蝴蝶定理和燕尾定理.docx
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蝴蝶定理和燕尾定理
燕尾定理
燕尾定理:
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点0,那么SABO:
SAC^BD:
DC.
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”
1S1:
S3=a2:
b2
2S1:
S3:
S?
:
S4二a2:
b2:
ab:
ab;
2
3S的对应份数为(a+b).
等积变形
1等底等高的两个三角形面积相等;
2
两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;如左图S=a:
b
3夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图SaacdBCD;
反之,如果saacd二Sabcd,则可知直线AB平行于CD.
4等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
5三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
6两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
⑴(或D在BA的延长线上,E在AC
如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图
上),
则SAabc:
SAade-(ABAC):
(ADAE)
如图,&=2,S3=4,求梯形的面积.
【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图,梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,
BD交于O,已知△AOB与厶BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD的面积是平方厘米.
梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为
角形BOC面积的-,求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.
3
(第十届华杯赛)如下图,四边形ABCD中,对角线AC和BD交于O点,已知AO=1,并且
三角形躺积=3,那么OC的长是多少?
梯形的下底是上底的1.5倍,三角形OBC的面积是9cm2,问三角形AOD的面积是多少?
如图,正方形ABCD面积为3平方厘米,
如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形BCH的面积是23,求四边形EGFH的面积.
【巩固】在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD面积是平方厘米.
如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中,巳F是DC边上的三等分点,求阴影部分的面积.
如图,在长方形ABCD中,AB=6厘米,AD=2厘米,AE=EF=FB,求阴影部分的面积.
(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形,BC:
CE=3:
2,三角形ODE的面积为6平方厘米•则阴影部分的面积是平方厘米.
【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:
平
方厘米),阴影部分的面积是平方厘米.
【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:
平方厘米),阴影部分的面积是平方厘米.
如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,DEF的面积是5平方厘米,CED的面积是10平方厘米•问:
四边形ABEF的面积是多少平方厘米?
(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其中3
块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘
米.
(98迎春杯初赛)如图,长方形ABCD中,AOB是直角三角形且面积为54,OD的长是16,
OB的长是9•那么四边形OECD的面积是.
燕尾定理应用
【例1】2009年第七届希望杯五年级一试试题)如图,三角形ABC的面积是1,E是AC的
中点,点D在BC上,且BD:
DC=1:
2,AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于.
【巩固】如图,已知BD=DC,EC=2AE,三角形ABC的面积是30,求阴影部分面积
A
BDC
【巩固】如图,三角形ABC的面积是200cm2,E在AC上,点D在BC上,且
AE:
EC-3:
5,BD:
DC=2:
3,AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于
【巩固】如图,已知BD=3DC,EC=2AE,BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC面积的几分之几?
【巩固】如图,三角形ABC的面积是1,BD=2DC,CE=2AE,AD与BE相交于点F,请写出这4部分的面积各是多少?
【巩固】如图,E在AC上,D在BC上,且AE:
EC=2:
3,BD:
DC=1:
2,AD与
BE交于点F•四边形DFEC的面积等于22cm2,则三角形ABC的面积•
三角形ABC中,C是直角,已知AC=2,CD=2,CB=3,AM=BM,那么三角形AMN(阴影部分)的面积为多少?
【巩固】如图,长方形ABCD的面积是2平方厘米,EC=2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?
平行四边形BODC的面积为
ABCD是边长为12厘米的正方形,E、F分别是AB、BC边的中点,AF与CE交于G,则四边形AGCD的面积是平方厘米.
如图所示,在△ABC中,BE:
EC=3:
1,D是AE的中点,那么AF:
FC二
【巩固】在ABC中,BD:
DC=3:
2,AE:
EC=3:
1,求OB:
OE二?
【巩固】在ABC中,BD:
DC=2:
1,AE:
EC=1:
3,求OB:
OE=?
如右图,三角形ABC中,BD:
DC=4:
9,CE:
EA=4:
3,求AF:
FB.
如右图,△ABC中,G是AC的中点,D、E、F是BC边上的四等分点,AD与BG交于
M,AF与BG交于N,已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米,则△ABC的面积是多少平方厘米?
【巩固】(2007年四中分班考试题)如图,JABC中,点D是边AC的中点,点E、F是边BC
的三等分点,若MBC的面积为1,那么四边形CDMF的面积是•
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- 蝴蝶 定理 燕尾