数.例如33是11的3倍，121是11的11倍，44是11的4倍.

［师］这个规律是不是对任意的两位数都成立呢？

为什么？

（鼓励同伴之间互相讨论，相互启发）

［生］对于任意一个两位数，我们可以用字母表示数的形式表示出来，设a、b分别表示两位数十位上的数字和个位上的数字，那么这个两位数可以表示为：

10a+b.交换这个两位数的十位数字和个位数字，就得到一个新的两位数是：

10b+a.

这两个数相加：

（10a+b）+（10b+a）=10a+b+10b+a=（10a+a）+（b+10b）=11a+11b

根据运算的结果，可知一个两位数，交换它十位和个位上数字，得到一个新两位数，这两数的和是11的倍数.

［师］很棒！

（10a+b）+（10b+a）是什么样的运算呢？

10a+b与10b+a都是什么样的代数式？

［生］10a+b与10b+a是多项式，也就是整式，因此（10a+b）+（10b+a）是整式的加法.

［师］如果要是求这两个数的差，又如何列出计算的式子呢？

［生］（10a+b）－（10b+a）.

［师］这就是整式的减法.你能发现它们的差有何规律吗？

［生］（10a+b）－（10b+a）=10a+b－10b－a=（10a－a）+（b－10b）=9a－9b

由此可知，这两个数的差是9的倍数.

［师］我们借助于整式的加减法将实际问题中的数量关系用字母表示出来，并发现了其中的规律.

在说明（10a+b）+（10b+a）是11的倍数时，每一步的依据的法则是什么呢？

（10a+b）－（10b+a）是9的倍数呢？

［生］第一步的依据是去括号法则；第二步是合并同类项法则.

［师］从上面的例子中可以发现整式的加减法可以帮我们解决实际情景中的问题.因此，我们这节课就来学习整式的加减.

Ⅱ.合作讨论新课，学会运算整式的加减

1.做一做

图1－6

两个数相减后，结果有什么规律？

这个规律对任意一个三位数都成立吗？

为什么？

［师］同学们先来按照上面所示的框图的步骤来讨论一下两个数相减后，结果有什么规律？

［生］任取一个三位数，经过上述程序后结果一定是99的倍数.

［师］是不是任意的三位数都有这样的规律呢？

首先我们先要设出一个任意的三位数.如何设呢？

［生］可以设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数为100a+10b+c.

［师］任意的一个三位数为100a+10b+c,接下来我们按照框图所示的步骤可得：

交换百位

和个位上的数字就得到一个新数，是什么呢？

［生］100c+10b+a.

［师］两个数相减，可得到一个算式为什么呢？

［生］（100a+10b+c）－（1

00c+10b+a）.

［师］为什么在上面的算式中要加上括号呢？

［生］“两个数相减”，而这两个三位数，我们都是用多项式表示出来的，每一个多项式，它都是一个整体，因此需加括号.

［师］这一点很重要，如何说明这个差就是99的倍数呢？

［生］化简可得，即（100a+10b+c）－（100c+10b+a）=100a+10b+c－100c－10b－a=（100a－a）+（10b－10b）+（c－100c）=99a－99c

也就是说任意一个三位数，经过上述程序后结果一定是99的倍数.

2.议一议

［师］在上面的问题中，涉及到整式的什么运算？

说一说你计算的每一步依据？

［生］在上面的问题中，我们涉及到整式的加减法.在进行整式的加减时，我们先去括号，再合并同类项.

［师］在去括号和合并同类项时应注意什么呢？

［生］我们上学期已学习过去括号和合并同类项.去括号时，特别要注意括号前面是“－”号的情况，去掉“－”号和括号时，里面的各项都需要变号；合并同类项时，先判断哪些项是同类项，利用加法结合律和合并同类项的法则即可完成.

3.例题讲解

［例1］计算

（1）2x2－3x+1与－3x2+5x－7的和

（2）（－x2+3xy－

y2）－（－

x2+4xy－

y2）

（这样的题目，我们已经训练过，因此可让学生自己完成，叫两个同学板演，同时教师深入到学生之中进行观察，对于发现的问题，可以通过让学生表达算理即去括号法则和合并同类项法则，自纠自改）

解：

（1）（2x2－3x+1）+（－3x2+5x－7）

=2x2－3x+1－3x2+5x－7

=2x2－3x2－3x+5x+1－7

=－x2+2x－6

（2）（－x2+3xy－

y2）－（－

x2+4xy－

y2）

=－x2+3xy－

y2+

x2－4xy+

y2

=－x2+

x2+3xy－4xy－

y2+

y2

=－

x2－xy+y2

注：

1.列算式时，每一个多项式表示的是一个整体，因此必须加括号.

2.在第

（2）小题中，去括号要注意符号问题.

［例2］

（1）已知A=a2+b2－c2,B=－4a2+2b2+3c2,且A+B+C=0，求C.

（2）已知xy=－2,x+y=3,求代数式

（3xy+10y）+［5x－（2xy+2y－3x）］的值.

分析：

（1）可用逆运算来代入求解；

（2）求代数式的值，一般是先化简，再求值，这个地方应注意整体代入.

解：

（1）根据A+B+C=0，可得C=－A－B

即C=－（a2+b2－c2）－（－4a2+2b2+3c2）

=－a2－b2+c2+4a2－2b2－3c2

=－a2+4a2－b2－2b2+c2－3c2

=3a2－3b2－2c2

（2）原式=3xy+10y+［5x－2xy－2y+3x］

=3xy+10y+5x+3x－2xy－2y

=3xy－2xy+10y－2y+5x+3x

=xy+8x+8y

=xy+8（x+y）

当xy=－2,x+y=3时

原式=xy+8（x+y）=－2+8×3

=－2+24=22.

Ⅲ.随堂练习

1.计算：

（1）（4k2+7k）+（－k2+3k－1）

（2）（5y+3x－15z2）－（12y－7x+z2）

2.解下列各题

（1）－5ax2与－4x2a的差是；

（2）与4x2+2x+1的差为4x2;

（3）－5xy2+y2－3与的和是xy－y2;

（4）已知A=x2－x+1,B=x－2,则2A－3B=；

（5

）比5a2－3a+2多

a2－4的数是.

1.解：

（1）原式=4k2+7k－k2+3k－1

=4k2－k2+7k+3k－1

=3k2+10k－1

（2）原式=5y+3x－15z2－12y+7x－z2

=5y－12y+3x+7x－15z2－z2

=－7y+10x－16z2

2.解：

（1）－5ax2－（－4x2a）

=－5ax2+4ax2

=－ax2;

（2）设所求整式为A，则

A－（4x2+2x+1）=4x2

A=4x2+4x2+2x+1=8x2+2x+1;

也可根据：

被减式=差+减式，列式求解.

（3）（xy－y2）－（－5xy2+y2－3）

=xy－y2+5xy2－y2+3

=xy+5xy2－2y2+3

（4）2A－3B=2（x2－x+1）－3（x－2）

=2x2－2x+2－3x+6

=2x2－5x+8

（5）设这个数为A，则

A－（5a2－3a+2）=

a2－4

A=（

a2－4）+（5a2－3a+2）=

a2－3a－2

注：

在上述求解的过程中，可利用逆运算来求解.

Ⅳ.课时小结

［师］这节课我们学习了整式的加减，你有何收获和体会呢？

［生］在实际情景中，利用整式的加减发现了一般规律，使我们认识到学习整式加减的重要性.

［生］整式加减运算的步骤是遇到括号先去括号，再合并同类项.

［生］在去括号时，特别注意括号前是“－”号的情况.

……

Ⅴ.课后作业

1.课本P8、习题1.2，第1、2、3题；

2.自己设计一个数字游戏，并用整式加减运算说明其中的规律.

Ⅵ.活动与探究

已知（a+12）2+|b+4|=0,求代数式

（a－b）+

（a+b）+

－

的值.

［过程］由已知条件可得，两个非负数的和为零的两个非负数都为零，列出方程求出a、b的值；在化简代数式时，观察可发现在这个题中遇到括号若先去括号会较繁，如果将（a+b）、（a－b）当成一个整体，计算起来反而简便.

［结果］由（a+12）2+|b+4|=0,得a+12=0,b+4=0,即a=－12,b=－4;

当a+b=－16,a－b=－8时

（a－b）+

（a+b）+

－

=（

－

）（a－b）+（

+

）（a+b）

=

（a－b）+

（a+b）

=

×（－8）+

×（－16）

=－12.

七、板书设计

§1.2.1整式的加减

（一）

一、做一做，议一议

二、练一练

（由学生板演）

注：

1.括号前是“－”号，去掉“－”号和括号，里面的各项都变号；

2.在列算式时，突出括号的整体作用；

3.在求解一些整式时，注意用逆运算或方程的思想.

第二课时：

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

出示投影片：

1.为什么总是1089？

用不同的三位数再做几次，结果都是1089吗？

你能发现其中的原因吗？

图1－8

［师］我们来做上面的数字游戏，取满足条件的一个三位数，按图示所给定的程序运算，结果是1089吗？

然后用不同的满足条件的三位数再做几次，结果一样吗？

请同学们独立完成然后回答.

［生］我试了几个数，结果都是1089.

［师］你能解释其中的原因吗？

［生］根据题意，可设个位上的数字是a,十位上的数字是b,百位上的数字则为（a+2）,所以这个三位数为100（a+2）+10b+a.交换百位上的数字与个位上的数字，可得到一个较小的三位数即100a+10b+（a+2）.按图示所给定程序，得［100（a+2）+10b+a］－［100a+10b+（a+2）］=

100a+200+10b+a－100a－10b－（a+2）=100a－100a+10b－10b+200+a－a－2=200－2=198

即按照给定的程序的前三步，运算结果都为198，这样，继续程序的后两步可得到1089.也就是任何一个满足条件的三位数，按照题目给定的顺序，结果总是1089.

［师］真棒！

我们已学会了用整式的加减运算解释这一实际情景，用整式的加减运算还能解释哪些现象呢？

这一节课，我们继续来学习整式的加减运算及它的应用.

Ⅱ.探索规律，体会整式运算的必要性

下面是用棋子摆成的“小屋子”.

摆第1个“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个需要枚棋子，摆第3个需要枚棋子.

图1－9

按照这样的方式继续摆下去.

（1）摆第10个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？

（2）摆第n个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？

你是如何得到的？

你能用不同的方法解决这个问题吗？

与同伴进行交流.

（教师教学中要鼓励学生独立思考的基础上探索出规律.鼓励学生算法多样化，并可实际操作探索规律）

［生］实际操作可以发现摆后面一个“小屋子”，总比它前面一个多用6枚棋子.摆第2个“小屋子”需要（5+6）枚即11枚棋子，摆第3个需要（5+6×2）枚即17枚棋子，……摆第10个这样的“小屋子”需要（5+6×9）枚即59枚棋子.进而可以概括出摆第n个“小屋子”需

用5+6（n－1）=6n－1枚棋子.

［师］很好.这位同学能抓住图形变化的规律.有没有别的方法呢？

［生］通过观察还可以发现，摆前几个“小屋子”分别用的棋子数5，11，17，23，从而也概括出规律来，即摆第n个这样的“小屋子”需要（6n－1）枚棋子.

［生］老师，我也有一种方法，将图1－9的“小屋子”拆成上下两部分，上面部分是一个“三角形”（第一个为一个点），下面部分可以看成一个“正方形”，摆第n个“小屋子”分别需要2n－1和4n枚棋子（如图1－10）.

图1－10

这样摆第n个“小屋子”共用的棋子数为（2n－1）+4n=6n－1.

［师］很好！

有的同学对数敏感，通过数棋子数发现了规律；有的同学对图形的组成比较敏感，将图分成两部分（上面部分是“三角形”，下面部分是“正方形”）发现了规律.最后都推出第n个这样的“小屋子”需（6n－1）枚棋子.我相信同学们一定还有其他的办法.下面同学们可相互交流各自的想法，或许你会有新的发现.

（教师鼓励学生充分交流，并引导学生认真倾听他人的想法）

Ⅲ.例题讲解

［例1］计算：

（1）（3a2b+

ab2）－（

ab2+a2b）

（2）7（p3+p2－p－1）－2（p3+p）

（3）－（

+m2n+m3）－（

－m2n－m3）

［师］该例题

是整式加减的运算，我们该如何

进行整式的加减呢

？

［生］如果遇到有括号，应先去括号，然后再合并同类项.

［师］下面我们就请三位同学到黑板上解答.其余同学来对他们的解答作出评价.

［生］解：

（1）（3a2b+

ab2）－（

ab2+a2b）

=3a2b+

ab2－

ab2－a2b

=2a2b－

ab2;

（2）7（p3+p2－p－1）－2（p3+p）

=7p3+7p2－7p－7－2p3－2p

=5p3+7p2－9p－7;

（3）－（

+m2n+m3）－（

－m2n－m3）

=－

－m2n－m3－

+m2n+m3

=－1

［生］这三个同学做得都很好.特别是括号前是“－”号，容易出现变号问题.但这三个同学步骤清楚，符号处理准确无误.

［师］祝贺他们！

大家知道我们学习数的加法运算，除可列算式外，还可以列竖式.整式的加减法可不可以列竖式.

Ⅳ.试一试（课本P11）

求多项式2a+3b－5c与－4a－11b+8c的和时，可以利用竖式的方法：

利用这种方法计算下列各题.计算过程中需要注意什么？

（1）（5x2+2x－7）－（6x2－5x－

23）

（2）（a3－b3）+（2a3－b2+b3）

［师］同学们先阅读用竖式求两个整式的和的方法，然后试着回答在计算过程中需要注意什么？

［生］列竖式时要注意每个整式中的同类项要对齐.

［师］下面我们就用竖式的方法求出上面两个小题.

［生］解：

（1）列成竖式为：

（2）列成竖式为：

Ⅴ.练一练（P10、随堂练习）

1.火车站和飞机场都为旅客提供“打包”服务.如果长、宽、高分别为x、y、z米的箱子按如图1－11所示的方式“打包”，至少需要多少米的“打包”带？

（其中灰色线为“打包”带）

图1－11

2.某花店一枝黄色康乃馨的价格是x元，一枝红色玫瑰的价格是y元，一枝白色百合的价格是z元，下面这三束鲜花的价格各是多少？

这三束鲜花的总价是多少元？

图1－12

解：

1.由图可知：

至少需要（2x+4y+6z）米的打包带.

2.第

（1）束鲜花的价格为（3x+2y+z）元；

第

（2）束鲜花的价格为（2x+2y+3z）元；

第（3）束鲜花的价格为（4x+3y+2z）元.

这三束花的总价钱为：

（3x+2y+z）+（2x+2y+3z）+（4x+3y+2z）=3x+2y+z+2x+2y+3z+4x+3y+2z=9x+7y+6z（元）

Ⅵ.课时小结

［师生共同总结］这节课我们主要学习了如下内容：

（1）在探索规律的问题中进一步体会符号表示的意义，发展符号感；

（2）经历了“由特例进行归纳、建立猜想、用符号表示，并给出证明”这一重要的数学探索过程，发展了推理能力；

（3）体会整式加减运算的必要性，并运用整式加减比较不同的算法.

Ⅶ.课后作业

课本习题1.3，第1、2题

Ⅷ.活动与探究

用砖砌成如图1－13所示的墙，已知每块砖长一定，宽为bcm,则图中留出方孔（图中阴影部分）的面积之和是多少？

图1－13

［过程］求图中阴影部分的面积有两种方法：

一种直接求，只要求出三个阴影部分小正方形的边长就可，其边长恰为每块砖的长与宽的差；另一种是间接求，三个阴影部分的面积等于墙的面积减去22块砖的面积，但也需求出砖的长才可求出.

［结果］方法一（直接法）：

设砖的长为xcm,根据题意，列方程得

5x=3x+3b

2x=3b

x=

b

所以阴影部分每个小正方形的边长为

b－b=

b（cm

）,阴影部分的面积为3×（

b）2=

b2（cm2）.

方法二（间接法）：

同方法一求出砖的长为

bcm,整个墙的面积为S墙=（5×

b）×（3b+

b）=33

b2（cm2）

22块砖的面积为S砖=22×

b×b=33b2（cm2）

所以图中留出方孔的面积S阴=33

b2－33b2=

b2（cm2）

六、板书设计

§1.2.2整式的加减

（二）

一、数字游戏

解：

设百位数字为a+2,十位数字为b,个位数字为a,根据图示程序，得：

［100（a+2）+10b+a］－［100a+10b+（a+2）］

=100a+200+10b+a－100a－10b－a－2

=200－2=198

最后两步程序，得198+891=1089

因此满足条件的三位数按图示程序最后总能得到1089.

二、探索规律

方法一：

第1个共5个棋子；

第2个共（5+6）个棋子；

第3个共（5+2×6）个棋子；

……

第n个共5+6（n－1）个棋子，即（6n－1）个棋子.

方法二：

由5、11、17……可归纳出第n个共有（

6n－1）个棋子.

方法三：

将“小屋子”分成两部分，也可推出第n个“小屋子”共有（2n－1）+4n=（6n－1）个棋子.

三、例题

（学生板演）

四、练一练

五、课时小结