精选牛吃草问题含例题答案讲解.docx

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精选牛吃草问题含例题答案讲解

文档编制序号：

[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

精选牛吃草问题含例题答案讲解

小学数学牛吃草问题知识点总结:

牛吃草问题：

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

小升初冲刺第2讲

牛吃草问题

基本公式:

1）设定一头牛一天吃草量为“1”

2）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

5）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。

问：

这片牧草可供25头牛吃多少天

解：

假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：

（200-150）÷（20-10）=5份

10×20=200份……原草量+20天的生长量原草量：

200-20×5=100或150-10×5=100份

15×10=150份……原草量+10天的生长量100÷（25-5）=5天

[自主训练]牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天

解：

假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：

（180-150）÷（20-10）=3份

9×20=180份……原草量+20天的生长量原草量：

180-20×3=120份或150-10×3=120份

15×10=150份……原草量+10天的生长量120÷（18-3）=8天

例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。

已知某块

草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。

照此计算，可供多少头牛吃10天

解：

假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的减少量：

（100-90）÷（6-5）=10份

20×5=100份……原草量-5天的减少量原草量：

100+5×10=150或90+6×10=150份

15×6=90份……原草量-6天的减少量（150-10×10）÷10=5头

[自主训练]由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天

解：

假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的减少量：

（240-225）÷（9-8）=15份

30×8=240份……原草量-8天的减少量原草量：

240+8×15=360份或220+9×15=360份

25×9=225份……原草量-9天的减少量360÷（21+15）=10天

例3、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。

已知男孩每

分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。

问：

该扶梯共有多少级

男孩：

20×5=100（级）自动扶梯的级数-5分钟减少的级数

女孩;15×6=90（级）自动扶梯的级数-6分钟减少的级数

每分钟减少的级数=（20×5-15×6）÷（6-5）=10（级）

自动扶梯的级数=20×5+5×10=150（级）

[自主训练]两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。

问该扶梯共有多少级

3×100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数

2×300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数

每秒新增的级数：

（2×300-3×100）÷（300-100）=（级）

自动扶梯级数=3×100-100×=150（级）

1.有一片牧场，操每天都在匀速生长（每天的增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完草，如果放牧21头牛，则8天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问：

要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛

假设1头1天吃1个单位

24*6=144

21*8=168

168-144=24

每天长的草可供24/2=12头牛吃

最多只能放12头牛

2，有一片草地，草每天生长的速度相同。

这片草地可供5头牛吃40天，或6供头牛吃30天。

如果4头牛吃了30天后，又增加2头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天

假设1头1天吃1个单位

5*40=200；6*30=180

200-180=20

每天长的草:

20/（40-30）=2

原有草：

200-2*40=120

4*30=120，30*2=6060/4=15天

3，假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年，为了人类不断繁衍，那么地球最多可以养活多少亿人

假设1亿人头1天吃1个单位

110*90=9900；90*210=18900

18900-9900=9000

9000/（210-90）=75

4，一游乐场在开门前有100人排队等候，开门后每分钟来的游客是相同的，一个入口处每分钟可以放入10名游客，如果开放2个入口处20分钟就没人排队，现开放4个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队

2*20*10=400

400-100=300

300/20=15

100+15*4=160

160/（4*10）=4

（1）因为草量=原有草量+新长出的草量，而且草量是均匀增长的。

所以“对应的牛头数×吃的较多天数”就代表了第一次情况下的总草量，即为：

吃的较多天数时的总草量=草地原有草量+草的生长速度*较多天数时的时间。

同理“相应的牛头数×吃的较少天数”代表了第二次情况下的总草量，即为：

吃的较少天数时的总草量=草地原有草量+草的生长速度*较少天数时的时间。

两个一做差，式子中的“原有草量”就被减掉了，等号的左边就是两次情况之下总草量的差，右边等于草的生长速度*两次情况下的时间差，所以直接把时间差除到左边去，就得到了草的生长速度了。

（2）牛吃的草的总量包括两个方面，一是原来草地上的草，而是新增长出来的草。

所以“牛头数×吃的天数”表示的就是牛一共吃了多少草，牛在这段时间把草吃干净了，所以牛一共吃了多少草就也表示草的总量。

当然草的总量减去新增长出来的草的数量，就剩下原来草地上面草的数量了。

牛吃草问题概念及公式

　　牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰

　　1）设定一头牛一天吃草量为“1”

　　1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

　　2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

　　4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

　　这四个公式是解决消长问题的基础。

　　由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。

牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。

正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

　　牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。

由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

　　解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

　　这类问题的基本数量关系是：

　　1.（牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数）=草地每天新长草的量。

　　2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

解多块草地的方法

　　多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。

“牛吃草”问题分析

　　华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员姚璐

　　【华图名师姚璐例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天

　　【华图名师姚璐答案】C

　　【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃Y天

　　根据核心公式代入

　　（200-150）/（20-10）=510*20-5*20=100100/（25-5）=5（天）

　　璐例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天

　　【华图名师姚璐答案】C

　　【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，

　　根据核心公式代入

　　（20×10-15×10）=510×20-5×20=100100÷4+5=30（头）

　　【华图名师姚璐例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛

　　【华图名师姚璐答案】D

　　【华图名师姚璐解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为Y，

　　24天内吃尽40公亩牧场的草，需要Z头牛

　　根据核心公式：

　　，代入

　　，因此，选择D

　　【华图名师姚璐注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。

　　下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。

　　【华图名师姚璐例4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。

问如果计划用10分钟将水排完，需要多少台抽水机【广东2006上】

　　台台台台

　　【华图名师姚璐答案】B

　　【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y台抽水机

　　有恒等式：

　　解，得，代入恒等式

　　【华图名师姚璐例5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时【北京社招2006】

　　【华图名师姚璐答案】C

　　【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y小时

　　有恒等式：

　　解，得，代入恒等式

　　【华图名师姚璐例6】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光（假定野果生长的速度不变）【浙江2007】

　　周周周周

　　【华图名师姚璐答案】C

　　【华图名师姚璐解析】设每天新生长的野果足够X只猴子吃，33只猴子共需Y周吃完

　　有恒等式：

　　解，得，代入恒等式

　　【华图名师姚璐例7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。

某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江2006】

　　小时小时小时小时

　　【华图名师姚璐答案】D

　　【华图名师姚璐解析】设共需X小时就无人排队了。

例题：

　　　1、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了求增加人数的速度还有原来的人数

　　设一个检票口一分钟一个人

　　1个检票口30分钟30个人

　　2个检票口10分钟20个人

　　（30-20）÷（30-10）=个人

　　原有1×30-30×=15人

　　或2×10-10×=15人

　　2、有三块草地，面积分别是5，15，24亩。

草地上的草一样厚，而且长得一样快。

第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天

　　这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。

　　把每头牛每天吃的草看作1份。

　　因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份

　　所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份

　　因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份

　　所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份

　　所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份

　　所以，每亩面积每天长24÷15＝份

　　所以，每亩原有草量60－30×＝12份

　　第三块地面积是24亩，所以每天要长×24＝份，原有草就有24×12＝288份

　　新生长的每天就要用头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝头牛

　　所以，一共需要＋＝42头牛来吃。

　　两种解法：

解法一：

设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：

10*30/5=60；每亩45天的总草量为：

28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为（84-60）/（45-30）=每亩原有草量为*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24**80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42（头）

解法二：

10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量（28×45-30×30）/（45-30）=24；15亩原有草量：

1260-24×45=180；15亩80天所需牛180/80+24（头）24亩需牛：

（180/80+24）*（24/15）=42头