导数中的构造函数最全精编.docx
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导数中的构造函数最全精编
导数小题中构造函数的技巧
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想,而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现,尤其是在导数题型中,下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。
(一)利用f(x)进行抽象函数构造
1、利用f(x)与x构造;常用构造形式有xf(x),f(x);这类形式是对u⋅v,u型
xv
数导数计算的推广及应用,我们对u⋅v,u的导函数观察可得知,u⋅v型导函数中
v
体现的是“+”法,u型导函数中体现的是“”法,由此,我们可以猜测,当
v
导函数形式出现的是“+”法形式时,优先考虑构造u⋅v型,当导函数形式出现的是“-”法形式时,优先考虑构造u,我们根据得出的“优先”原则,看一看
v
例1,例2.
【例1】f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,且
f(-4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为
【解析】构造F(x)=xf(x),则F'(x)=f(x)+xf'(x),当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,
可以推出x<0,F'(x)<0,F(x)在(-∞,0)上单调递减.∵f(x)为偶函数,x为奇函数,所以F(x)为奇函数,∴F(x)在(0,+∞)上也单调递减.根据f(-4)=0可得F(-4)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像可知xf(x)>0的解
集为(-∞,-4)⋃(0,4).
【例2】设f(x)是定义在R上的偶函数,且f
(1)=0,当x<0时,有
xf'(x)-f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集为
❀❀❀思路点拨:
出现“”形式,优先构造F(x)=f(x)然后利用函数的单调
x
性、奇偶性和数形结合求解即可.
f(x)f'(x)⋅x-f(x)
【解析】构造F(x)=,则F'(x)=x2,当x<0时,
x
xf'(x)-f(x)>0,可以推出x<0,F'(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增.∵f(x)为偶函数,x为奇函数,所以F(x)为奇函数,∴F(x)在(0,+∞)上也单调递减.根据f
(1)=0可得F
(1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像可知f(x)>0的解集为(-∞,-1)⋃(1,+∞).
xf(x),f(x)是比较简单常见的f(x)与x之间的函数关系式,如果碰见复杂的,
x
不易想的我们该如何处理,由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.
F(x)=xnf(x),F'(x)=nxn-1f(x)+xnf(x)=xn-1[nf(x)+f'(x)];
'nn-1'
F(x)=f(x),F'(x)=f(x)⋅x-nxf(x)=xf(x)-nf(x);
xnx2nxn+1
结论:
出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf
出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=f(x).
xn
我们根据得出的结论去解决例3题
【例3】已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f'(x),且满足f(-1)=0,当x>0
时,2f(x)>xf'(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是
❀❀❀思路点拨:
满足“xf'(x)-nf(x)”形式,优先构造F(x)=f(x)然后利用
xn
函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.
f(x)f'(x)⋅x-2f(x)
【解析】构造F(x)=x2,则F'(x)x3,当x>0时,
xf'(x)-2f(x)<0,可以推出x>0,F'(x)<0,F(x)在(0,+∞)上单调递减.∵f(x)为偶函数,x2为偶函数,所以F(x)为偶函数,∴F(x)在(-∞,0)上单调递增.根据f(-1)=0可得F(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像可知
f(x)>0的解集为(-1,0)⋃(0,1).
【变式提升】设函数f(x)满足x3f'(x)+3x2f(x)=1+lnx,且f(
则x>0时,f(x)()
A、有极大值,无极小值B、有极小值,无极大值
C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值
e)=1,
2e
❀❀❀思路点拨:
满足“xf'(x)+nf(x)”形式,为n=3时情况,优先构造F(x)=f(x),
xn
然后利用积分、函数的性质求解即可.
【例4】设f(x)是定义在R上的奇函数,在(-∞,0)上有2xf'(2x)+f(2x)<0,且f(-2)=0,则不等式xf(2x)<0的解集为.
(2)利用f(x)与ex构造;
f(x)与ex构造,一方面是对u⋅v,u函数形式的考察,另外一方面是对
v
(ex)=ex的考察.所以对于f(x)±f'(x)类型,我们可以等同xf(x),f(x)的类型处
x
理,“+”法优先考虑构造F(x)=f(x)⋅ex,“”法优先考虑构造F(x)=f(x)
ex.
【例5】已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,导函数f'(x)满足f'(x) 对于x∈R恒成立,则() A、f (2)>e2f(0),f(2014)>e2014f(0)B、f (2) C、f (2)>e2f(0),f(2014) (2) ❀❀❀思路点拨: 满足“f'(x)-f(x)<0”形式,优先构造F(x)=f(x),然后利用 ex 函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化. f(x)'ef(x)-ef(x)=f(x)-f(x) x'x' 【解析】构造F(x)=ex形式,则F(x)e2xex,导 函数f'(x)满足f'(x) 同样exf(x),f(x)是比较简单常见的f(x)与ex之间的函数关系式,如果碰 ex 见复杂的,我们是否也能找出此类函数的一般形式呢? 【解析】构造F(x)= e2x形式,则F(x)= e4x e2x, 导函数f'(x)满足f'(x)-2f(x)>0,则F'(x)>0,F(x)在R上单调递增.又 f(0)=1,则F(0)=1,f(x)>e2x⇔f(x)>1⇔F(x)>F(0),根据单调性得x>0. 2 x 【变式提升】若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-2f(x)-4>0,f(0)=-1,则不等式f(x)>e2x-2的解集为 e2xe2x ❀❀❀思路点拨: 利用通式构造函数时考虑-4如何转化.构造函数F(x)=f(x)-2 【例7】已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),若f(x)满足: (x-1)[f'(x)-f(x)]>0,f(2-x)=f(x)e2-2x,则下列判断一定正确的是() (A)f (1) (2)>e2f(0) (C)f(3)>e3f(0)(D)f(4) ❀❀❀思路点拨: 满足“f'(x)-f(x)”形式,优先构造F(x)=f(x),然后利用函数 ex 的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化. f(x) exf'(x)-exf(x)= ' f'(x)-f(x) 【解析】构造F(x)= ex形式,则F(x) e2x ex,导 函数f'(x)满足(x-1)[f'(x)-f(x)]>0,则x≥1时F'(x)≥0,F(x)在[1,+∞)上单调递增.当x<1时F'(x)<0,F(x)在(-∞,1]上单调递减.又由 f(2-x)=f(x)e2-2x⇔F(2-x)=F(x)⇒F(x)关于x=1对称,根据单调性和图像, 可知选C. 5 (3)利用f(x)与sinx,cosx构造. sinx,cosx因为导函数存在一定的特殊性,所以也是重点考察的范畴,我们一起看看常考的几种形式. F(x)=f(x)sinx,F'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx; f(x)f'(x)sinx-f(x)cos F(x),F'(x)=x; sinx F(x)=f(x)cosx,F'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx; f(x)f'(x)cosx+f(x)sin F(x),F'(x)=x. cosx 根据得出的关系式,我们来看一下例8 ) 【例8】已知函数y=f(x)对于任意的x∈(-ππ满足 22 f'(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式 不成立的是() ()() A、2fπ B、2f(-π<)f(-π) 34 C、f(0)<2fπ 34 D、f(0)<π ()2f() 43 【变式提升】定义在(0,π )上的函数,函数f '(x)是它的导函数,且恒有 2 f(x) πππ A、f()> 4 f()3 B、f (1)<2f()sin1 6 ππππ C、2f()> 6 f()4 D、f()< 6 f()3 ❀❀❀思路点拨: 满足“f'(x)sinx-f(x)cosx”形式,优先构造F(x)=f(x),然后 sinx 利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化. (二)构造具体函数关系式构造 这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式,通过具体的关系式去解决不等式及求值问题. 【例9】α,β∈[-ππ]αsinα-βsinβ>0,则下列结论正确的是() ,且 22 A、α>βB、α2>β2C、α<βD、α+β>0 ❀❀❀思路点拨: 构造函数f(x)=xsinx,然后利用函数的单调性和数形结合求解即可. 【解析】构造f(x)=xsinx形式,则f'(x)=sinx+xcosx,x∈[0,π]时导函数 2 f'(x)≥0,f(x)单调递增;x∈[-π)时导函数f'(x)<0,f(x)单调递减.有∵f(x) 0 2 为偶函数,根据单调性和图像可知选B. 【变式提升】定义在R上的函数f(x)满足f (1)=1且对∀x∈R,f'(x)<1则 ,2 不等式f(logx)>log2x+1的解集为. 22 ❀❀❀思路点拨: 构造函数F(x)=f(x)-1x2,令t=logx,然后原不等式等价于 2 t+12 f(t)>,利用单调性求解集,然后解对数不等式即可. 2 则f'(0)=() A、26B、29C、212D、215 ❀❀❀思路点拨: 构造函数f(x)=xg(x),然后利用整体代换思想和数列的性质求解即可. 【解析】令g(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-a8)形式,则f(x)=xg(x), f'(x)=g(x)+xg'(x),∴f'(0)=g(0)=a⋅a⋅...⋅a=(2⨯4)4=212,故选C. 128 【例11】已知实数a,b,c满 a-2ea b =1-c= d-1 1,其中e是自然对数的底数, 那么(a-c)2+(b-d)2的最小值为() A、8B、10C、12D、18 ❀❀❀思路点拨: 把(a-c)2+(b-d)2看成两点距离的平方,然后利用数形结合以及点到直线的距离即可. a-2eaa 【解析】由=1⇒b=a-2e进而⇒f(x)=x-2ex;又由 b 1-c=1⇒d=2-c⇒g(x)=2-x;由f'(x)=1-2ex=-1,得x=0,所以切点坐标 d-1 ⎛|0-2-2⎫2 为(0,-2),所以(a-c)2+(b-d)2的最小值为⎪=8 ç1+1⎭ 【变式提升】已知实数a,b满足2a2-5lna-b=0,c∈R,则(a-c)2+(b+c)2 的最小值为 ❀❀❀思路点拨: 构造函数f(x)=2x2-5lnx,g(x)=-x,然后利用两点之间的距离公式和数形结合思想求解即可. 【课后作业】设函数f(x)在R上的导函数f'(x),在(0,+∞)上 f'(x) 正确的是() f 5π4ππ ( A、) ) B、f()< 4 ) f(π) C、f(-5π f(-4π D、f(-π> f(-π) )< 634 构造函数,作为一种做题技巧的体现,考察了学生的思考能力和动手能力,是一种非常实用的做题技巧,希望我的总结分享能够给大家带来帮助。
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