高考全国1卷理科数学及答案解析详解版本.docx
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高考全国1卷理科数学及答案解析详解版本
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页,23小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:
1•答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将
试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2•作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;
如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3•非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4•考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1•已知集合A={x|x<1},B={x|3x:
:
:
1},则
A.A"B={x|x<0}B.AUB=R
C.AUB={x|x1}D.A^B=:
:
2•如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形
的中心成中心对称•在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是
n
B.
A.
C.
-
8
D.-
4
3.设有下面四个命题
P1:
若复数z满足1•R,则zR;
z
P2:
若复数z满足£R,则zR;
P3:
若复数Z1,Z2满足乙互*R,贝U刁=Z2;
P4:
若复数zR,则z■R.
其中的真命题为
A.Pi,P3B.Pi,P4c.P2,P3D.P2,P4
4•记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4a^24,=48,则{a.}的公差为
A1B.2C.4D.8
5.函数f(x)在(_:
:
=)单调递减,且为奇函数.若f⑴-_1,则满足_1岂f(x_2)空1的x的取值范围
是
A.[-2,2]B.[-1,1]
C.
[0,4]
D.
[1,3]
162
6.(12)(1'x)展开式中x的系数为
x
A.15B.20
C.
30
D.
35
7•某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为
2,俯视图为等腰直角三角形
.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
A.A>1000和n=n+1
B.A>1000和n=n+2
C.AiH1000和n=n+1
D.A^1000和n=n+2
到曲线C2
到曲线C2
到曲线C2
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件
数学题获取软件激活码”的活动•这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
已知数列1,1,2,1,2,
4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是2°,接下来的两项是2°,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数N:
N>100且该数列的前N项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码是
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13•已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=_
X2y_1
14.设x,y满足约束条件《2x+yK—1,贝Uz=3x-2y的最小值为.
x-^0
22
15.已知双曲线C:
笃-占=1(a>0,b>0)的右顶点为A以A为圆心,b为半径做圆A圆A与双曲线C
ab
的一条渐近线交于MN两点。
若/MAN600,则C的离心率为。
16.如图,圆形纸片的圆心为Q半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为QDE、F为圆O上
的点,△DBC△ECA△FAB分别是以BCCAAB为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后,分别以BCCAAB为折痕折起△DBC△ECA△FAB使得DE、F重合,得到三棱锥。
当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:
cm3)的最大值为。
都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且乙BAPZCDP=90.
(1)证明:
平面PABL平面PAD
(2)若PA=PD=AB=DC乙APD=90、,求二面角A-PB-C的余弦值•
16个零件,并测量其
尺寸(单位:
cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(」-3二」•3二)之外的零件数,
求P(X_1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(」-3二•一3「)之外的零件,就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04
10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95
的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数x作为「的估计值?
,用样本标准差s作为二的估计值:
?
,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?
剔除(•?
-3;?
?
3?
)之外的学科网数据,用剩下的数据估计J和匚(精确到
0.01).
附:
若随机变量Z服从正态分布N(巴
2),贝yp(4—血cZ£4+船)=0.9974,
0.997416二0.9592,.0.008:
0.09•
20.(12分)
已知椭圆C:
务+与=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,^3),P4(1,—)中恰有
a2b222
三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线I不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线PA与直线P2B的斜率的和为-1,证明:
I过定点.
21.(12分)
(1)讨论f(x)的单调性;
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](10分)
x—3cosE
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(e为参数),直线I的参数方程为
』=sin日,
x=a+4t
Xa4t,(t为参数).
y=1-1,
(1)若a=-1,求C与I的交点坐标;
(2)若C上的点到I的距离的最大值为.17,求a.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=-x+ax+4,g(x)=Ix+1|+|x-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)>g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
2017高考全国I卷数学答案及解析
1正确答案及相关解析
正确答案
A
解析
由由3x:
:
:
1可得3x:
:
:
30,则x:
:
0,即B-\x|x:
:
0所以AB-\x|x:
:
:
1;x|x:
:
:
0fx|x:
:
0:
ABJx|x:
:
门「x|x:
:
0二「x|x<1/
故选A.
考查方向
(1)集合的运算
(2)指数运算性质.
解题思路
应先把集合化简再计算,再直接进行交、并集的定义运算易错点
集合的交、并集运算灵活运用
2正确答案及相关解析
正确答案
B
解析
2
O-TTO
设正方形边长为a,则圆的半径为,正方形的面积为a2,圆的面积为….由图形的对称性可知,太极图
24
中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半•由几何概型概率的计算公式得,此点取自黑色部分的概率是
1二a2
224,选B.
a28
考查方向
几何概型
解题思路
2
o-TTq
正方形边长为a,则圆的半径为一,正方形的面积为a2,圆的面积为——.由图形的对称性可知,太极图中
24
黑白部分面积相等,再由几何概型概率的计算公式得出结果
易错点
几何概型中事件A区域的几何度量
3正确答案及相关解析
正确答案
B
解析
11a「bi
令z=a+bi(a,beR),则由一2=R得b=0,所以R,R正确;
za十bia+b
2
由i=-VR,T'R知,F2不正确;
由乙=z2=i,乙z2一-1R知P3不正确;
F4显然正确,故选B.
考查方向
(1)命题及其关系;
(2)复数的概念及几何意义.
解题思路
根据复数的分类,复数运算性质依次对每一个进行验证命题的真假,可得答案易错点
真假命题的判断
4正确答案及相关解析
正确答案
C
解析
设公差为d,a4a5二ai3dai4d=2ai7d=24,
6^5
S6-6a^~d-6ai■15d=482a17d=24
2,联立{,解得d=4,故选C.
6a,15d=48
考查方向
等差数列的基本量求解
解题思路
设公差为d,由题意列出两个方程,联立{2ai7d二24,求解得出答案
6ai15d=48
易错点
数列的基本量方程组的求解
5正确答案及相关解析
正确答案
解析
因为f(x)为奇函数且在(-:
:
「:
)单调递减,要使_1—(x)叮成立,
贝yx满足-1_x_1,从而由-1_x-2_1
得1沁乞3,即满足-1"(x-2)^1成立的x取值范围为1,31,
选D.
考查方向
(1)函数的奇偶性;
(2)函数的单调性
解题思路
由函数为奇函数且在(-:
:
,•:
:
)单调递减,单调递减•若-j乞f(x)^1,满足-1乞X^1,从而由
-1岂x-2乞1得出结果
易错点
函数的奇偶性与单调性的综合应用
6正确答案及相关解析
正确答案
C
解析
=1f1+x6+A,(1+x6,则(1+xf展开式中含x2的项为1C;x2=15x2,x
11
—1x6展开式中含x2的项为—c64x^15x2,故x2的系数为15+15=30,选C.
xx
考查方向
二项式定理
解题思路
将第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,再分析好x2的项的系数,两项进行加和即可求出答案
易错点
2
准确分析清楚构成x这一项的不同情况
7正确答案及相关解析
正确答案
B
解析
由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,如下图,
则该几何体各面内只有两个相同的梯形,
1
则这些梯形的面积之和为2汉(2+4)<2汉—=12,故选B.
2
考查方向
简单几何体的三视图
解题思路
由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,则该几何体各面内只有两个相同的梯形,由边的关系计算出梯形的面积之和
易错点
根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量
8正确答案及相关解析
正确答案
D
解析
由题意,因为3n-2n.1000,且框图中在“否”时输出,所以判定框内不能输入又要求n为偶数且初始值为0,所以矩形框内填n二n•2,故选D.
考查方向
程序框图的应用。
解题思路
通过程序框图的要求,写出每次循环的结果得到输出的值.
易错点
循环结构的条件判断
9正确答案及相关解析
正确答案
D
解析
因为C1C2函数名不同,所以先将C2利用诱导公式转化成与Cl相同的函数名,
(丄2兀、
'2兀
兀、
C2:
:
y=sin
2x+—f
zcos
2x十—
一―]=cos
2x十一1
J■J
\、3丿
13
2丿
<6/
1
则由C1上各点的横坐标缩短到原来的一倍变为y二cos2x,再将曲线向左平移
2
选D.
考查方向
A1000,故填Az1000,
ji
—个单位长度得到C2,故
12
(1)诱导公式;
(2)三角函数图像变换.
解题思路
首先利用诱导公式将不同名函数转换成同名函数,
*2兀、(2兀兀、(兀、一
C2:
:
y=sin2x+——i=cos2x+i=cos2x+—i;再进行图象的变换
I3丿i32丿i6丿
易错点
对变量x而言进行三角函数图像变换
10正确答案及相关解析
正确答案
A
解析
设直线li方程为y=kix-1,
取方程!
y2=4x
-2k"-4
y=kJxT)
k2
得k2x2「2品-4xk2=0,捲x22
k1
2k2+4
同理直线12与抛物线的交点满足x3+X4=—务一
由抛物线定义可知
当且仅当k^-k2=1(或-1)时,取得等号
考查方向
(1)抛物线的简单性质;
(2)均值不等式
解题思路
X3*4=2k2二4,再由得lABl+pEA^+Xz+Xs+x/Zp,利用均值不等式求出最小值
k2
易错点
抛物线焦点弦公式
11正确答案及相关解析
正确答案
D
解析
令2x=3y=5z=k(k1),则x=log2k,y=log3k,z=log5k,
...2x/gklg3」g91,则3,
3ylg23lgklg8
2x2lgklg5lg25
1,则2x:
:
:
5z,故选D.
5zlg25lgklg32
考查方向
指、对数运算性质
解题思路
易错点
比较数的大小
12正确答案及相关解析
正确答案
A
解析
1,2,4,…,2kJ
则该数列的前1+2+…+k=~2项和为
2
Sk(k+1)]=1+(1+2)+…+(1+2土…+2k」)=2k*—k_2,
<2丿
要使k(k1)100,有k-14,此时k•2:
:
:
2k1,所以k2是第k1组等比数列1,2,..,2k的部分和,
2
设k2=12…2^显-1,
所以k=2七一3_14,贝Ut_5,此时k=25-3=29,
2A30
所以对应满足条件的最小整数N5=440,故选A.
考查方向
等差数列、等比数列的求和.
解题思路
由题意列出数列,即为
1,
1,
2
1,2,4
1,2,4,…,2kJ
得出一个新的数列,其Sk(k1)匚1(12)...(12…2k」)=2k1_k-2
I2丿
再由题k(^-1)100,有k_14,再设k•2=1•2•2tJI=2七一1,所以k=2七-3_14,则t_5,
2
此时k=25一3=29,进而求出最小的整数N
易错点
观察所给定数列的特征,进而求数列的通项和求和
13正确答案及相关解析
正确答案
解析
a+2bf=|a『+4a,b+4|b『=4+4^2"hcos60一十4=12,所以+2耳=VT2=2丁3.
考查方向
平面向量的运算.
解题思路
将a+2b|平方得|a+2bf=|a『+4ab+4|b『=4+4汇2兀1汇cos60「+4=12,很容易得出结果
易错点
平面向量中求模长的通常是见模平方
14正确答案及相关解析
正确答案
-5
解析
不等式组表示的可行域如图所示,
由z=3x—2y得y=3x-三在y轴上的截距越大,z就越小,
22
所以,当直线z=3x-2y过点A时,Z取得最小值,
所以Z的最小值为3(-1)-21=-5.
考查方向
线性规划的应用
解题思路
作出不等式组对应的平面区域,根据z的几何意义,利用数形结合即可得到结论.
易错点
z的几何意义
15正确答案及相关解析
正确答案
2、:
3
3
解析
如图所示,作AP丄MN,因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于MN两点,贝UMN为双曲线的渐近线
b
y=—x上的点,且A(a,0),|AMa
=
AN
=b,
而AP_MN,所以.PAN=30,
点A(a,0)到直线y=—x的距离IApa
在RtAPAN中,cos^PAN=旦,代入计算得a2=3b2,即a=J3b,
NA
222
由c=ab得c=2b,
所以》c=2bV.
aV3b3
双曲线的简单性质
解题思路
在在RtPAN中由边的关系,由边角关系求出a=€3b,进而求出离心率
易错点
双曲线渐近线性质的灵活应用
16正确答案及相关解析
正确答案
4-15
解析
1<3J3
如下图,设正三角形的边长为x,则OU、2-6x.
””FG—SG—5x,SO-h-+SG2GO—J
6V
L卫xl
<丿
—棱锥的体积V」S沁hj"%5;卫xA®
334I3丿12\
Ix-'^x.
3
考查方向
简单几何体的体积
解题思路
的最大值
易错点
利用导函数求体积的最大值
17正确答案及相关解析
正确答案
(1)一;
(2)3+廂
解析
1
1csina
23sinA
a2
(1)由题设得一acsinB,即
23sinA
1sinA
由正弦定理得一sinCsinB
23sinA
2
故sinBsinC.
3
(2)由题设及
(1)得cosBcosC-sinBsinC,即cos(BC)
22
2
所以B・C二…,故A=
33
1a2
由题设得一bcsinA,即be=8.
23sinA
由余弦定理得b2•c2-be=9,即bc2-3bc=9,得bc■33.
故ABC的周长为33
考查方向
(1)正弦定理;
(2)余弦定理;(3)三角函数及其变换.
解题思路
1
sinBsinC
根据题设和余
a
(1)由三角形面积公式建立等式acsinB,再利用正弦定理将边化成角,从而得出
23sinA
121
的值;
(2)由cosBcosC=和sinBsinC二•计算出cos(B■C),从而求出角A,
632
弦定理可以求出bc和bc的值,从而求出ABC的周长为3•33.
易错点
解三角形
18正确答案及相关解析
正确答案
(1)见解析;
(2)
解析
t-o
(1)由已知NBAP=NCDP=90,得AB丄ARCDLPD
由于AB//CD,故ABLPD,从而ABL平面PAD
又A吐平面PAB所以平面PABL平面PAD
(2)在平面PAD内作PF_AD,垂足为F,由
(1)可知,AB_平面PAD,故AB_PF,可得PF_平面ABCD平面.
F-xyz.
以F为坐标原点,FA的方向为x轴正方向,AB为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
由
(1)及已知可得A(,0,0),P(0,0/),B(,1,0),C(-,1,0).
2222
所以pc十;
_「一暑
C「(SW"
AB=(0,1,0).
设n=(x,y,z)是平面PCB的法向量,则
『一「运42.
』nPC=°即卜于x+y-亍z7
・nCB=0[运x=0
可取n=(0,-1,i2).
设m=(x,y,z)是平面PAB的法向量,则
22
m皆°即
m,AB=0
—x-—z=0,
22
Iy=0.
可取m=(1,0,1).
考查方向
(1)面面垂直的证明;
(2)二面角平面角的求解
解题思路
根据题设可以得出AB丄AP,CD丄PD而AB//CD,就可证明出AB丄平面PAD进而证明平面PABL平面PAD
(2)先找出AD中点,找出相互垂直的线,建立空间直角坐标系,列出所需要的点坐标,求出平面PCB平
面PAB的法向量,利用数量积求出二面角的平面角的余弦值
易错点
坐标法求两个半平面的法向量
19正确答案及相关解析
正确答案
(1)0.0416
(2)
(1)见解析(u>^=10.02,<7=0.09
解析
(L)抽取的一个零件的尺寸在@-36“+3b)之内的观率为0.9974,从而零件的尺寸在
之外的柢率为0,00^6;故^r-5(16:
0.0026).因此
P(X>1)=1-^(^=0)=1-0,9974=0.0408.
X的数学期望为EX=16x0.0026二0.0416.
<2)如果生产状态正常,一个霧件尺寸在("-36“+3")之外的概率只有0,0026,一天內抽取的ie个零件中,出现尺寸在ST6之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小•因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能岀现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述曲控生产过程的方法是合理的.
(口)由y=9.97.5^0.212,得H的估计值为应"叭b的估计值为&"212,由样本数据可以看出
有一个零件的尺寸在3-适A+3为之外,因此需对当天的生产过程进f亍检查
剔除恥+沏之外的赠9.22,乘怦数拐的平均数为-^(16x9.97-9.22)=10.02,因此戸的估计值为10,02.
=16x0.212:
+16x9.97:
弋1591.134,剔除3-3古加+3为之外的数据9.22,剩下数据的样本方討1
差为丄0591.134-9.222-15xlO.O22)^0.008,
15
因此b的估计值为V0.008弋0.09-
考查方向
(1)正态分布;
(2)随机变量的期望和方差.
解题思路
⑴由题设知一个零件的尺寸在3-36
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