八年级因式分解难题附答案及解析复习过程.docx
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八年级因式分解难题附答案及解析复习过程
2017年05月21日数学(因式分解难题)2
一.填空题(共10小题)
1.已知x+y=10,xy=16,则x2y+xy2的值为 .
2.两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x﹣1)(x﹣9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x﹣2)(x﹣4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来:
.
3.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式,则m的值是 .
4.分解因式:
4x2﹣4x﹣3= .
5.利用因式分解计算:
2022+202×196+982= .
6.△ABC三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,则△ABC的形状是 .
7.计算:
12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= .
8.定义运算a★b=(1﹣a)b,下面给出了关于这种运算的四个结论:
①2★(﹣2)=3
②a★b=b★a
③若a+b=0,则(a★a)+(b★b)=2ab
④若a★b=0,则a=1或b=0.
其中正确结论的序号是 (填上你认为正确的所有结论的序号).
9.如果1+a+a2+a3=0,代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= .
10.若多项式x2﹣6x﹣b可化为(x+a)2﹣1,则b的值是 .
二.解答题(共20小题)
11.已知n为整数,试说明(n+7)2﹣(n﹣3)2的值一定能被20整除.
12.因式分解:
4x2y﹣4xy+y.
13.因式分解
(1)a3﹣ab2
(2)(x﹣y)2+4xy.
14.先阅读下面的内容,再解决问题,
例题:
若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0,求m和n的值.
解:
∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0
∴(m+n)2+(n﹣3)2=0
∴m+n=0,n﹣3=0
∴m=﹣3,n=3
问题:
(1)若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0,求xy的值.
(2)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0,请问△ABC是怎样形状的三角形?
15.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“和谐数”.如4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42,因此4,12,20这三个数都是和谐数.
(1)36和2016这两个数是和谐数吗?
为什么?
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗?
为什么?
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 .
16.如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片.
(1)如果现有小正方形①1张,大正方形③2张,长方形②3张,请你将它们拼成一个大长方形(在图2虚线框中画出图形),并运用面积之间的关系,将多项式a2+3ab+2b2分解因式.
(2)已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169,长方形②的周长为34,求长方形②的面积.
(3)现有三种纸片各8张,从其中取出若干张纸片,每种纸片至少取一张,把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接),求可以拼成多少种边长不同的正方形.
17.
(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示,用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形,如图2.
①用两种不同的方法,计算图2中长方形的面积;
②由此,你可以得出的一个等式为:
.
(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式,画出你的拼图;
②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果,画出你的拼图.
18.已知a+b=1,ab=﹣1,设s1=a+b,s2=a2+b2,s3=a3+b3,…,sn=an+bn
(1)计算s2;
(2)请阅读下面计算s3的过程:
因为a+b=1,ab=﹣1,
所以s3=a3+b3=(a+b)(a2+b2)﹣ab(a+b)=1×s2﹣(﹣1)=s2+1=
你读懂了吗?
请你先填空完成
(2)中s3的计算结果,再用你学到的方法计算s4.
(3)试写出sn﹣2,sn﹣1,sn三者之间的关系式;
(4)根据(3)得出的结论,计算s6.
19.
(1)利用因式分解简算:
9.82+0.4×9.8+0.04
(2)分解因式:
4a(a﹣1)2﹣(1﹣a)
20.阅读材料:
若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,求m、n的值.
解:
∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0,∴(m2﹣2mn+n2)+(n2﹣8n+16)=0
∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0,∴(m﹣n)2=0,(n﹣4)2=0,∴n=4,m=4.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求x﹣y的值.
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数,且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0,求△ABC的最大边c的值.
(3)已知a﹣b=4,ab+c2﹣6c+13=0,则a﹣b+c= .
21.仔细阅读下面例题,解答问题:
例题:
已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.
解:
设另一个因式为(x+n),得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n),则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n
∴n+3=﹣4
m=3n解得:
n=﹣7,m=﹣21
∴另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21.
问题:
(1)若二次三项式x2﹣5x+6可分解为(x﹣2)(x+a),则a= ;
(2)若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为(2x﹣1)(x+5),则b= ;
(3)仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是(2x﹣3),求另一个因式以及k的值.
22.分解因式:
(1)2x2﹣x;
(2)16x2﹣1;
(3)6xy2﹣9x2y﹣y3;
(4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2.
23.已知a,b,c是三角形的三边,且满足(a+b+c)2=3(a2+b2+c2),试确定三角形的形状.
24.分解因式
(1)2x4﹣4x2y2+2y4
(2)2a3﹣4a2b+2ab2.
25.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)图②中的阴影部分的面积为 ;
(2)观察图②请你写出三个代数式(m+n)2、(m﹣n)2、mn之间的等量关系是 .
(3)若x+y=7,xy=10,则(x﹣y)2= .
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.
如图③,它表示了 .
(5)试画出一个几何图形,使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2.
26.已知a、b、c满足a﹣b=8,ab+c2+16=0,求2a+b+c的值.
27.已知:
一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,
求:
这个长方体的体积.
28.(x2﹣4x)2﹣2(x2﹣4x)﹣15.
29.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2004,则需应用上述方法 次,结果是 .
(3)分解因式:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).
30.对于多项式x3﹣5x2+x+10,如果我们把x=2代入此多项式,发现多项式x3﹣5x2+x+10=0,这时可以断定多项式中有因式(x﹣2)(注:
把x=a代入多项式能使多项式的值为0,则多项式含有因式(x﹣a)),于是我们可以把多项式写成:
x3﹣5x2+x+10=(x﹣2)(x2+mx+n),
(1)求式子中m、n的值;
(2)以上这种因式分解的方法叫试根法,用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式.
2017年05月21日数学(因式分解难题)2
参考答案与试题解析
一.填空题(共10小题)
1.(2016秋•望谟县期末)已知x+y=10,xy=16,则x2y+xy2的值为 160 .
【分析】首先提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.
【解答】解:
∵x+y=10,xy=16,
∴x2y+xy2=xy(x+y)=10×16=160.
故答案为:
160.
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.
2.(2016秋•新宾县期末)两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x﹣1)(x﹣9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x﹣2)(x﹣4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来:
2(x﹣3)2 .
【分析】根据多项式的乘法将2(x﹣1)(x﹣9)展开得到二次项、常数项;将2(x﹣2)(x﹣4)展开得到二次项、一次项.从而得到原多项式,再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式.
【解答】解:
∵2(x﹣1)(x﹣9)=2x2﹣20x+18;
2(x﹣2)(x﹣4)=2x2﹣12x+16;
∴原多项式为2x2﹣12x+18.
2x2﹣12x+18=2(x2﹣6x+9)=2(x﹣3)2.
【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键.二次三项式分解因式,看错了一次项系数,但二次项、常数项正确;看错了常数项,但二次项、一次项正确.
3.(2015春•昌邑市期末)若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式,则m的值是 ±4 .
【分析】利用完全平方公式(a+b)2=(a﹣b)2+4ab、(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab计算即可.
【解答】解:
∵x2+mx+4=(x±2)2,
即x2+mx+4=x2±4x+4,
∴m=±4.
故答案为:
±4.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键.
4.(2015秋•利川市期末)分解因式:
4x2﹣4x﹣3= (2x﹣3)(2x+1) .
【分析】ax2+bx+c(a≠0)型的式子的因式分解,这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),进而得出答案.
【解答】解:
4x2﹣4x﹣3=(2x﹣3)(2x+1).
故答案为:
(2x﹣3)(2x+1).
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式,正确分解各项系数是解题关键.
5.(2015春•东阳市期末)利用因式分解计算:
2022+202×196+982= 90000 .
【分析】通过观察,显然符合完全平方公式.
【解答】解:
原式=2022+2x202x98+982
=(202+98)2
=3002
=90000.
【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值.
6.(2015秋•浮梁县校级期末)△ABC三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca,则△ABC的形状是 等边三角形 .
【分析】分析题目所给的式子,将等号两边均乘以2,再化简得(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2=0,得出:
a=b=c,即选出答案.
【解答】解:
等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得:
2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,
即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0,
即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2=0,
解得:
a=b=c,
所以,△ABC是等边三角形.
故答案为:
等边三角形.
【点评】此题考查了因式分解的应用;利用等边三角形的判定,化简式子得a=b=c,由三边相等判定△ABC是等边三角形.
7.(2015秋•鄂托克旗校级期末)计算:
12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= 5151 .
【分析】通过观察,原式变为1+(32﹣22)+(52﹣42)+(1012﹣1002),进一步运用高斯求和公式即可解决.
【解答】解:
12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012
=1+(32﹣22)+(52﹣42)+(1012﹣1002)
=1+(3+2)+(5+4)+(7+6)+…+(101+100)
=(1+101)×101÷2
=5151.
故答案为:
5151.
【点评】此题考查因式分解的实际运用,分组分解,利用平方差公式解决问题.
8.(2015秋•乐至县期末)定义运算a★b=(1﹣a)b,下面给出了关于这种运算的四个结论:
①2★(﹣2)=3
②a★b=b★a
③若a+b=0,则(a★a)+(b★b)=2ab
④若a★b=0,则a=1或b=0.
其中正确结论的序号是 ③④ (填上你认为正确的所有结论的序号).
【分析】根据题中的新定义计算得到结果,即可作出判断.
【解答】解:
①2★(﹣2)=(1﹣2)×(﹣2)=2,本选项错误;
②a★b=(1﹣a)b,b★a=(1﹣b)a,故a★b不一定等于b★a,本选项错误;
③若a+b=0,则(a★a)+(b★b)=(1﹣a)a+(1﹣b)b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab,本选项正确;
④若a★b=0,即(1﹣a)b=0,则a=1或b=0,本选项正确,
其中正确的有③④.
故答案为③④.
【点评】此题考查了整式的混合运算,以及有理数的混合运算,弄清题中的新定义是解本题的关键.
9.(2015春•张掖校级期末)如果1+a+a2+a3=0,代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 0 .
【分析】4项为一组,分成2组,再进一步分解因式求得答案即可.
【解答】解:
∵1+a+a2+a3=0,
∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8,
=a(1+a+a2+a3)+a5(1+a+a2+a3),
=0+0,
=0.
故答案是:
0.
【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值,注意合理分组解决问题.
10.(2015春•昆山市期末)若多项式x2﹣6x﹣b可化为(x+a)2﹣1,则b的值是 ﹣8 .
【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可.
【解答】解:
∵x2﹣6x﹣b=(x﹣3)2﹣9﹣b=(x+a)2﹣1,
∴a=﹣3,﹣9﹣b=﹣1,
解得:
a=﹣3,b=﹣8.
故答案为:
﹣8.
【点评】此题主要考查了配方法的应用,根据题意正确配方是解题关键.
二.解答题(共20小题)
11.已知n为整数,试说明(n+7)2﹣(n﹣3)2的值一定能被20整除.
【分析】用平方差公式展开(n+7)2﹣(n﹣3)2,看因式中有没有20即可.
【解答】解:
(n+7)2﹣(n﹣3)2=(n+7+n﹣3)(n+7﹣n+3)=20(n+2),
∴(n+7)2﹣(n﹣3)2的值一定能被20整除.
【点评】主要考查利用平方差公式分解因式.公式:
a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
12.(2016秋•农安县校级期末)因式分解:
4x2y﹣4xy+y.
【分析】先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
【解答】解:
4x2y﹣4xy+y
=y(4x2﹣4x+1)
=y(2x﹣1)2.
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
13.(2015秋•成都校级期末)因式分解
(1)a3﹣ab2
(2)(x﹣y)2+4xy.
【分析】
(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可;
(2)原式利用完全平方公式分解即可.
【解答】解:
(1)原式=a(a2﹣b2)=a(a+b)(a﹣b);
(2)原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=(x+y)2.
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
14.(2015春•甘肃校级期末)先阅读下面的内容,再解决问题,
例题:
若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0,求m和n的值.
解:
∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0
∴(m+n)2+(n﹣3)2=0
∴m+n=0,n﹣3=0
∴m=﹣3,n=3
问题:
(1)若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0,求xy的值.
(2)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0,请问△ABC是怎样形状的三角形?
【分析】
(1)首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0,配方得到(x﹣y)2+(y+2)2=0,再根据非负数的性质得到x=y=﹣2,代入求得数值即可;
(2)先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0,配方得到(a﹣3)2+(b﹣3)2+|3﹣c|=0,根据非负数的性质得到a=b=c=3,得出三角形的形状即可.
【解答】解:
(1)∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0
∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0,
∴(x﹣y)2+(y+2)2=0
∴x=y=﹣2
∴
;
(2)∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0,
∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0,
∴(a﹣3)2+(b﹣3)2+|3﹣c|=0
∴a=b=c=3
∴三角形ABC是等边三角形.
【点评】此题考查了配方法的应用:
通过配方,把已知条件变形为几个非负数的和的形式,然后利用非负数的性质得到几个等量关系,建立方程求得数值解决问题.
15.(2015秋•太和县期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“和谐数”.如4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42,因此4,12,20这三个数都是和谐数.
(1)36和2016这两个数是和谐数吗?
为什么?
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗?
为什么?
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 2500 .
【分析】
(1)利用36=102﹣82;2016=5052﹣5032说明36是“和谐数”,2016不是“和谐数”;
(2)设两个连续偶数为2n,2n+2(n为自然数),则“和谐数”=(2n+2)2﹣(2n)2,利用平方差公式展开得到(2n+2+2n)(2n+2﹣2n)=4(2n+1),然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数;
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”中,最小的为:
22﹣02=4,最大的为:
502﹣482=196,将它们全部列出不难求出他们的和.
【解答】解:
(1)36是“和谐数”,2016不是“和谐数”.理由如下:
36=102﹣82;2016=5052﹣5032;
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(n为自然数),
∵(2k+2)2﹣(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2﹣2k)
=(4k+2)×2
=4(2k+1),
∵4(2k+1)能被4整除,
∴“和谐数”一定是4的倍数;
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和,
S=(22﹣02)+(42﹣22)+(62﹣42)+…+(502﹣482)=502=2500.
故答案是:
2500.
【点评】本题考查了因式分解的应用:
利用因式分解把所求的代数式进行变形,从而达到使计算简化.
16.(2015春•兴化市校级期末)如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片.
(1)如果现有小正方形①1张,大正方形③2张,长方形②3张,请你将它们拼成一个大长方形(在图2虚线框中画出图形),并运用面积之间的关系,将多项式a2+3ab+2b2分解因式.
(2)已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169,长方形②的周长为34,求长方形②的面积.
(3)现有三种纸片各8张,从其中取出若干张纸片,每种纸片至少取一张,把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接),求可以拼成多少种边长不同的正方形.
【分析】
(1)根据小正方形①1张,大正方形③2张,长方形②3张,直接画出图形,利用图形分解因式即可;
(2)由长方形②的周长为34,得出a+b=17,由题意可知:
小正方形①与大正方形③的面积之和为a2+b2=169,将a+b=17两边同时平方,可求得ab的值,从而可求得长方形②的面积;
(3)设正方形的边长为(na+mb),其中(n、m为正整数)由完全平方公式可知:
(na+mb)2=n2a2+2nmab+m2b2.因为现有三种纸片各8张,
n2≤8,m2≤8,2mn≤8(n、m为正整数)从而可知n≤2,m≤2,从而可得出答案.
【解答】解:
(1)如图:
拼成边为(a+2b)和(a+b)的长方形
∴a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b);
(2)∵长方形②的周长为34,
∴a+b=17.
∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169,
∴a2+b2=169.
将a+b=17两边同时平方得:
(a+b)2=172,整理得:
a2+2ab+b2=289,
∴2ab=289﹣169,
∴ab=60.
∴长方形②的面积为60.
(3)设正方形的边长为(na+mb),其中(n、m为正整数)
∴正方形的面积=(na+mb)2=n2a2+2nmab+m2b2.
∵现有三种纸片各8张,
∴n2≤8,m2≤8,2mn≤8(n、m为正整数)
∴n≤2,m≤2.
∴共有以下四种情况;
①n=1,m=1,正方形的边长为a+b;
②n=1,m=2,正方形的边长为a+2b;
③n=2,m=1,正方形的边长为2a+b;
④n=2,m=2,正方形的边长为2a+2b.
【点评】此题考查因式分解的运用,要注意结合图形解决问题,解题的关键是灵活运用完全平方公式.
17.(2014秋•莱城区校级期中)
(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示,用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形,如图2.
①用两种不同的方法,计算图2中长方形的面积;
②由此,你可以得出的一个等式为:
a2+2a+1 = (a+1)2 .
(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式,画出你的拼图;
②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果,画出你的拼图.
【分析】
(1)要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法,来推导公式;
(2)要能根据等式画出合适的拼图.
【解答】解:
(1)①长方形的面积=a2+2a+1;长方形的面积=(a+1)2;
②a2+2a+1=(a+1)2;
(2)①如图,可推导出(a+b)2=a2+2ab+b2;
②2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b).
【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式;运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解.
18.(2013秋•海淀区校级期末)已知a+b=1,ab=﹣1,设s1=a+b,s2=a2+b2,s3=a3+b3,…,sn=an+bn
(1)计算s2;
(2)请阅读下面计算s3的过程:
因为a+b=1,ab=
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