苏教版小学六年级总复习知识点整理资料讲解.docx
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苏教版小学六年级数学总复习知识点整理
数与代数
●数的认识
一、概念
(一)整数
1.自然数、负数和整数
(1)、自然数:
我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。
一个物体也没有,用0表示。
0也是自然数。
1是自然数的基本单位,任何一个自然数都是由若干个1组成。
0是最小的自然数,没有最大的自然数。
自然数
(2)、负数:
在正数前面加上“-”的数叫做负数,“-”叫做负号。
正整数(1、2、3、4、……)
(3)整数零(0既不是正数,也不是负数)
负整数(-1、-2、-3、-4……)
2、零的作用
(1)表示数位。
读写数时,某个单位上一个单位也没有,就用0表示。
(2)占位作用。
(3)作为界限。
如“零上温度与零下温度的界限”。
3、计数单位:
一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
4、数位:
计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。
5、数的整除
(1)如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数。
(2)一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
(3)一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。
(4)个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除。
(5)个位上是0或5的数,都能被5整除。
(6)一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除。
(7)能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。
自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
(8)一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数)。
100以内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
(9)一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数。
(10)1不是质数也不是合数,自然数除了1外,不是质数就是合数。
如果把自然数按其因数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1。
(11)几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个因数,叫做这几个数的最大公因数。
(12)公因数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况:
①1和任何自然数互质。
②相邻的两个自然数互质。
③两个不同的质数互质。
④当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。
⑤两个合数的公因数只有1时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。
⑥如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数。
⑦如果两个数是互质数,它们的最大公因数就是1。
(13)几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,
①如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
②如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
③几个数的公因数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。
(二)小数
1、小数的意义
(1)把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
(2)一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……
(3)一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。
数中的圆点叫做小数点,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分。
(4)在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2、小数的分类
(三)分数
1、分数的意义
(1)把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
(2)在分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“1”平均分成多少份;分数线上面的数叫做分子,表示有这样的多少份。
(3)把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。
2、分数的分类
真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数:
假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。
3、约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数,叫做约分。
分子分母是互质数的分数,叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
(四)百分数:
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
百分数通常用"%"来表示。
百分号是表示百分数的符号。
二、方法
(一)数的读法和写法
1.整数的读法:
从高位到低位,一级一级地读。
读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面加一个“亿”或“万”字。
每一级末尾的0都不读出来,其它数位连续有几个0都只读一个零。
2.整数的写法:
从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。
3.小数的读法:
读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作“点”,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
4.小数的写法:
写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
5.分数的读法:
读分数时,先读分母再读“分之”然后读分子,分子和分母按照整数的读法来读。
6.分数的写法:
先写分数线,再写分母,最后写分子,按照整数的写法来写。
7.百分数的读法:
读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按照整数的读法来读。
8.百分数的写法:
百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
(二)数的改写
一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。
有时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。
1.准确数:
在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。
改写后的数是原数的准确数。
例如把1254300000改写成以万做单位的数是125430万;改写成以亿做单位的数12.543亿。
2.近似数:
根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示。
例如:
1302490015省略亿后面的尾数是13亿。
3.四舍五入法:
要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小,就把尾数去掉;如果尾数的最高位上的数是5或者比5大,就把尾数舍去,并向它的前一位进1。
例如:
省略345900万后面的尾数约是35万。
省略4725097420亿后面的尾数约是47亿。
4.大小比较
(1)比较整数大小:
比较整数的大小,位数多的那个数就大,如果位数相同,就看最高位,最高位上的数大,那个数就大;最高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就大。
(2)比较小数的大小:
先看它们的整数部分,,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大……
(3)比较分数的大小:
分母相同的分数,分子大的分数比较大;分子相同的数,分母小的分数大。
分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小。
(三)数的互化
1.小数化成分数:
原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。
2.分数化成小数:
用分子除以分母。
能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成有限小数的,一般保留三位小数。
3.一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。
4.小数化成百分数:
只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
5.百分数化成小数:
把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
6.分数化成百分数:
通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
7.百分数化成小数:
先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
三、性质和规律。
(一)商不变的规律
商不变的规律:
在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数(0除外),商不变。
(二)小数的性质
小数的性质:
在小数的末尾添上零或者去掉零,小数的大小不变。
(三)小数点位置的移动引起小数大小的变化
1、小数点向右移动一位,原来的数就扩大10倍;小数点向右移动两位,原来的数就扩大100倍;小数点向右移动三位,原来的数就扩大1000倍……
2、小数点向左移动一位,原来的数就缩小10倍;小数点向左移动两位,原来的数就缩小100倍;小数点向左移动三位,原来的数就缩小1000倍……
3、小数点向左移或者向右移位数不够时,要用“0"补足位。
(四)分数的基本性质
分数的基本性质:
分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(零除外),分数的大小不变。
(五)分数与除法的关系
1、被除数÷除数=
2、因为零不能作除数,所以分数的分母不能为零。
3、被除数相当于分子,除数相当于分母。
四、分数和百分数的应用
1、分数加减法应用题:
分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同,所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。
2、分数乘法应用题:
是指已知一个数,求它的几分之几是多少的应用题。
特征:
已知单位“1”的量和分率,求与分率所对应的实际数量。
解题关键:
准确判断单位“1”的量。
找准要求问题所对应的分率,然后根据一个数乘分数的意义正确列式。
3、分数除法应用题:
(1)求一个数是另一个数的几分之几(或百分之几)是多少。
特征:
已知一个数和另一个数,求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。
“一个数”是比较量,“另一个数”是标准量。
求分率或百分率,也就是求他们的倍数关系。
解题关键:
从问题入手,搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位1”,谁和“单位1”的量作比较,谁就作被除数。
甲是乙的几分之几(百分之几):
甲是比较量,乙是标准量,用甲除以乙。
关系式:
甲÷乙
甲比乙多(或少)几分之几(百分之几):
甲减乙比乙多(或少几分之几)或(百分之几)。
关系式:
两数之差÷标准量
(2)已知一个数的几分之几(或百分之几),求这个数。
特征:
已知一个实际数量和它相对应的分率,求单位“1”的量。
解题关键:
准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程,或者根据分数除法的意义列算式,但必须找准和分率相对应的已知实际数量。
4、百分率:
例如
发芽率=发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率=面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率=合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%
5、工程问题:
是分数应用题的特例,它与整数的工作问题有着密切的联系。
它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。
解题关键:
把工作总量看作单位“1”,工作效率就是工作时间的倒数。
6、利息:
存入银行的钱叫做本金。
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×时间,税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税)
●常见的量
(一)质量
1、常用单位
吨 t、千克kg、克g
2、常用换算
一吨=1000千克
1千克=1000克
(二)时间
1、常用单位
年、月、日、时、分、秒
2、单位换算
1年=365天 平年
一年=366天 闰年
一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有31天
四、六、九、十一是小月小月 小月有30天
平年2月有28天 闰年2月有29天
1天=24小时
1小时=60分
1分=60秒
(三)人民币
1、常用单位
元 、角 、分
2、单位换算
1元=10角
1角=10分
●数的运算
(一)整数四则运算
1、整数加法:
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。
加数是部分数,和是总数。
加数+加数=和 一个加数=和-另一个加数
2、整数减法:
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差。
被减数是总数,减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
3、整数乘法:
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。
相同加数的和叫做积。
在乘法里,0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都得任何数。
一个因数×一个因数=积 一个因数=积÷另一个因数
4、 整数除法:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算。
在除法里,0不能做除数。
因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数
(二)小数四则运算
1.小数加法:
小数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一个数的运算。
2.小数减法:
小数减法的意义与整数减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算.
3.小数乘法:
小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算;一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
4.小数除法:
小数除法的意义与整数除法的意义相同,就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
(三)分数四则运算
1.分数加法:
分数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一个数的运算。
2.分数减法:
分数减法的意义与整数减法的意义相同。
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
3.分数乘法:
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算。
4.乘积是1的两个数叫做互为倒数。
5.分数除法:
分数除法的意义与整数除法的意义相同。
就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
(四)运算定律
1.加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a。
2.加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c)。
3.乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a。
4.乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即(a×b)×c=a×(b×c)。
5.乘法分配律:
两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,即(a+b)×c=a×c+b×c。
6.减法的性质:
从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,即a-b-c=a-(b+c)。
(五)运算法则
1.整数、小数加法计算法则:
相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进一。
2.整数、小数减法计算法则:
相同数位对齐,从低位减起,哪一位上的数不够减,就从它的前一位退一作十,和本位上的数合并在一起,再减。
3.整数乘法计算法则:
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数,用因数哪一位上的数去乘,乘得的数的末尾就对齐哪一位,然后把各次乘得的数加起来。
4.整数除法计算法则:
先从被除数的高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位;如果不够除,就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写在哪一位的上面。
如果哪一位上不够商1,要补“0”占位。
每次除得的余数要小于除数。
5.小数乘法法则:
先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点;如果位数不够,就用“0”补足。
6.除数是整数的小数除法计算法则:
先按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添“0”,再继续除。
7.除数是小数的除法计算法则:
先移动除数的小数点,使它变成整数,被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的补“0”),然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
8.同分母分数加减法计算方法:
同分母分数相加减,只把分子相加减,分母不变。
9.异分母分数加减法计算方法:
先通分,然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
10.带分数加减法的计算方法:
整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来。
11.分数乘法的计算法则:
分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变;分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
12.分数除法的计算法则:
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
(六)运算顺序
1.小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
2.分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3.没有括号的混合运算:
同级运算从左往右依次运算;两级运算先算乘、除法,后算加减法。
4.有括号的混合运算:
先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
5.第一级运算:
加法和减法叫做第一级运算。
6.第二级运算:
乘法和除法叫做第二级运算。
(七)常用的数量关系
1、速度×时间=路程;路程÷速度=时间;路程÷时间=速度
2、单价×数量=总价;总价÷单价=数量;总价÷数量=单价
3、工作效率×工作时间=工作总量;
工作总量÷工作效率=工作时间;
工作总量÷工作时间=工作效率;
工作总量÷工作效率和=合作时间
4、加数+加数=和和---个加数=另一个加数
5、被减数-减数=差被减数-差=减数;差+减数=被减数
6、因数×因数=积;积÷一个因数=另一个因数
7、被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数
●式与方程
一、用字母表示数
(一)用字母表示数的意义和作用
用字母表示数,可以把数量关系简明的表达出来,同时也可以表示运算的结果。
(二)用含有字母的式子表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式(见公式)
二、简易方程
(一)方程:
含有未知数的等式叫做方程。
1、方程是等式,又含有未知数,两者缺一不可。
2、方程和算术式不同。
算术式是一个式子,它由运算符号和已知数组成,它表示未知数。
方程是一个等式,在方程里的未知数可以参加运算,并且只有当未知数为特定的数值时,方程才成立。
3、方程的解:
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
三、解方程:
求方程的解的过程叫做解方程。
四、列方程解应用题
(一)列方程解应用题的意义:
用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
(二)列方程解答应用题的步骤:
1、弄清题意,确定未知数并用x表示;
2、找出题中的数量之间的相等关系;
3、列方程,解方程;
4、检查或验算,写出答案。
●正比例和反比例
一、比的意义和性质
(一)比的意义:
两个数相除又叫做两个数的比。
“:
”是比号,读作“比”。
比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。
比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。
比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。
(二)比的性质:
比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。
(三)求比值和化简比
求比值的方法:
用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。
它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。
(四)比例尺:
图上距离:
实际距离=比例尺
要求会求比例尺:
已知图上距离和比例尺求实际距离;
已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺:
在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离。
(五)按比例分配:
在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法:
首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。
二、比例的意义和性质
(一)比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
(二)比例的性质
在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。
这叫做比例的基本性质。
(3)解比例:
根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例。
三、正比例和反比例
1、成正比例的量:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示:
y/x=k(一定)
2、成反比例的量:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示:
x×y=k(一定)
图形与几何
●图形的认识
(一)线和角
1、线
(1)直线:
直线没有端点;长度无限;过一点可以画无数条,过两点只能画一条直线。
(2)射线:
射线只有一个端点;长度无限。
(3)线段:
线段有两个端点,它是直线的一部分;长度有限;两点的连线中,线段为最短。
(4)平行线:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
两条平行线之间的垂线长度都相等。
(5)垂线:
两条直线相交成直角时,这两条直线叫做互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。
从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。
2、角
(1)从一点引出两条射线,所组成的图形叫做角。
这个点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
(2)角的分类
锐角:
小于90°的角叫做锐角。
直角:
等于90°的角叫做直角。
钝角:
大于90°而小于180°的角叫做钝角。
平角:
角的两边成一条直线,这时所组成的角叫做平角。
平角是180°。
周角:
角的一边旋转一周,与另一边重合。
周角是360°。
(二)平面图形
1、长方形
(1)特征
对边相等,4个角都是直角的四边形。
有两条对称轴。
(2)计算公式3长方形
C周长S面积a边长
周长=(长+宽)×2
C=2(a+b)
面积=长×宽
S=ab
2、正方形
(1)特征:
四条边都相等,四个角都是直角的四边形。
有4条对称轴。
(2)计算公式
C周长S面积a边长
周长=边长×4
C=4a
面积=边长×边长
S=a×a
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