勾股定理的图形证明方法.docx
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勾股定理的图形证明方法
勾股定理的图形证明方法
方法一:
将四个全等的直角三角形拼成如图
(1)所示的正方形。
图
(1)中
陰私迥=3+疔二『+化血
方法二:
将四个全等的直角三角形拼成如图
(2)所示的正方形。
在(3)—1中,甲的面积=(大正方形面积)一(4个直角三角形面积),在(3)—2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)一(4个直角三角形面积)
所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:
7.;.
方法四:
如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。
(0+B)S+&)
2
1如图,长方体的高为3cm,底面是边长为2cm的正方形.现有一小虫从顶点A出发,沿长方体侧面到达顶点C处,小虫走的路程最短为多少厘米?
6.已知:
如图,在△ABC中,/C=90°/B=30°AB的垂直平分线交BC于D,垂足为E,BD=4cm.求AC的长.
A
7、如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,现将直角边AC沿直线AD折叠,使其落在斜边AB
上,且与AE重合,则CD的长为
&如图,在矩形ABCD中,AB=6,将矩形ABCD折叠,使点B与点D重合,C落在C•处,若AE:
BE=12,
若BC=2,贝UBC
9、如图,已知:
点E是正方形ABCD的BC边上的点,现将△DCE沿折痕DE向上翻折,使DC落在对角线DB上,贝UEB:
CE=.
10、如图,AD是厶ABC的中线,/ADC=45°,把厶ADC沿AD对折,点C落在C'的位置,
12、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿/CAB的角平分线AD折叠,使它落
在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?
,折痕为
13、如图,在△ABC中,/B=90,AB=BC=6,把△ABC进行折叠,使点A与点D重合,BD:
DC=1:
14.
EF,则△
已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为
ABE的面积为()
2222
A、6cmB、8cmC、10cmD、12cm
17、如图,已知:
在ABC中,•ACB=90,分别以此直角三角形的三边为直径画半圆,试说明图中阴影部分
的面积与直角三角形的面积相等.
1能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?
若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由.
2再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的
延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm?
若能,请你求出这时AP的长;若不能,请你说明理由.
21•①能•设AP=x米,由于BP2=16+x2,CP2=16+(10—x)2,而在Rt△PBC中,有BP2+CP2=BC2,即16+x2+16+(10—x)2=100,所以x2—10x+16=0,即(x—5)2=9,所以x—5=±3,所以x=8,x=2,即卩AP=8或2,②能•仿照①可求得AP=4.
19.如图△ABC中,三ACB=90:
AC=12,BC=5,AN=AC,BM=BC则mn=4
20、※直角三角形的面积为S,斜边上的中线长为d,则这个三角形周长为()
(A)'d2S2d(B)d2_S_d
(C)2d2S2d(D)2d2Sd
1
S=_ab
解:
设两直角边分别为a,b,斜边为c,则c=2d,2
2+^2_2
由勾股定理,得ab.
(a+b丫=a2+2ab+b2=c2+4S=4d2+4S所以
所以a+b=2jd?
+S.所以a+b+c=2jd?
+S+2d.
故选(C)
21瓶在山EC中,3二/C二1丿匸边上有2006个不同的点乩叫
记叫=妬+££*£"二12…2006),则码+%+…叫氓
解:
如图,作AD丄于D,因为AB=AC=\厕RD二CD
由勾股定理,得加=曲+昱D=沪=少+"1所以
AB2-AP1=BD~-PD~
=(BD-PD){BD+PD}=BP•PC
所以AP~+BPPC=AB2
因此码十眄+--=12x2006=2006
22汛如图所示,在cp^BAC=90°.AC=AB.ZDAE=45°但RD二3
1
CT=4,求DE的长.
解:
如右图:
因为X4BC为等腫直鱼三角形,所以3D=ZC=45°.所以把、旺(?
绕点貝旋转到X4FB侧\4FB三X4EC.
所议EF-EC=4.AF=AE.ZABF-ZC-45°璋纤]jp
所以AD0尸为直箱三角形.
由勾般定理鬧D尸=BF1+场,二毕+F二所以DFJ
因为ZDAE=45%所以ZDAF=ZDAB+ZEAC=45\
所以
^ADE=A.4DF(SAS)
所以DE二DF=\.
23、如图,在AABC中,AB=AC=6,P为BC上任意一点,请用学过的知识试求PC•PB+PA2的值。
24、※如图在RtAABC中,ZC=90。
月C=4』C=3,在RtAABC的外部拼接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形。
如图所示:
24、※如图在RtAABC中MC=90Q.AC=4.BC=39在RtAABC的外部拼接一个合适的宜角三角形,
使得拼成的图形是一个等腰三角形。
如图所示:
要求:
在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法,在图中标明拼接的直角三角形的三边长(请同学们先用铅笔画出草图,确定后再用0・5mn的黑色签字笔画出正确的图形)
解:
要在RtAABC的外部接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形,关键是腰与底边的确定。
要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长,这需要用到勾股定理知识。
下图中的四种拼接方法供参考。
25.如图,A、B两个村子在河CD的同侧,A、B两村到河的距离分别为AC=lkm,BD=3km,CD=3km,现在河边CD±建一水厂向A、B两村输送自来水,铺设水管的费用为20000元/千米,请你在CD选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用F。
26.已知:
如图,AABC中,ZC=90°,点0为AABC我三条角平分线的交点,OD丄BC,OE丄AC,OF丄AB,点D、E、F分别是垂足,且BC=8cm,CA=6cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于cm
第25題图
27.(8分)如图,在AABC中,AB=AC,P为BC±任意一点,请说明:
AB2-AP2=PBXPCO
第28題图
28、如图,已知:
zc=90°,=CM,A/P丄45于p.求证:
BP、=AP,+BC,.
29.(本题满分6分)如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北
7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家•他要完成这件事情所走的最短路程是多少?
30.(本题满分6分)如图所示,某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆,下方是长方形的
仿古通道,现有一辆卡车装满家具后,高4米,宽2.8米,请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.
31.在一棵树的10米高B处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处:
另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高多少米?
32.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,一阵风吹来,红莲移到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,求这里的水深是多少米?
33・长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿埴面升高了m.
34・已知:
如图,△ABC中,ZC=90°,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC匕且DE丄DF・求证:
AE2+BF2=EF2・
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