八年级几何证明题集锦及解答值得收藏.docx
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八年级几何证明题集锦及解答值得收藏
八年级几何全等证明题归纳
1.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,BD⊥CD.过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连接EG、AF.
求证:
CF=AB+AF.
证明:
在线段CF上截取CH=BA,连接DH,
∵BD⊥CD,BE⊥CE,
∴∠EBF+∠EFB=90°,∠DFC+∠DCF=90°,
∵∠EFB=∠DFC,
∴∠EBF=∠DCF,
∵DB=CD,BA=CH,
∴△ABD≌△HCD,
∴AD=DH,∠ADB=∠HDC,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC=45°,
∴∠HDC=45°,∴∠HDB=∠BDC—∠HDC=45°,
∴∠ADB=∠HDB,
∵AD=HD,DF=DF,
∴△ADF≌△HDF,
∴AF=HF,
∴CF=CH+HF=AB+AF,
∴CF=AB+AF.
2.如图,ABCD为正方形,E为BC边上一点,且AE=DE,AE与对角线BD交于点F,连接CF,交ED于点G.判断CF与ED的位置关系,并说明理由.
解:
垂直.
理由:
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABD=∠CBD,AB=BC,
∵BF=BF,
∴△ABF≌△CBF,
∴∠BAF=∠BCF,
∵在RT△ABE和△DCE中,AE=DE,AB=DC,
∴RT△ABE≌△DCE,
∴∠BAE=∠CDE,
∴∠BCF=∠CDE,∵∠CDE+∠DEC=90°,
∴∠BCF+∠DEC=90°,
∴DE⊥CF.
3.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90º,AB=AD,DE⊥CD交AB于E,DF平分∠CDE交BC于F,连接EF.证明:
CF=EF
解:
过D作DG⊥BC于G.
由已知可得四边形ABGD为正方形,
∵DE⊥DC
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG,
∴∠ADE=∠GDC.
又∵∠A=∠DGC且AD=GD,
∴△ADE≌△GDC,
∴DE=DC且AE=GC.
在△EDF和△CDF中∠EDF=∠CDF,DE=DC,DF为公共边,∴△EDF≌△CDF,
∴EF=CF
4.已知:
在⊿ABC中,∠A=900,AB=AC,D是AC的中点,AE⊥BD,AE延长线交BC于F,求证:
∠ADB=∠FDC。
证明:
过点C作CG⊥CA交AF延长线于G
∴∠G+∠GAC=90°…………①
又∵AE⊥BD
∴∠BDA+∠GAC=90°…………②
综合①②,∠G=∠BDA
在△BDA与△AGC中,
∵∠G=∠BDA
∠BAD=∠ACG=90°
BA=CA
∴△BDA≌△AGC
∴DA=GC
∵D是AC中点,∴DA=CD
∴GC=CD
由∠1=45°,∠ACG=90°,故∠2=45°=∠1
在△GCF与△DCF中,
∵GC=CD
∠2=45°=∠1
CF=CF
∴△GCF≌△DCF
∴∠G=∠FDC,又∠G=∠BDA
∴∠ADB=∠FDC
5.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,BC=CD,O是BD的中点,E是CD延长线上一点,作OF⊥OE交DA的延长线于F,OE交AD于H,OF交AB于G,FO的延长线交CD于K,求证:
OE=OF
提示:
由条件知△BCD为等腰Rt△,连接OC,可证△OCK≌△ODH(AAS),得OK=OH,再证△FOH≌△EOK(AAS),得OE=OF
6.如图,在正方形ABCD的边BC上任取一点M,过点C作CN⊥DM交AB于N,设正方形对角线交点为O,试确定OM与ON之间的关系,并说明理由.
解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴DC=BC,∠DCM=∠NBC=90°,
又∵CN⊥DM交AB于N,
∴∠NCM+∠CMD=90°,
而∠CMD+∠CDM=90°,
∴∠NCM=∠CDM,
∴△DCM≌△CBN,
∴CM=BN,
再根据四边形ABCD是正方形可以得到
OC=OB,∠OCM=∠OBN=45°,
∴△OCM≌△OBN.
∴OM=ON,∠COM=∠BON,而∠COM+∠MOB=90°,
∴∠BON+∠MOB=90°.
∴∠MON=90°.
∴OM与ON之间的关系是OM=ON;OM⊥ON.
7.如图,正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),M是线段AE的中点,DM的延长线交CE于N.
探究:
线段MD、MF的关系,并加以证明.
证明:
根据题意,知AD∥BC.
∴∠EAD=∠AEN(内错角相等),
∵∠DMA=∠NME(对顶角相等),
又∵M是线段AE的中点,
∴AM=ME.
∴△ADM≌△ENM(ASA).
∴AD=NE,DM=MN.(对应边相等).
连接线段DF,线段FN,
线段CE是正方形的对角线,∠DCF=∠NEF=45°,
根据上题可知线段AD=NE,
又∵四边形CGEF是正方形,
∴线段FC等于FE.
∴△DCF≌△NEF(SAS).
∴线段FD=FN.
∴△FDN是等腰三角形.
∴线段MD⊥线段MF.
8.如图,△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角∠NDM,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.试探究BM、MN、CN之间的数量关系,并加以证明.
证明:
BM+CN=NM
延长AC至E,使CE=BM,连接DE,
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,△ABC是等边三角形,
∴∠BCD=30°,
∴∠ABD=∠ACD=90°,
∵DB=DC,CE=BM,
∴△DCE≌△BMD,
∵∠MDN=∠NDE=60°
∴DM=DE(上面已经全等)
∴DN=ND(公共边)
∴△DMN≌△DEN∴BM+CN=NM
9.如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°.E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:
AD+CD=DE;
证明:
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠ABC=45°.
∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠BAD=∠ABD=30°.
∴AD=BD.
在DE上截取DM=DC,连接CM,
∵AD=BD,AC=BC,DC=DC,
∴△ACD≌△BCD.
∴∠ACD=∠BCD=45°.
∵∠CAD=15°,
∴∠EDC=60°.
∵DM=DC,
∴△CMD是等边三角形.
∴∠CDA=∠CME=120°.
∵CE=CA,
∴∠E=∠CAD.
∴△CAD≌△CEM.
∴ME=AD.
∴DA+DC=ME+MD=DE.
即AD+CD=DE.
10.如图,在正方形ABCD中,F是CD的中点,E是BC边上的一点,且AF平分∠DAE,求证:
AE=EC+CD.
证明:
∵AF平分∠DAE,∠D=90°,FH⊥AE,
∴∠DAF=∠EAF,FH=FD,
在△AHF与△ADF中,
∵AF为公共边,∠DAF=∠EAF,FH=FD(角平分线上的到角的两边距离相等),
∴△AHF≌△ADF(HL).
∴AH=AD,HF=DF.
又∵DF=FC=FH,FE为公共边,
∴△FHE≌△FCE.
∴HE=CE.
∵AE=AH+HE,AH=AD=CD,HE=CE,
∴AE=EC+CD.
11.已知梯形ABCD中,AB∥CD,BD⊥AC于E,AD=BC,AC=AB,DF⊥AB于F,AC、DF相交于DF的中点O.
求证:
AB+CD=2BE.
证明:
过D作DM∥AC交BA的延长线于M.
∵梯形ABCS中,AD=BC,
∴BD=AC.
又∵CD∥AM,DM∥AC,
∴四边形CDMA为平行四边形.
∴DM=AC,CD=AM.
∵MD∥AC,又AC⊥BD,且AC=BD,
∴DM⊥BD,DM=BD,
∴△DMB为等腰直角三角形.
又∵DF⊥BM,
∴DF=BF.
∴BM=2DF=2BF
∴AM+AB=2BF.
∵CD=AM,
∴AB+CD=2BF.
∵AC=BD=AB,
∴在△BEA和△BFD中,△BEA≌△BFD.
∴BE=BF.
∵AB+CD=2BF,
∴AB+CD=2BE.
12.已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.
求证:
AD=DE.
证明:
(1)∵CF平分∠BCD,
∴∠BCF=∠DCF.
在△BFC和△DFC中,
∴△BFC≌△DFC.
∴BF=DF,∴∠FBD=∠FDB.
连接BD.
∵DF∥AB,
∴∠ABD=∠FDB.
∴∠ABD=∠FBD.
∵AD∥BC,
∴∠BDA=∠DBC.
∵BC=DC,
∴∠DBC=∠BDC.
∴∠BDA=∠BDC.
又BD是公共边,
∴△BAD≌△BED.
∴AD=DE.
13.如图,在直角梯形ABCD中,AD⊥DC,AB∥DC,AB=BC,AD与BC延长线交于点F,G是DC延长线上一点,AG⊥BC于E.
求证:
CF=CG;
证明:
连接AC,
∵DC∥AB,AB=BC,
∴∠1=∠CAB,∠CAB=∠2,
∴∠1=∠2;
∵∠ADC=∠AEC=90°,AC=AC,
∴△ADC≌△AEC,
∴CD=CE;
∵∠FDC=∠GEC=90°,∠3=∠4,
∴△FDC≌△GEC,
∴CF=CG.
14.如图,已知P为∠AOB的平分线OP上一点,PC⊥OA于C,PA=PB,求证AO+BO=2CO
证明:
过点P作PQ⊥OB于Q,则∠PQB=90°
∵OP平分∠AOB,且PC⊥OA,PQ⊥OB
∴PC=PQ
在Rt△POC与Rt△POQ中,
∵PC=PQ
PO=PO
∴Rt△POC≌Rt△POQ(HL)
∴OC=OQ
∴2OC=OC+OQ=OC+OB+BQ
在Rt△PCA与Rt△PQB中,
∵PC=PQ
PA=PB
∴Rt△PCA≌Rt△PQB(HL)
∴CA=QB
又2OC=OC+OB+BQ
∴2OC=OC+OB+CA=OA+OB
15.已知:
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.求证:
BG=FG;
证明:
∵∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,
∴∠ABC=∠AFE.
∵AC=AE,∠EAF=∠CAB,
∴△ABC≌△AFE
∴AB=AF.
连接AG,
∵AG=AG,AB=AF,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG.
∴BG=FG
16.如图,在平行四边形ABCD中,分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF,连接CE、CF,求证:
①△CDF≌△EBC;②∠CDF=∠EAF;③△ECF是等边△
解:
∵△ABE、△ADF是等边三角形
∴FD=AD,BE=AB
∵AD=BC,AB=DC
∴FD=BC,BE=DC
∵∠B=∠D,∠FDA=∠ABE
∴∠CDF=∠EBC
∴△CDF≌△EBC,
∵AF=FD,AE=DC,EF=CF
∴△EAF≌△CDF
∴∠CDF=∠EAF,
∵∠AFC=∠AFE+∠EFD+∠DFC,∠AFE+∠EFD=60°
∴∠AFC-∠DFC=60°
∴∠AFE=∠DFC
∴∠EFC=60°
同理,∠FEC=60°
∵CF=CE
∴△ECF是等边三角形
17.已知正方形ABCD中,F为对角线BD上一点,过F点作EF⊥BA于E,G为DF中点,连接EG,CG.求证:
EG=CG;
证明:
延长CG至M,使MG=CG,
连接MF,ME,EC,
在△DCG与△FMG中,
∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG≌△FMG.
∴MF=CD,∠FMG=∠DCG,
∴MF∥CD∥AB,
∴EF⊥MF.
在Rt△MFE与Rt△CBE中,
∵MF=CB,EF=BE,
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB.
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°,
∴△MEC为直角三角形.
∵MG=CG,
∴EG=MC,
∴EG=CG.
18.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,求证:
AC=AE+CD.
解:
在AC上取AF=AE,连接OF,
则△AEO≌△AFO(SAS),
∴∠AOE=∠AOF;
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,
∴∠ECA+∠DAC=(180°-∠B)=60°
则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°;
∴∠AOC=∠DOE=120°,
∠AOE=∠COD=∠AOF=60°,
则∠COF=60°,
∴∠COD=∠COF,
又∵∠FCO=∠DCO,CO=CO,
∴△FOC≌△DOC(ASA),
∴DC=FC,
∵AC=AF+FC,
∴AC=AE+CD.
19.已知:
如图,AD∥BC,AE平分∠BAD,AE⊥BE;说明:
AD+BC=AB.
解:
如图,在AB上截取AF=AD,
∴AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠FAE,
∵AF=AD,AE=AE,
∴△DAE≌△FAE,
∴∠D=∠AFE,∠DEA=∠FEA,
∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°,
∵AE⊥BE,
∴∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠DAE+∠CBE=90°,
∴∠ABE=∠CBE,
同理,∠FEB=∠CEB,
∵BE=BE,
∴△BEF≌△BEC,
∴BF=BC,
∴AB=AF+FB=AD+BC.
20.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.
求证:
CF=EF.
证明:
∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AC=AE,AD=AB,∠CAB=∠EAD,
∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB.
即∠CAD=∠EAB.
∴△CAD≌△EAB,
∴CD=EB,∠ADC=∠ABE.
又∵∠ADE=∠ABC,
∴∠CDF=∠EBF.
又∵∠DFC=∠BFE,
∴△CDF≌△EBF.
∴CF=EF.
21.将两个全等的直角三角形ABC和DBE如图方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.
求证:
AF+EF=DE
证明:
连接BF
∵△ABC≌△DBE,
∴BC=BE,AC=DE.
∵∠ACB=∠DEB=90°,
∴∠BCF=∠BEF=90°.
∵BF=BF,
∴Rt△BFC≌Rt△BFE.
∴CF=EF.
又∵AF+CF=AC,
∴AF+EF=DE.
初二几何全等证明题集锦
(二)
1.
(1)如图1,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.
求∠AEB的大小;
C
B
O
D
图1
A
E
B
A
O
D
C
E
图2
(2)如图2,ΔOAB固定不动,保持ΔOCD的形状和大小不变,将ΔOCD绕着点O旋转(ΔOAB和ΔOCD不能重叠),求∠AEB的大小.
2.如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:
(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度
,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.
(2)将原题中正方形改为矩形(如图4—6),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb(a
b,k
0),第
(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?
若成立,以图5为例简要说明理由.
(3)在第
(2)题图5中,连结
、
,且a=3,b=2,k=
,求
的值.
3.如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90º.
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为▲,数量关系为▲.
图甲
图乙
图丙
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90º,点D在线段BC上运动.
试探究:
当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?
画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法)
CF相交于点P,求线段CP长的最大值.
4.已知:
如图5—132,点C在线段AB上,以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN,连结AN、BM,分别交CM、CN于点P、Q.求证:
PQ∥AB.
5.如图,在正方形ABCD中,△PBC、△QCD是两个等边三角形,PB与DQ交于M,BP与CQ交于E,CP与DQ交于F。
求证:
PM=QM。
6
A
B
C
D
.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB=AC-BD,则∠B∶∠C的值为多少?
7、如图,△ABC中,AB=AC,D、E、F分别是BC、AB、AC上的点,BD=CF,CD=BE,G为EF中点,连结DG,问DG与EF之间有何关系?
证明你的结论。
8.已知:
三角形ABC和CDE为等腰直角三角形,点F、G分别为BE和AD的中点,连接FG和GC,
求证:
FG和GC的关系。
9.如图1,已知△ABC,∠ACB=90°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,BE=EC,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,连接DE交AB于点F,试探究线段DF与EF的数量关系,并加以证明。
10.已知:
如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=150.
A
P
C
D
B
求证:
△PBC是正三角形.
11.已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.
求证:
∠DEN=∠F.
P
C
G
F
B
Q
A
D
E
12.如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.
求证:
点P到边AB的距离等于AB的一半.
13如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.
求证:
CE=CF.
A
F
D
E
C
B
14、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.
求证:
AE=AF.
E
D
A
C
B
F
15、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE.
求证:
PA=PF.
F
E
P
C
B
A
D
16、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.
求证:
∠PAB=∠PCB.
P
A
D
C
B
17.如图2-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,
(1)将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°,得到Rt△AC'B',直线BB'交直线CC'于点D,连接AD.
探究:
AD与BB'之间的关系,并说明理由。
(2)如图2-2,若将Rt△ABC绕点A逆时针旋转任意角度,其他条件不变,还有
(1)的结论吗?
为什么?
18.在△ABC与△BDE中,∠ABC=∠BDE=90°,BC=DE,AC=BE,M.N分别是AB.BD的中点,连接MN交CE于点K
(1)如图3-1,当C.B.D共线,AB=2BC时,探究CK与EK之间的数量关系,并证明;
(2)如图3-2,当C.B.D不共线,AB≠2BC时,
(1)中的结论是否成立,若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)将题目中的条件“∠ABC=∠BDE=90°,BC=DE,AC=BE”都去掉,再添加一个条件,写出一个类似的对一般三角形都成立的问题(画出图形,写出已知和结论,不用证明)
19.如图,△ABO与△CDO均为等腰三角形,且∠BAO=∠DCO=90°,M为BD的中点,MN⊥AC,试探究MN与AC的数量关系,并说明理由。
20.填空或解答:
点B.C.E在同一直线上,点A.D在直线CE的同侧,AB=AC,EC=ED,∠BAC=∠CED,直线AE、BD交于点F。
(1)如图①,若∠BAC=60°,则∠AFB=_________;如图②,若∠BAC=90°,则∠AFB=_________;
(2)如图③,若∠BAC=α,则∠AFB=_________(用含α的式子表示);
(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A.B重合),得图④或图⑤。
在图④中,∠AFB与∠α的数量关系是________________;在图⑤中,∠AFB与∠α的数量关系是________________。
请你任选其中一个结论证明。
20.已知:
如图①所示,在
和
中,
,
,
,且点
在一条直线上,连接
分别为
的中点.
(1)求证:
①
;②
是等腰三角形.
(2)在图①的基础上,将
绕点
按顺时针方向旋转
,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出
(1)中的两个结论是否仍然成立;
C
E
N
D
A
B
M
图①
C
A
E
M
B
D
N
图②
21.如图,分别以△ABC的边AB、AC为边,向外作正方形ABFG和ACDE,连接EG
求证:
22.如图,分别以△ABC的边AB、AC为边,向外作正方形ABFG和ACDE,连接EG。
若O为EG的中点
求证:
BC=2AO
23.如图,分别以△ABC的边AB、AC为边,向外作正方形ABFG和ACDE,连接EG,若O为EG的中点,OA的延长线交BC于点H
求证:
AH⊥BC
24.如图,分别以△ABC的边AB、AC为边,向外作正方形ABFG和ACDE,连接EG,若AH⊥BC,HA的延长线交EG于点O
求证:
O为EG的中点
25.如图,分别以△ABC的边AB、AC为边,向外作正方形ABFG和ACDE,连接BE,CG
求证:
(1)BE=CG
(2)BE⊥CG
26.如图,分别以△ABC的边AB、AC为边,向外作正方形ABFG和ACDE,连接BE,CG
作FM⊥BC,交CB的延长线于点M,作DN⊥BC,交BC的延长线于点N
求证:
FM+DN=BC
27.如图,分别以△ABC的边AB、AC为边,向外作正方形ABFG和ACDE,连接BE,CG、FD
O是FD中点,OP⊥BC于点P
求证:
BC=2OP
28.如图,分别以△ABC的边AB、AC为边,向外作正方形ABFG和ACDE,连接CE,BG、GE
M、N、P、Q分别是EG、GB、BC、CE的中点
求证:
四边形MNPQ是正方形
29.如图,已知P是等边△ABC的BC边上任意一点,过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD,垂足
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