《正弦定理余弦定理的应用》教学案.docx
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《正弦定理余弦定理的应用》教学案
1.3《正弦定理、余弦定理的应用》教学案
•三维目标
1.知识与技能
(1)能把一些简单的实际问题转化为数学问题,并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题;
(2)体会数学建模的基本思想,掌握应用解三角形知识解决实际问题的一般步骤;
(3)了解常用的测量相关术语(如:
仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义),综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题;
(4)能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面,多角度培养学生分析问题和解决问题的能力;
(5)规范学生的演算过程:
逻辑严谨,表述准确,算法简练,书写工整,示意图清晰.
2.过程与方法
(1)本节课是解三角形应用举例的延伸,利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题;
(2)让学生进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创新能力;进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.
3.情感、态度与价值观
(1)激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值;
(2)培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在教学过程中激发学生的探索精神;
(3)培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.•重点、难点
重点:
(1)综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题;
(2)掌握求解实际问题的一般步骤;难点:
根据题意建立数学模型,画出示意图.
体验将实际问题转化为数学问题的过程与思想,认识研究实际问题的方法,是本节教学的重中之重,而突破这一重难点的关键在于引导学生对实际问题进行分析,抽象出数学问题,再利用解三角形的知识加以解决.
教学方案设计
(教师用书独具)
•教学建议
在学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形的基础上,让学生
尝试绘制知识纲目图.生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理,因此系统掌握前
一节内容是学好本节课的基础.解有关三角形的应用题有固定的解题思路,引导学生寻求实际问题的本质和规律,从一般规律到生活的具体运用,这方面需要多琢磨和多体会.
测量的主要内容是求角和距离,教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方
位角及坡度、经纬度等概念,将实际问题转化为解三角形问题.解决有关测量、航海等问题时,首先要搞清题中有关术语的准确含义,再用数学语言(符号语言、图形语言)表示已知条件、未知条件及其关系,最后用正弦定理、余弦定理予以解决.
能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用,有些题目只选用其一,或两者
混用,这当中有很大的灵活性,需要对原来所学知识进行深入的整理、加工,鼓励一题多解,
训练发散思维.借助计算机等多媒体工具来进行演示,利用动态效果能使学生更好地明辨是
非、掌握方法.
引导学生总结解斜三角形应用题的一般步骤:
(1)分析:
理解题意,分清已知与未知,画出示意图;
(2)建模:
根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;
(3)求解:
利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;
(4)检验:
检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.
•教学流程
创设问题情境引导学生熟悉实际测量中的有关术语,了解它们的使用
通过例1及其变式训练使学生掌握利用正、余弦定理解决测量问题的方法
通过例2及其变式训练使学生掌握利用正、余弦定理解决航海问题的方法•
通过例3及其变式训练使学生掌握正、余弦定理在平面几何问题中的应用•
结合三个例题,引导学生总结解斜三角形应用题的一般步骤
归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识
完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正
课前自主导学
课标解读
1.巩固正、余弦定理的应用,熟练掌握解三角形的步骤
与过程.(重点)
2.能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量
和几何计算有关的实际冋题.(难点)
知识
头际测量中的有关术语
【问题导思】
小明出家门向南前进200米,再向东前进200米,至U达学校上课.
1•小明的学校在家的哪个方向?
【提示】东南方向.
2•能否用角度确定学校的方位?
【提示】能.
名
称
定义
图示
仰
角
在冋一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的
夹角
续表
名称
定义
图示
俯角
在冋一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角
方向角
从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°
南偏西60
(指以正南方向为始边,转向目标方向线形成的角)
方位角
从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
课堂互动探究
类型1
测量问题
例1如图1-3—1所示,在塔底B处测得山顶C的仰角为60°
图1—3—1
在山顶C测得塔顶A的俯角为45°已知塔高AB为20m,求山高CD(精确到0.1m)
【思路探究】D(可放到厶BCD中,要求CD已知/DBC=60°/CDB=90°所以只需求BD或CB在厶AB(中,AB勺长度已知,三个内角都可以求出,所以可求得CB则CdCB-sin60°
【自主解答】由条件知/DBC=60°/ECA=45°
•••/ABC90°—60°=30°/ACB60°—45°=15°,
/CA=180°—(/ABQ-ZACB=135°
BCAB
在^ABC中,由正弦定理得sin135°=sin15°,
AB-sin135°20x240
二BC=sin15°=1=3—1.
4乐-衣7
在Rt△BC中,
40\/3
CD^BC-sin/CB=书—〔x2~47.3(m).
•山高C哟为47.3m.
规律方法
1.本例是典型的测量高度问题,抽象出平面图形,并且将相应数据聚化到相应三角形中,十分关键.
2.测量高度的有关问题,大部分都是转化为同一铅垂面上的解三角形问题,但也有转化为立体图形的问题.
变式训练
如图1-3-2所示,空中有一气球C,
图1-3—2
在它的正西方A点测得它的仰角为45°同时在它的南偏东60°的B点,测得它的仰角为30°A,B两点间的距离为266米,这两个测点均离地1米,则气球离地多少米?
【解】设0C=x,则OA=x,OB=x•tan60°=3x.
在厶AO中,/A0=90°+60°=150°AB=266,
所以A^=OA+OB-2OAOBios/AOB
=x2+3x2—2x•3x•(—)=7x2,
所以x=TAB=TX266=387(米),
所以气球离地(38,7+1)米.
类型2
航海问题
例2甲船在A处遇险,在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的报警后,测得甲船是沿着东偏北105°的方向,以每小时9海里的速度向某岛靠近,如果乙船要在40分钟内追上甲船,
问乙船至少应以什么速度、向何方向航行?
【思路探究】画图t分析三角形满足条件t选择定理列方程t求相关量t作答
【自主解答】如图所示:
设乙船速度为v海里/小时,在C处追上甲船,
/BAC=45°180°—105°=120°
在厶AB(中,由余弦定理得,
BC=AC+A8—2AC・AB-cos/BA(
222
(3v)2=(3x9)2+102—2x3X9x10xcos120°,
整理得v=21.
BCAC
又由正弦定理可知sinZBAC=sinB,
2
AC-sinZBAC3x9坐
sinB=BC=2xsin120°=14,
3x21
■B^2147'.
即B应以每小时21海里的速度,按东偏北45。
+21°47=66°7的角度航行.
规律方法
1•根据题意,恰当地画出三角形是解题的基础,将已知线段数量和角度,转化为要解
三角形的边长和角度,是解题的关键.
2•有关角度问题,一般要涉及到方位角、方向角等概念,对这些数据,要恰当转化,
合理运用.
变式训练
在海岸A处发现在其北偏东45。
方向,距A处(3—1)海里的B处有一艘走私船,在A处北
偏西75°方向,距A处2海里的C处的缉私船以10,3海里/时的速度追走私船,此时走私船正以
t小时,则C
10海里/时的速度从B处向北偏东30。
方向逃窜,则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?
并求出所需要的时间.
【解】由题意画出示意图如图所示,设缉私船最快追上走私船所需时间为
D=10:
'3t,BD=10t.
•••在△AB(中,AB=,''3-1,AC=2,/BAC=45°+75°=120°
BC=・:
:
aC+aB—2AC"ABCos/BAC
=;22+3—12—2X2X.3—1Xcos120°
=,6.
BCAC
tsin/BAC=sin/ABC
迈厂
AC>inZBAC2X2业
•••sin/ABC=BC=6=2.
tZBAC=120°•••/ABC=45°•B(与正北方向垂直,
•ZCB=90°30°120°.
BDCD
•••在厶BC[中,由正弦定理得sinZBCD=sinZCBD
BtsinZCBD10t•sin120°1
所以sinZBCD=CD=103t=2.
•ZBC=30°或ZBC=150°(舍去),
_i_6
•ZBDC=30,•.BD=BC=^/6,•10t=^6,•t=10,
•••缉私船沿北偏东60°方向行驶能最快追上走私船,所需时间为10小时.
类型3
平面几何问题
例3如图1—3-3所示,在△AB(中,AC=b,BC=a,2avb,AB(内一点,且A
图1—3—3
D=a,/ADBFC=n,问C为何值时,凹四边形ACB的面积最大?
并求出最大值.
【思路探究】在三角形AB[和三角形AB(中分别运用余弦定理,可先求出边BD勺长,进而表达出凹四边形ACB的面积.
【自主解答】设BD=x,在△AB(和△ABDL
根据余弦定理,
得A^=a2+b2—2abcosC,
A£=a2+x2—2axcos/ADB=x2+a2+2axcosC,
•••a2+b2—2abcosC=x2+a2+2axcosC,
即x2+2axcosC+(2acosC-b)b=0,
解得x=b—2acosC,或x=—b(舍去).
于是凹四边形ACB的面积
11
S=S^ab—S\abd=2absinC—2axsin/ADB
111
=^absinC—?
a(b—2acosC)sinC=?
a2sin2C.
n1
•••当C=7时,凹四边形ACB的面积最大,最大值为2a2,此时BD=b—2a.
规律方法
1•本例中,以角C为自变量,将凹四边形ACB的面积表示为角(勺三角函数,从而求解
最值问题.
2•求解平面图形的面积最值问题,关键是恰当地设立角度为自变量,建立目标函数.
变式训练
如图1-3-4所示,已知扇形OAB
图1-3—4
O为顶点,圆心角/AOB=60°半径为2cm,在弧ABh有一动点P,由P引平行于0B勺直线和0A相交于C,/AOP=卩.求厶PO(的面积的最大值以及此时的卩值.
【解】•/PC//OB
•••/ACP=/AOB=60°
•••/PCO=120°,/OPC=60°—卩.
在厶OC中,由正弦定理得
OPOC
sin120°=sin60°—卩,
OPin60°—卩2sin60°—卩
•OC=sin120°=sin120°,
112sin60°—卩
SLoc「2•OC-Ofsin卩=2Xsin120°x2sin卩
2sin卩sin60°—卩.:
3sin卩cos卩—sin2卩
=sin120°=sin120°
'31—cos2卩1
2sin23一2cos23一60一2
sin120
sin120
2cos23-60°—1
=3.
故当cos(23—60°)=1,即当2卩=60°3=30°时,
&oc有最大值~3cm2.
易错易误辨析
过程不严谨,靠主观臆判而致误
典例如图1—3—5所示的是曲柄连杆装置示意图,连杆AOc,
图1—3—5
曲柄AB和曲轴BL所成的角为a,连杆AC和曲轴BL间的夹角为3,则a取什么值时,sin
3最大?
【错解】•••点A在圆B上运动,
要使3,即/AC最大,只需点A在最高或最低点即可,
r此时,△AB(中,ZABC=90°,即a=90°时,AB=r,AC=c,sin3=sin/ACB=c为
所求的最大值.
【错因分析】上述解答中想当然地认为点A在最高或最低点时,sin3最大,虽然结
论正确,但过程不严谨.
【防范措施】建立目标函数,转化为三角函数最值问题,定量分析.
ABAC
【正解】在厶AB(中,由正弦定理,得爲下=二,
r_
•sin3=csina.
由对称性可知,只需讨论a€[0,n]即可.
r
r
■/sin卩=Csin
C,
•••当且仅当sin
n
a=1,即a=2时,sin卩最大.
1.基础知识:
(1)有关术语:
仰角、俯角、方向角、方位角;
(2)利用解三角形,求解实际应用题的方法及步骤.
2.基本技能:
(1)测量问题;
(2)航海问题;
(3)力学问题;
(4)最值问题.
3•思想方法:
(1)函数思想;
(2)转化思想;
(3)数形结合思想.
当堂双基达标
1•从A处望B处的仰角为a,从B处望A处的俯角为卩,则a,卩的关系是
【解析】如图所示,•••AD/BC•••a=卩.
【答案】a=3
2.如图1—3—6所示,A、B两点中间有座山,从点C观测,AC=60m,BC=160m,ZA
CB=60°则AB=.
图1—3—6
【解析】AB=_cA+cB—2CACBJOSC
=602+1602—2X60x160Xcos60°=140(m)
【答案】140m
3.有一长为10m的斜坡,坡角为75°在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的
方法将它的坡角改为30°则坡底要延长m.
【解】如图所示,设将坡底加长到B时,坡角为30°
依题意,/B=30°/BAB=45°,AB=10m.
BBsin/BAB
在厶ABB中,根据正弦定理得AB=sin—B,
=102(m),
即当坡底伸长10.2m时,斜坡的坡角将变为30°
【答案】102
图1—3—7
4•如图1—3—7所示,某人在塔的正东C处沿着南偏西60。
的方向前进40m到D处以后,
望见塔在东北方向•若沿途测得塔的最大仰角为30°求塔的高度.
【解】在厶BD(中,CD=40m,ZBCD=90°—60°=30°
/DB=45°+90°=135°
CDBD
由正弦定理,得sin/DB=sin/BCD
CD-sin/BCD40sin30°_
二BD=sinZDBC=sin135°=20.2(m)•
AB
在Rt△ABEKtanZAEB=BEAB为定值,故要使ZAE最大,
即BE!
CD这时ZAEB=30°
在Rt△BED^,ZBDE=180°—135°—30°=15°
•••BE=BD-sinZBDE=202sin15°
=10(3—1)(m).
在Rt△ABEKAB=BE:
anZAEB
=10(3—1)tan30°
10
=7(3—.3)(m),
10
即塔的高度为y(3—3)m.
课后知能检测
一、填空题
1•在相距2千米的AB两点处测量目标点C,若ZCAB=75°之间的距离为千米.
【解析】ZACB=180°—75°—60°=45°,由正弦定理得
2
sin45°,AO6.
【答案】,6
2•在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是
需要BE最小.
ZCBA=60°则A、C两点
ACAB
sin60°=sin45°=
30。
和60°则塔高为__
米.
【解析】如图所示,在Rt△EBDh/DBE=60°
•••BE=200x亍,在Rt△CB中,CE=BEtan30°
200“33200
=3xV=丁,
400
•CD=~(米)
400
【答案】T
3.CD是京九铁路线上的一条穿山隧道,开凿前,在C时在水平面上的山体外取点AB,
n2
并测得四边形ABC中,/ABO7,/BAD=3n,AB=BO400米,AD=250米,则应开凿的
隧道CD的长为.
n
【解析】如图所示,在△AB(中,AB=BC=400米,/ABC="3,二AC=AB=400米,/
n2nnn
BAO3・•••/CAD=ZBAD-ZBAOT—3=亏.
•••在厶CA中,由余弦定理,得CD=AC+AD—2AC-AD-cosZCAD=4002+2502—2-4
n
00-250-cos3=122500,・.CD=350(米).
【答案】350米
4.某人朝正东方向走xkm后,向朝南偏西60°勺方向走3km,结果他离出发点恰好.3km,那么x的值为.
【解析】如图所示,ZABC=90°—60°=30°
.•.(3)2=32+x2—2x3xcos30°
•-x2—3*j3x+6=0
•x=_3或23
【答案】3或23
5•如图1—3—8所示,甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60。
的方向,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的勺倍,甲船为了尽快追上乙船,则应取北偏
东(填角度)的方向前进.
【解析】
图1—3—8
由题意知,AC=Q5BC/ABC=120°
由正弦定理知,
BCAC
sinZCAB=sin120°,
1
•••sinZCAB=2,
•••ZCAB=30°
•ZCAD=60°—30°=30°
【答案】30°
1000m长的直线型通道,中国
并且从中国馆看世博轴两端
m.
6.(2013•威海高二检测)上海世博园中的世博轴是一条馆位于世博轴的一侧.现测得中国馆到世博轴两端的距离相等,
的视角为120°据此数据计算,中国馆到世博轴其中一端的距离是
【解析】如图所示,设AB为世博轴的两端点,C为中国馆,由题意知/ACB=120°
1000护且AC=BC过C作AB的垂线交AB于D在Rt△CB中,DB=500m,/DCB=60°aBC=―
m.
1000卡
【答案】飞亠
7.有一两岸平行的河流,水速为1m/s,小船的速度为2m/s,为使所走路程最短,小
船应朝方向行驶.
【解析】
如图所示,AB是水速,AD为船速,AO船的实际速度,且ACLAB在Rt△AB(中,cos
ABAB丄亚
/ABC=BC=AD=—2=T,
•••/ABC=45°azDAB=90°+45°=135°
【答案】与水流向成135°
&一艘船向正北航行,看见正西方有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,
继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°另一灯塔在船的南偏西75°则这只船的
速度是每小时海里.
【解析】
先画出示意图,设半小时行程为s海里,所以s・tan75。
一s-tan60。
=10,即(2+羽)・s
一3s=10,s=5,
•••速度为10海里/时.
【答案】10
二、解答题
9•在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两
图1一3—9
V3a
个相距为2的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且/ADB=30°,
/BD=30°/DC=60°/ACB=45°如图1—3—9所示,求蓝方这两支精锐部队的距离.
【解】•••/AD(=ZADBHZCDB=60°°
又•••/AC=60°•••/DAC=60°°
•••AD=CD=AC=Ta.
在厶BC中,/DBC=180°—30°-105°=45°
DBCD
sin/BC=sin/DBC
sin/BCD
•BD=CD-sinZDBC
V6+V2
3_4_3+,3
=Ta•;2—=~~C~a
T
在厶AD中,
•/AR=AD2+BD—2-AD-BD-cosZADB
33+33+】空3
=4a2+(4a)2—2x2a-4a-2=8a2,
6J6
•AB=7a,「.蓝方这两支精锐部队的距离为Ta.
10.某海上养殖基地A接到气象部门预报,位于基地南偏东60。
相距20(〔3+1)海里的
海面上有一台风中心,影响半径为20海里,正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直
线前进,预计台风中心将从基地A东北方向刮过且(.3+1)小时后开始影响基地A,持续2小时•求台风移动的方向.
【解】
如图所示,设预报时台风中心为B,开始影响基地A时台风中心为C,基地A刚好不受影响时台风中心为D,
则BC、D在一直线上,且AD=20,AC=20.
由题意得AB=20(:
'3+1),DC=20:
'2,BC=(:
3+1)
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- 正弦定理余弦定理的应用 正弦 定理 余弦 应用 教学
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