杭州初三数学二次函数练习题复习题二次函数知识点.docx
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杭州初三数学二次函数练习题复习题二次函数知识点
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二次函数
一、解析式的求法
一般式
顶点式
yax2bxc已知没有规律的三个点的坐标已知a:
b:
c,并且已知一个点的坐标
已知顶点及另一点的坐标
ya(xm)2n已知对称轴和另外两点的坐标已知最值和另外两点的坐标
两点式(交点式)ya(xx1)(xx2)
二、二次函数的图像
1、二次函数的平移问题
(1)、平移的实质:
a相同。
(a决定二次函数的形状、开口和开口的大小,其中
a决
定开口的大小,
a的正负决定开口方向。
注意,两个二次函数的
a相等,则这两个二次函
数的形状就是相同的
)
(2)、平移的规律:
顶点坐标的平移。
2、二次函数的对称变换:
y
a(x
m)
2
与
a(x+m)
2
k
关于轴对称
ky
y
y
a(x
m)
2
k
与
y
a(x+m)
2
k
关于轴对称
x
3、二次函数的图像与
a,b,c及其相关代数式
(a
b
c,2ab,b2
4ac)之间的关系
a
开口向上
a
0
开口向下
a
0
b
对称轴在
y轴右侧
ab
0
对称轴在y轴左侧
ab
0
抛物线与
y
轴的交点在轴正半轴
c
0
c
y
抛物线与
y
轴的交点在轴负半轴
c
0
y
a
b
c
看
x
时函数的值
a
bc
1
a
b
c
看
x
时函数的值
1
抛物线与x轴有两个交点
b2
4ac
0
b2
4ac
抛物线与x轴有一个交点
b2
4ac
0
抛物线与x轴没有交点
b2
4ac
0
杭州中考网1
杭州中考网
2a+b
由-
b
-
b
可得
2a
1(
<1)
2ab
2a
注意a的正负
由-b
b
2a
b
-
可得
2a
1(
<
1)
2a
例1、
(1)已知二次函数
y
ax2
bx
c(a
0)的图象如图所示,有下列
5个结论:
①abc
0;②b
a
c;③
4a
2bc
0;④2c3b;⑤ab
m(amb),
(m1的实数)
其中正确的结论有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
(2)如图4所示,二次函数yax2bxc(a0)的图象经过点(-1,2),且与x轴交
点的横坐标分别为x1,x2,其中-2 ①4a-2b+c<0;②2a-b<0;③a<-1;④b2+8a>4ac。 其中正确的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 (3)如图,抛物线yax2bxc与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包 括这两点),顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点,则 ①abc#.0(填“”或“”);②a的取值范围是#. 三、二次函数的性质 ①当a>0时,抛物线开口向上,在对称轴左侧,增大而增大。 它有最底点,所以存在最小值,标的值就是二次函数的最小值。 ②当a<0时,抛物线开口向下,在对称轴左侧,增大而减小。 它有最高点,所以存在最大值,标的值就是二次函数的最大值。 y随x增大而减小;在对称轴右侧,y随x这个最小值就是当x取顶点横坐标,顶点纵坐 y随x增大而增大;在对称轴右侧,y随x这个最大值就是当x取顶点横坐标,顶点纵坐 例2、已知M,N两点关于Y轴对称,且点M在双曲线 y 1 x3上, 上,点N在直线y 2x 设点M的坐标为(a,b),则二次函数yabx2 (a b)x有最大值还是最小值,那最大(小) 值是多少? 四、二次函数的基本应用 杭州中考网2 杭州中考网 1、利润问题 例3、 (1)、某商店购进一批单价为 20 元的日用商品,如果以单价 30元销售,那么半月可 售出400件,根据销售经验(提高销售单价会导致销售量的减少) ,即销售单价每提高1元, 销售量相应减少20件,如何提高售价,才能在半月内获得最大利润? (2)、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品, 年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过 程.图中二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 S(万元)与销售时间t(月) 之间的关系(即前t个月的利润总和 S与t 之间的关系)。 根据图象提供的信息,解答下列问题: ① 由已知图象上的三点坐标,求累积利润 S(万元)与时间 t(月)之间的函数表达式; ② 求截止到几月末公司累积利润可达到 30万元; ③ 求第8个月公司所获利润是多少万元? (3)、某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产 品,并投入资金1500万元进行批量生产。 已知生产每件产品的成本为40元,在销售过程 中发现: 当销售单价定为100元时,年销售量为20万件;销售单价每增加10元,年销售量将减少1万件,设销售单价x为元,年销售量为y万件,年获利z(年获利=年销售额- 生产成本-投资)万元。 ①试写出y与x之间的函数关系式;(不必写出的取值范围) ②试写出z与x之间的函数关系式;(不必写出的取值范围) ③计算销售单价为160元时的年获利,并说明同样的年获利,销售单价还可以定为多少元? 相应的年销售量分别为多少万件? ④公司计划: 在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售,第二年年获利不低于1130万元。 请你借助函数的大致图象说明,第二年的销售单价(元)应确定在什么范围内? 2、距离(长度)问题 例4、某施工队要修建一个横截面为抛物线的公路隧道 其高度为6米,宽OM=12 米,现以O 点为原点,OM所在直线为x轴建立如图的直角坐标系. ① 请直接写出点M及抛物线顶点P的坐标. ② 求出这条抛物线的解析式. ③ 施工队计划在隧道门口搭建一个矩形 “脚手架”ABCD,使A、D在抛物线上,B、C在地面 OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木料AB、AD、DC的长度之和的最大值 .试问: 其 最大值是多少? 杭州中考网3 杭州中考网 3、过隧道及过桥问题 例5、如图所示,隧道的截面是由抛物线和长方形构成的。 长方形的宽是 2米,长是 8米, 抛物线可用 2 y025x4 表示。 . ①一辆卡车高4米,宽2米,它能通过该隧道吗? ②如果该隧道内设双行道,那么这辆卡车能通过吗? 4、分段函数 例6、 (1)、通过实验研究,专家们发现: 初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间的兴趣保持平稳状态, 随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示(y越大表 示注意力越集中).当0≤x≤10时,图象是抛物线的一部分,当10≤x≤20和20≤x≤40时,图象是线段.⑴当0≤x≤10时,求注意力指标数y与时间x的函数关系式;⑵一道数学综合题,需要讲解24分钟.问老师能否经过适当安排,使学生听这道题时,注意力的指标数都不低于36. y 48 39 20 o5102040x (2)、王亮同学善于改进学习方法,他发现对解题过程进行回顾反思,效果会更好.某一天他利用30分钟时间进行自主学习.假设他用于解题的时间x(单位: 分钟)与学习收益量y 的关系如图甲所示,用于回顾反思的时间 x(单位: 分钟)与学习收益量 y的关系如图乙所 示(其中OA是抛物线的一部分, A为抛物线的顶点),且用于回顾反思的时间不超过用于 解题的时间. y与用于解题的 y y ①求王亮解题的学习收益量 4 2 A 时间x之间的函数关系式,并写出自变量 x的 取值范围; ②求王亮回顾反思的学习收益量 y与用于回 顾反思的时间 x之间的函数关系式; O2x O 5 1x ③王亮如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这 30分钟的学习收益总量最大? (学习收益总量 解题的学习收益量 图 图 回顾反思的学习收益量) 杭州中考网4 杭州中考网 (3)、由于国家重点扶持节能环保产业, 某种节能产品的销售市场逐渐回暖. 某经销商销售 这种产品,年初与生产厂家签订了一份进货合同,约定一年内进价为 0.1 万元/台,并预付 了5万元押金。 他计划一年内要达到一定的销售量, 且完成此销售量所用的进货总金额加上 押金控制在不低于 34万元,但不高于40 万元.若一年内该产品的售价 y(万元/台)与月 0.05x 0.25(1 x 4) 次x(1x12且为整数)满足关系是式: y 0.1 (4 x 6) ,一年后发现 0.015x 0.01(6 x 12) 实际每月的销售量 p (台)与月次 x 之间存在如图所示的变化趋势. .. ① 直接写出实际每月的销售量 p (台)与月次 x 之间的函数关系式; ...... ② 求前三个月中每月的实际销售利润 w(万元)与月次 x之间的函数关系式; ③试判断全年哪一个月的的售价最高,并指出最高售价; ④请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量. 五、二次函数和方程及不等式的相互关系及相互转换 函数作为代数援助几何的衍生物,起着一个桥梁作用,因此在解决函数问题时,应该 注意数型结合。 作为代数的主体,方程和不等式与函数之间有着密切的联系, 解方程不等式 问题,从实质上说,是研究相应函数的零点、正负值问题.对于函数 y f(x),它与x轴 交点的横坐标就是方程 f(x) 0的解,而y f(x)在x轴上面(下面)的部分所对应的x 的取值范围就是不等式 f(x) 0(f(x) 0 )的解集。 对于函数 f(x)和g(x),它们交点 的横坐标就是方程f(x)g(x)的解,而不等式f(x)g(x)(f(x)g(x))的解集反映 在图像上,就是f(x)的图像在g(x)图像上面的部分所对应的x的取值范围。 例7、 (1)、二次函数yax2bxc(a0)的图象 如图所示,根据图象解答下列问题: ①写出方程ax2bxc0的两个根. ②写出不等式ax2bxc0的解集. ③写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围. ④写出方程ax2bxc6的实数根: ⑤若方程ax2bxck有两个不相等的实数根,写出k的取值范围. (2)、阅读材料,解答问题. 用图象法解一元二次不等式: x22x30. 解: 设yx22x3,则y是x的二次函数. 杭州中考网5 杭州中考网 a 1 0, 抛物线开口向上. 又当y 0时,x2 2x 3 0,解得x1 1,x2 3 . 由此得抛物线 yx2 2x 3的大致图象如图所示. 观察函数图象可知: 当 x 1 或x 3时,y 0. x2 2x30的解集是: x 1或x 3. ①观察图象,直接写出一元二次不等式: x2 2x 3 0 的解集是____________; ②仿照上例,用图象法解一元二次不等式: x2 1 0.(大致图象画在答题卡上) ... y 3 2 1 2 1 1 23 x 1 2 3 4 (3)、已知抛物线y1 x2 2x c的部分图象如图 1所示。 图1图2 ①求c的取值范围; ②若抛物线经过点( 0,-1),试确定抛物线y1x2 2x c的解析式; ③若反比例函数y2 k 的图象经过 (2)中抛物线上点( 1,a),试在图 2所示直角坐 x 标系中,画出该反比例函数及( 2)中抛物线的图象,并利用图象比较 y1与y2的大小。 杭州中考网6 杭州中考网 (4)、阅读: 我们知道,在数轴上,x=1表示一个点,而在平面直角坐标系中,x=1表示 一条直线;我们还知道,以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象,它也是一条直线,如图①. 观察图①可以得出: 直线=1与直线y=2x+1的交点P的坐标(1,3)就是方程组 x 1 的解,所以这个方程组的解为 x 1 2x y 3 y10 在直角坐标系中,x≤1 表示一个平面区域,即直线 x=1以及它左侧的部分,如图②;y≤ 2x+1也表示一个平面区域,即直线 y=2x +1以及它下方的部分,如图③。 y y y 3 P(1,3) x x Ol O x l Ol y=2x+1 x=1 x=1 y=2x+1 图① 图② 图③ 回答下列问题: x 2 ① 在直角坐标系(图④)中,用作图象的方法求出方程组 的解; y 2x2 x≥-2 ② 用阴影表示 y≤-2x+2,所围成的区域。 y≥0 六、动点面积问题 动点类面积问题的解题关键在于寻找临界点,划分时间段,需要注意的是,最后得到的 S与时间t或者距离x是一个分段函数,如果要求S的最值,则应该在区间内求最值,然后加以比较。 例8、 (1)、如图所示,在直角坐标系中,矩形ABCD的边AD在x轴上,点A在原点,AB=3, AD=5.若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动.同时点P从A点出发以每秒 1个单位长度沿A-B-C-D的路线作匀速运动.当P点运动到D点时停止运动,矩形ABCD也随之停止运动. (1)求P点从A点运动到D点所需的时间; (2)设P点运动时间为t(秒)。 ①当t=5时,求出点P的坐标; ②若⊿OAP的面积为s,试求出s与t之间的函数关系式 (并写出相应的自变量t的取值范围). (2)、如图1,在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是 AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O 内作内接矩形AMPN.令AM=x. ①用含x的代数式表示△MNP的面积S; 杭州中考网7 杭州中考网 ②当 x 为何值时,⊙ 与直线 相切? O BC ③在动点 M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为 y,试求y关于x的函 数表达式,并求 x为何值时,y的值最大,最大值是多少? A A A M N M M O N N O O B C P B C B D C P 图1 图2 图3 (3)、如图,在平面直角坐标系中,两个函数y x,y 1 6的图象交于点A。 动点P x 2 从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动,作 PQ∥x轴交直线BC于点Q,以PQ 为一边向下作正方形PQMN,设它与△OAB重叠部分的面积为 S。 ①求点A的坐标。 (2分) ②试求出点P在线段OA上运动时,S与运动时间t(秒) 的关系式。 (4分) ③在②的条件下,S是否有最大值? 若有,求出 t为何值 时,S有最大值,并求出最大值;若没有,请说明理由。 (2分) ④若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正 方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时,运动时间 t满足的 条件是____________。 (2分) (4)、如图,已知直线l1: y 2x 8与直线l2: y 2x 16相交于点C,l1、l2
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