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线性空间和欧式空间
第六章线性空间和欧式空间
§1线性空间及其同构
线性空间的定义
设V是一个非空集合,K是一个数域,在集合V的元素之间定义了一种代数运算,叫
做加法;这就是说,给出了一个法则,对于V中任意两个元素和,在V中都有唯
一的一个元素与他们对应,成为与的和,记为。
在数域K与集合V
的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法,即对于数域K中任一数k与V中任一元
素,在V中都有唯一的一个元素与他们对应,称为k与的数量乘积,记为k,
如果加法与数量乘法满足下述规则,那么V称为数域K上的线性空间。
加法满足下面四条规则:
1);交换律
2)()();结合律
3)在V中有一个元素0,对于V中任一元素都有0(具有这个性质的元素
0称为V的零元素);存在零元
4)对于V中每一个元素,都有V中的元素,使得0(称为的负元素)•
存在负元
数量乘法满足下面两条规则:
5)1;存在1元
6)k(l)(kl).数的结合律
数量乘法与加法满足下面两条规则:
7)(kl)kl;数的分配律
8)k()kk.元的分配律
在以上规则中,k,l表示数域中的任意数;,,等表示集合V中任意元素。
例1.元素属于数域K的mn矩阵,按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法,构成
数域K上的一个线性空间,记为Mm,n(K)。
例2.全体实函数(连续实函数),按函数的加法和数与函数的数量乘法,构成一个实
数域上的线性空间。
例3.n维向量空间Kn是线性空间。
例4.向量空间的线性映射的集合HomK(Km,Kn)是线性空间。
二.简单性质
1.零元素是唯一的。
2.负元素唯一。
3.00,k00,
(1)。
4.若k0,则k0或者0。
三•同构映射
定义:
设V,V是数域K上的线性空间•AHomK(V,V)是一个线性映射•如果A是一-
映射,则称A是线性空间的同构映射,简称同构。
线性空间V与V'称为同构的线性
空间。
定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。
同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。
同构线性空间分类维数
§2线性子空间的和与直和
子空间的和:
设W,,W2是线性空间V的子空间,则集合W{12|1W,或2W2}
也是一个线性子空间,称为W|,W2的和,记为wW2.
两个线性子空间的和W,W2是包含这两个线性子空间的最小子空间•
满足交换律、结合律
设1丄,s与1丄,t是V的两个向量组•则
L(1,L,s)L(1,L,t)L(1,L,s,1,L,t)
线性子空间中的线性无关向量组都能被扩充成这个子空间的一个基。
定理:
(维数公式)如果W,W2是线性空间V的两个子空间,那么
dim(W)+dim(W0=dim(W1W?
)+dim(WW2)
由此可知,和的维数要比维数的和来得小。
推广到有限个线性子空间的和空间维数
推论:
如果n维线性空间V中两个子空间V1,V2的维数之和大于n,那么y,V2必含有非零
的公共向量。
直和:
设w,w2是线性空间V的子空间,如果ww2中的每个向量都能被唯一地表
示成121W,,2W2.则称W,W2为直和,记为W,W2。
设W,,W2是线性空间V的子空间,则下列结论互相等价:
(1WW2是直和;
(2)wW20;
(3)dim(WW2)dimWidimW?
.
设W是线性空间V的一个子空间,那么一定存在V的一个线性子空间U,使得
VWU
满足上述条件的线性子空间U称为W的补子空间.
推广到有限多个线性子空间也可以定义它们的直和
设W,,W2,L,Wm是V的线性子空间,则下列结论相互等价:
(1)Wi
Wm是直和;
(2)对i1,
m有WiWj
0;
1jmij
(3)dim(W1
Wm)dimW1
dimWm.
§3欧式空间
定义设V是实数域R上的有限维线性空间,在V上定义了一个二元实函数,称为内积,
记作(,),满足以下四条公理:
1)对称性(,)(,);
2)关于标量乘法线性性质(k,)k(,);
3)关于向量加法的线性性质(,)(,)(,);
4)正定性(,)0,当且仅当0时,(,)0
这里,,是V任意的向量,k是任意实数,这样的线性空间V称为欧几里得空间.
例1在线性空间Rn中,对于向量
定义内积
(,)aibia2b2a.m.(i)
则内积
(1)适合定义中的条件,这样Rn就成为一个欧几里得空间.
n3时,
(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式
例2在Rn里,对于向量
(ai,a2,,an),(db,,bn),
定义内积
(,)aibi2a2b2nand.
则内积(i)适合定义中的条件,这样Rn就也成为一个欧几里得空间.
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.
例3在闭区间[a,b]上的所有实连续函数所成的空间C(a,b)中,对于函数f(x),g(x)定
义内积
b
(f(x),g(x))f(x)g(x)dx.
(2)
a
对于内积
(2),C(a,b)构成一个欧几里得空间.
同样地,线性空间R[x],R[x]n对于内积
(2)也构成欧几里得空间.
例4令H是一切平方和收敛的实数列
所成的集合,则H是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.
定义非负实数J(,)称为向量的长度,记为|.
显然,向量的长度一般是正数,只有零向量的长度才是零,这样定义的长度符合熟知的性质:
k丨|k|||⑶
这里kR,V.
1
n
就是一个单位向量.用向量的长度去除向量,通常称为把单位化.
(Cauchy-Buniakowski不等式)对任意的向量,,有
1(,)1IIII,
而且等号成立当且仅当,,线性相关.(保证向量夹角定义的合理性)
定义非零向量,的夹角,规定为
arccos(,)
根据柯西-布涅柯夫斯基不等式,有三角形不等式
定义如果向量,的内积为零,即
(,)0
那么,称为正交或互相垂直,记为
勾股定理:
当,正交时,
222
称为基1,2,,n的度量矩阵•度量矩阵完全确定了内积
(,)xtay
定义欧氏空间V的一组非零的向量,如果它们两两正交,就称为一个正交向量组•
由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组
在n维欧氏空间中,两两正交的非零向量不能超过n个•
正交向量组一定是线性无关的。
若正交向量组中的向量都是单位向量,则称为规范正交组。
定义在n维欧氏空间中,由n个向量组成的正交向量组称为正交基;由单位向量组成
的正交基称为规范正交基组•对一组正交基进行单位化就得到一组规范正交基
欧式空间的线性子空间必存在规范正交基。
在规范正交基下,向量的内积可以通过坐标简单地表示出来,
(,)xiyiX2y2Lx.ynXTY.
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广
把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为格拉姆-施密特
(Schimidt)正交化方法.(P314)
定义欧氏空间V与V称为同构的,如果存在线性空间的同构AHomR(V,V),保持内
积,即(A(),A())(,),
对任意的,V成立,这样的映射A称为V到V的同构映射.
同构的欧氏空间必有相同的维数.
每个n维的欧氏空间都与Rn同构.
同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性
由每个n维欧氏空间都与Rn同构知,任意两个n维欧氏空间都同构.
定理两个有限维欧氏空间同构它们的维数相等.
这个定理说明,从抽象的观点看,欧氏空间的结构完全被它们的维数决定.
§4欧式空间中的正交补空间与正交投影
S是欧式空间V的一个子集,如果V中向量与S中每个向量都正交,则称与S正交,
记做S.
定义设S是欧几里得空间V的一个非空子集,V中与S正交的所有向量组成的集合
称为曲勺正交补记作s,即
S{V|(,)0对所有的S}.
命题设s是欧几里空间V的任意一个非空子集,则S是V的一个线性子空间
定理设W是欧几里得空间V的一个线性子空间,则
VWW.
正交投影的定义,正交投影的求法(P321-323)
VWW,则其中每个向量都能唯一的表示成
在W上的正交投影的充要条件是
正交投影的求法:
(3)把⑵写成矩阵形式,解决ATAXAY,P^()AX
定理设W是欧几里得空间V的子空间,对于V,1W是在W上的正交投影的
充分必要条件为
|1|||,对所有的W.
定义设W是欧几里得空间V的一个子空间,是V中的向量.如果W中存在一个向量
使得对所有的W有|||I,那么称为在W上的最佳逼近元.
V中任意向量在子空间W上的最佳逼近元存在且唯一,就是在W上的正交投影Pw().
最小二乘法(偏差总和最小一一>偏差平方和最小)(P327-328)
最小二乘法问题:
线性方程组
3)1X1
&12X2
a1sXs
b
0,
a21x
a22X2
a2sXs
b2
0,
an1X1
an2X2
ansXs
bn
0
可能无解.即任何一组数为,X2,,Xs都可能使
xS称为方程组的最小二
不等于零•我们设法找X0,x;,,X0使
(1)最小,这样的x°,x0,
乘解.这种冋题就叫最小二乘法冋题
下面利用欧氏空间的概念来表达最小二乘法,并给出最小二乘解所满足的代数条件
s
anjXj
ji
用距离的概念,(i)就是
i,2,,s)中的向量•于是最小二乘法问题可叙述成:
找X使(i)最小,就是在L(i,2,,s)中找一向量Y,使得B到它的距离比到
子空间L(i,2,,s)中其它向量的距离都短•
应用前面所讲的结论,设
是所求的向量,则
CBYBAX
必须垂直于子空间L(1,2,,s).为此只须而且必须
(C,1)(C,2)(C,s)0
回忆矩阵乘法规则,上述一串等式可以写成矩阵相乘的式子,即
1TC0,2TC0,L,sTC0.
而1T,2T,L,sT按行正好排成矩阵A,上述一串等式合起来就是
AT(BAX)0
或
ataxatb
这就是最小二乘解所满足的代数方程,它是一个线性方程组,系数矩阵是ata,常数项是
AB.这种线性方程组总是有解的.
§5正交变换与正交矩阵
定义欧氏空间V的线性变换A叫做一个正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对任意的,都有,V,都有
(A,A)=(,).
正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画.正交群O(n,R)
设A是n维欧氏空间的一个正交变换,则有以下结论:
(1)如果1,2,,n是规范正交基,那么A1,A2,…,An也是规范正交基;
(2)A保持向量的长度不变,即对于V,(A,A)=(,);
(3)A在任一组规范正交基下的矩阵是正交矩阵ATAE.
(4)正交变换的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵
推论设A是一个n阶实数矩阵,那么下列条件是等价的:
(1A是正交矩阵;
(2)AA1;
(3)AATE;
(4)A的每个列的元素的平方和等于1,不同列的对应元素之积和等于0,即:
(5)A的每个行的元素的平方和等于1,不同行的对应元素之积和等于0.
如果A是正交矩阵,那么由
AAtE
可知
2
A1或者A1.
或者称为第
因此,正交变换的行列式等于+1或-1•行列式等于+1的正交矩阵通常称为旋转,一类的,特殊正交群S0(n,R);行列式等于-1的正交变换称为第二类的
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