苏科版八年级数学上册几何辅优练习.docx
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苏科版八年级数学上册几何辅优练习
八年级几何辅优讲义
1.已知:
如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,AD∥BC,AD=1,AB=3,将△ABD沿直线BD翻折,点A恰好落在CD边上点A'处.
(1)求证:
BC=DC;
(2)求BC的长.
2.有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为5m,12m.现在要将绿地扩充成等腰三角形绿地,且扩允部分是以12m为直角边的直角三角形,求扩充部分三角形绿地的面积.(如图备用)
3.如图:
AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC,
(1)图中EC、BF有怎样的数量和位置关系?
试证明你的结论.
(2)连接AM,求证:
MA平分∠EMF.
4.如图,在△ABC中,AD是高,CE是中线,DG垂直平分CE,连接DE.
(1)求证:
DC=BE;
(2)若∠AEC=72°,求∠BCE的度数.
5.已知:
如图,AB=AC,PB=PC,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E.
证明:
(1)PD=PE.
(2)AD=AE.
6.已知,如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,过点D作AC的平行线交AB于点O,DE⊥AD交AB于点E;
(1)求证:
点O是AE的中点;
(2)若点F是AC边上一点,且OF=OA,连接EF,如图2,判断EF与AC的位置关系,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,试探究线段AE、AF、AC之间满足的等量关系,并说明理由.
7.问题探究:
如图1,在△ABC中,点D是BC的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
①BE、CF与EF之间的关系为:
BE+CF > EF;(填“>”、“=”或“<”)
②若∠A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系,并加以证明.
问题解决:
如图2,在四边形ABDC中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=130°,以D为顶点作∠EDF=65°,∠EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,D是BC的中点.在射线AD上任意取一点P,连接PB.将线段PB绕点P逆时针方向旋转80°,点B的对应点是点E,连接BE、CE.
(1)如图1,当点E落在射线AD上时,
①∠BEP= °;
②直线CE与直线AB的位置关系是 .
(2)如图2,当点E落在射线AD的左侧时,试判断直线CE与直线AB的位置关系,并证明你的结论.
9.在△ABC中,AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N.
(1)如图①,若BM2+CN2=MN2,则∠BAC= ;
(2)如图②,∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P,过点P作PH垂直BA的延长线于点H,若AB=4,CB=10,求AH的长.
10.如图,已知等边△ABC,点D为△ABC内的一点,连接DA、DB、DC,∠ADB=120°.以CD为边向CD上方作等边△CDE,连接AE(0°<∠ACE<60°).
(1)求证:
△BDC≌△AEC.
(2)若DC=2n,AD=AE,则△ADE的面积为 .
(3)若DA=n2+1,DB=n2﹣1,DC=2n(n为大于1的整数).求证:
DA2+DC2=AC2.
11.
(1)我们已经如道:
在△ABC中,如果AB=AC,则∠B=∠C,下面我们继续研究:
如图①,在△ABC中,如果AB>AC,则∠B与∠C的大小关系如何?
为此,我们把AC沿∠BAC的平分线翻折,因为AB>AC,所以点C落在AB边的点D处,如图②所示,然后把纸展平,连接DE.接下来,你能推出∠B与∠C的大小关系了吗?
试写出说理过程.
(2)如图③,在△ABC中,AE是角平分线,且∠C=2∠B.
求证:
AB=AC+CE.
(3)在
(2)的条件下,若点P,F分别为AE、AC上的动点,且S△ABC=15,AB=8,则PF+PC的最小值为 .
12.如图,△ABC是边长为5cm的等边三角形,点P,Q分别从顶点A,B同时出发,沿线段AB,BC运动,且它们的速度都为1cm/s.当点P到达点B时,P,Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s).
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(2)连接AQ、CP,相交于点M,则点P,Q在运动的过程中,∠CMQ会变化吗?
若变化,则说明理由;若不变,请求出它的度数.
八年级几何辅优讲义答案
1.【分析】
(1)由折叠的性质和平行线的性质可得∠ADB=∠A'DB=∠CBD,可得结论;
(2)由折叠的性质可得A'D=AD=1,A'B=AB=3,∠CAB=∠A=90°,由勾股定理可求解.
【解析】证明:
(1)由翻折可知,∠ADB=∠A'DB,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∴∠CBD=∠A'DB,
∴BC=DC;
(2)由翻折可知,A'D=AD=1,A'B=AB=3,∠CAB=∠A=90°,
设BC=x,则CA'=x﹣1,
在Rt△A'BC中,A'B2+A'C2=BC2,
∴32+(x﹣1)2=x2,
解得x=5,
即BC的长是5.
2.【分析】根据勾股定理求出斜边AB,
(1)当AB=AD时或AB=BD,求出CD即可;
(2)当AB=BD时,求出CD、AD即可;(3)当DA=DB时,设AD=x,则CD=x﹣5,求出即可.
【解析】在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=5m,BC=12m,
∴AB=13m,
(1)如图1,当AB=AD时,CD=5m,
则△ABD的面积为:
BD•AC(5+5)×12=60(m2);
若延长BC到D,使CD=AC=12m,则△ABD的面积为AD×BC=60(m2),
60﹣30=30(m2);
(2)图2,当AB=BD时,CD=8m,则△ABD的面积为:
BD•AC(5+8)×12=78(m2);
78﹣30=48(m2);
(3)如图3,当DA=DB时,设AD=x,则CD=x﹣5,
则x2=(x﹣5)2+122,
∴x=16.9,
则△ABD的面积为:
BD•AC16.9×12=101.4(m2);
101.4﹣30=71.4(m2).
答:
扩充后等腰三角形绿地的面积是30m2或48m2或71.4m2.
3.【分析】
(1)先由条件可以得出∠EAC=∠BAE,再证明△EAC≌△BAF就可以得出结论;
(2)作AP⊥CE于P,AQ⊥BF于Q.由△EAC≌△BAF,推出AP=AQ(全等三角形对应边上的高相等).由AP⊥CE于P,AQ⊥BF于Q,可得AM平分∠EMF;
【解析】
(1)解:
结论:
EC=BF,EC⊥BF.
理由:
∵AE⊥AB,AF⊥AC,
∴∠EAB=∠CAF=90°,
∴∠EAB+∠BAC=∠CAF+∠BAC,
∴∠EAC=∠BAF.
在△EAC和△BAF中,
,
∴△EAC≌△BAF(SAS),
∴EC=BF.∠AEC=∠ABF
∵∠AEG+∠AGE=90°,∠AGE=∠BGM,
∴∠ABF+∠BGM=90°,
∴∠EMB=90°,
∴EC⊥BF.
∴EC=BF,EC⊥BF.
(2)证明:
作AP⊥CE于P,AQ⊥BF于Q.
∵△EAC≌△BAF,
∴AP=AQ(全等三角形对应边上的高相等).
∵AP⊥CE于P,AQ⊥BF于Q,
∴AM平分∠EMF.
4.【分析】
(1)根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC,根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DE=BEAB,证明结论;
(2)根据等腰三角形想的性质得到∠DEC=∠DCE,根据三角形的外角性质列式计算即可.
【解析】
(1)证明:
∵DG垂直平分CE,
∴DE=DC,
∵AD是高,CE是中线,
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线,
∴DE=BEAB,
∴DC=BE;
(2)∵DE=DC,
∴∠DEC=∠DCE,
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE
∵DE=BE
∴∠B=∠EDB,
∴∠B=2∠BCE,
∴∠AEC=3∠BCE=72°,
∴∠BCE=24°.
5.【分析】
(1)连接AP,构造全等三角形,再根据角平分线的性质即可证明;
(2)利用“AAS”证△APD≌△APE即可得.
【解析】证明:
(1)连接AP.
在△ABP和△ACP中,
,
∴△ABP≌△ACP(SSS).
∴∠BAP=∠CAP,
又∵PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,
∴PD=PE(角平分线上点到角的两边距离相等).
(2)在△APD和△APE中,
∵,
∴△APD≌△APE(AAS),
∴AD=AE;
6.【分析】
(1)只要证明OD﹣OA,OD=OE即可解决问题.
(2)结论:
EF⊥AC.只要证明OF=OE=OA即可解决问题.
(3)结论:
AE+AF=2AC.延长ED交AC的延长线于M.只要证明AE=AM,CM=CF即可解决问题.
【解析】
(1)证明:
如图1中,
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD,
∵OD∥AC,
∴∠ODA=∠DAC,
∴∠ODA=∠OAD,
∴OD=OA,
∵DE⊥AD,
∴∠ADE=90°,
∴∠EDO+∠ADO=90°,∠DEO+∠OAD=90°,
∴∠OED=∠ODE,
∴OD=OE,
∴OE=OA,
∴点O是AE的中点.
(2)解:
结论:
EF⊥AC.
理由:
如图2中,
∵OF=OA,OA=OE,
∴OF=OE=OA,
∴∠EFA=90°,
∴EF⊥AC.
(3)解:
如图3中,结论:
AE+AF=2AC.
理由:
延长ED交AC的延长线于M.
∵AD⊥EM,
∴∠ADM=∠ADE=90°,
∴∠M+∠DAM=90°,∠AED+∠DAE=90°,
∵∠DAM=∠DAE,
∴∠M=∠AED,
∴AE=AM,
∴DM=DE,
∵∠DCA=∠EFA=90°,
∴DC∥EF,
∵DM=DE,
∴CM=CF,
∵AE﹣AF=AM﹣AF=FM=2CF,AC﹣AF=CF,
∴AE﹣AF=2(AC﹣AF),
∴AE+AF=2AC.
7.【分析】
(1)如图1中,延长ED到H,使得DH=DE,连接CH,FH.证明△BDE≌△CDH(SAS),推出BE=CH,利用三角形的三边关系即可解决问题.
(2)结论:
EF2=BE2+CF2.如图2中,延长ED到H,使得DH=DE,连接CH,FH.利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题.
(3)结论:
EF=BE+CF.利用旋转法构造全等三角形即可解决问题.
【解析】
(1)如图1中,延长ED到H,使得DH=DE,连接CH,FH.
∵BD=CD,∠BDE=∠CDH,DE=DH,
∴△BDE≌△CDH(SAS),
∴BE=CH,
∵DE=DH,FD⊥EH,
∴FE=FH,
在△FCH中,∵CH+CF>FH,
∴BE+CF>EF.
故答案为>.
(2)结论:
EF2=BE2+CF2.
理由:
如图2中,延长ED到H,使得DH=DE,连接CH,FH.
∵BD=CD,∠BDE=∠CDH,DE=DH,
∴△BDE≌△CDH(SAS),
∴BE=CH,∠B=∠DCH,
∵DE=DH,FD⊥EH,
∴FE=FH,
∵∠A=90°,
∴∠B+∠ACB=90°,
∴∠ACB+∠DCH=90°,
∴∠FCH=90°,
∴FH2=CH2+CF2,
∴EF2=BE2+CF2.
(3)如图3中,结论:
EF=BE+CF.
理由:
∵DB=DC,∠B+∠ACD=180°,
∴可以将△DBE绕点D顺时针旋转得到△DCH,A,C,H共线.
∵∠BDC=130°,∠EDF=65°,
∴∠CDH+∠CDF=∠BDE+∠CDF=65°,
∴∠FDE=∠FDH,
∵DF=DF,DE=DH,
∴△FDE≌△FDH(SAS),
∴EF=FH,
∵FH=CF+CH=CF+BE,
∴EF=BE+CF.
8.【分析】
(1)①利用等腰三角形的性质即可解决问题.②证明∠ABC=40°,∠ECB=40°,推出∠ABC=∠ECB即可.
(2)证明AD垂直平分BC,可得PB=PC=PE,得出∠PBC=∠BCP,∠PEC=∠PCE,求出∠ABE+∠BEC=40°+2×500+400=1800即可解决问题.
【解析】
(1)①∵∠BPE=80°,PB=PE,
∴∠PEB=∠PBE=50°,
②结论:
AB∥EC.
理由:
∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,
∴∠BDE=90°,
∴∠EBD=90°﹣50°=40°,
∵AE垂直平分线段BC,
∴EB=EC,
∴∠ECB=∠EBC=40°,
∵AB=AC,∠BAC=100°,
∴∠ABC=∠ACB=40°,
∴∠ABC=∠ECB,
∴AB∥EC.
故答案为50,CE∥AB.
(2)直线CE与直线AB的位置关系是平行,证明如下:
∵PB=PE,∠BPE=80°,
∴∠PBE=∠BEP=50°,
∵AB=AC,∠BAC=100°,
∴∠ABC=∠ACB=40°,
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD垂直平分BC,
∴PB=PC=PE,
∴∠PBC=∠BCP,∠PEC=∠PCE,
∵∠BPF=∠BCP+∠PBC,∠EPF=∠ECP+∠PEC,
∴∠BPE=∠BPF+∠EPF=2(∠PBC+∠PEC),
∴∠PBC+∠PEC=40°,
∴∠ABE+∠BEC=40°+2×50°+40°=180°,
∴CE∥AB.
9.【分析】
(1)连接AM、AN,由勾股定理的逆定理证出△AMN是直角三角形,∠MAN=90°,证出∠AMN=2∠B,∠ANM=2∠C,得出∠AMN+∠ANM=2(∠B+∠C)=90°,证出∠B+∠C=45°,由三角形内角和定理即可得出答案;
(2)先判断出Rt△APH≌Rt△CPE,进而判断出△BPH≌△BPE,根据全等三角形的性质计算即可得出结论.
【解析】
(1)连接AM、AN,如图①所示:
∵AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N.
∴BM=AM,CN=AN,
∴∠B=∠BAM,∠C=∠CAN,
∵BM2+CN2=MN2,
∴AM2+AN2=MN2,
∴△AMN是直角三角形,∠MAN=90°,
∵∠AMN=∠B+∠BAM,∠ANM=∠C+∠CAN,
∴∠AMN=2∠B,∠ANM=2∠C,
∴∠AMN+∠ANM=2(∠B+∠C)=90°,
∴∠B+∠C=45°,
∴∠BAC=180°﹣(∠B+∠C)=180°﹣45°=135°;
故答案为:
135;
(2)连接AP、CP,过点P作PE⊥BC于点E,如图②所示:
∵BP平分∠ABC,PH⊥BA,PE⊥BC,
∴PH=PE,
∵点P在AC的垂直平分线上,
∴AP=CP,
在Rt△APH和Rt△CPE中,,
∴Rt△APH≌Rt△CPE(HL)
∴AH=CE,
在△BPH和△BPE中,,
∴△BPH≌△BPE(AAS)
∴BH=BE,
∴BC=BE+CE=BH+CE=AB+2AH,
∴AH(BC﹣AB)=3.
10.【分析】
(1)先根据等边三角形的性质得出BC=AC,CD=CE,∠BCA=∠DCE,进而得出∠BCD=∠ACE,即可得出结论;
(2)先判断出△ADE是等边三角形,再求出它的边,即可得出结论;
(3)先利用勾股定理逆定理判断出∠AED=90°,进而求出∠ADC=90°,最后用勾股定理即可得出结论.
【解析】
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,BC=AC,
∵△CDE是等边三角形,
∴∠DCE=60°,CD=CE,
∴∠BCA=∠DCE=60°,
∴∠BCD=∠ACE,
∴△BDC≌△AEC(SAS);
(2)如图,由
(1)知,△BDC≌△AEC,
∴∠CBD=∠CAE,BD=AE,
∵AE=AD,
∴BD=AD,
∴∠ABD=∠BAD,
∵∠ADB=120°,
∴∠ABD=∠BAD=30°,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ABC=60°,
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=30°,∠CAD=∠BAC﹣∠DAB=30°,
∴∠CAE=∠CBD=30°,
∴∠DAE=∠CAD+∠CAE=60°,
∵AD=AE,
∴△ADE是等边三角形,
∴AD=DE,∠ADE=60°,
∵△CDE是等边三角形,
∴DE=CD=2n,
∴AD=2n,
过点E作EF⊥AD于F,
在Rt△DEF中,DFDE=n,
根据勾股定理得,EFn,
∴S△ADEAD•EF2nnn2,
故答案为:
n2;
(3)∵△CDE是等边三角形,
∴∠CED=60°,DE=DC=2n
∵△BDC≌△AEC,
∴∠AEC=∠BDC,AE=DB,EC=DC,
∵DB=n2﹣1,
∴AE=n2﹣1,
∴AE2+DE2=(n2﹣1)2+(2n)2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=DA2,
∴△ADE是以AD为斜边的直角三角形,
∴∠AED=90°,
∴∠AEC=∠AED+∠CED=150°,
∴∠BDC=∠AEC=150°,
∵∠ADB=120°,
∴∠ADC=360°﹣∠ADB﹣∠BDC=90°,
在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2.
11.【分析】
(1)先根据图形折叠的性质得出∠ADE=∠C,再根据三角形外角的性质即可得出结论;
(2)在AB上截取AD=AC,连接DE.由AE是角平分线,可得∠BAE=∠CAE,由“SAS”可证△ADE≌△ACE,所以∠ADE=∠C,DE=CE,由三角形外角的性质可知,∠ADE=∠B+∠DEB,再由∠C=2∠B可得出∠B=∠DEB,所以AB=AD+DB,AD=AC,DB=DE=CE,由此即可得出结论;
(3)在AB上截取AH=AF,连接CH,由“SAS”可证△AHP≌△AFP,可得HP=PF,则PF+PC=PH+PC,即点P在线段CH上,且CH⊥AB时,PF+PC的值最小,由三角形面积公式可求解.
【解析】
(1)∠C>∠B,
理由如下:
∵点C落在AB边的点D处,
∴∠ADE=∠C,
∵AC沿∠BAC的平分线翻折,∠ADE为△EDB的一个外角,∴∠ADE=∠B+∠DEB,
∴∠ADE>∠B,即:
∠C>∠B;
(2)如图3,在AB上截取AD=AC,连接DE,
∵AE是角平分线,∴∠BAE=∠CAE.
在△ADE和△ACE中,
∴△ADE≌△ACE(SAS),
∴∠ADE=∠C,DE=CE.
∵∠ADE=∠B+∠DEB,且∠C=2∠B.
∴∠B=∠DEB,∴DB=DE,
∵AB=AD+DB,AD=AC,DB=DE=CE.
∴AB=AC+CE.
(3)如图4,在AB上截取AH=AF,连接CH,
∵AH=AF,∠HAP=∠FAP,AP=AP,
∴△AHP≌△AFP(SAS),
∴HP=PF,
∴PF+PC=PH+PC,
∴点P在线段CH上,且CH⊥AB时,PF+PC的值最小,
∵S△ABC=15AB×CH,AB=8,
∴CH,
∴PF+PC的最小值为,
故答案为:
.
12.【分析】
(1)需要分类讨论:
分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况;
(2)∠CMQ=60°不变.通过证△ABQ≌△CAP(SAS)得到:
∠BAQ=∠ACP,由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°.
【解析】
(1)设时间为t,则AP=BQ=t,PB=5﹣t
①当∠PQB=90°时,∵∠B=60°,
∴PB=2BQ,得5﹣t=2t,t;
②当∠BPQ=90°时,∵∠B=60°,
∴BQ=2BP,得t=2(5﹣t),t;
∴当第秒或第秒时,△PBQ为直角三角形.
(2)∠CMQ=60°不变.
在△ABQ与△CAP中,,
∴△ABQ≌△CAP(SAS),∴∠BAQ=∠ACP,
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°.
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