专题05 函数实际问题之销售中的利润问题解析版.docx
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专题05函数实际问题之销售中的利润问题解析版
专题05函数实际问题之销售中的利润问题(解析版)
一、利润中的几个等量关系:
售价=进价+利润;
售价=标价×折扣;
总利润=单件(单个商品)利润×总销量;
二、需要注意的是,在利用函数解答实际问题的过程中,一定要注意自变量的取值范围,以及在这个取值范围内的函数值的最大值及最小值;切不可直接用原函数的最值当作实际问题的最值;
避免出现错误的方法是:
作出示意图,由图象分析函数值的最值.
题型一、利润问题应用题
1.(2019·江苏连云港中考)某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨,每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元,每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元.设该工厂生产了甲产品x(吨),生产甲、乙两种产品获得的总利润为y(万元).
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨,每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨.受市场影响,该厂能获得的A原料至多为1000吨,其它原料充足.求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时,能获得最大利润.
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)y=0.3x+0.4(2500-x)=-0.1x+1000,
(2)由题意得:
0.25x+0.5(2500-x)≤1000,
解得:
x≤2500,即1000≤x≤2500,
由
(1)知,y=-0.1x+1000,
∵-0.1<0,
∴y随x的增大而减小,
当x=1000时,y取最大值,此时甲产品1000吨,乙产品1500吨时能获得最大利润.
2.(2019·江苏宿迁中考)超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现.销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元,每天售出y件.
(1)请写出y与x之间的函数表达式;
(2)当x为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元?
(3)设超市每天销售这种玩具可获利w元,当x为多少时w最大,最大值是多少?
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)y=
x+50.
(2)由题意得:
y(x+40)=2250,
即(
x+50)(x+40)=2250,
解得:
x=50(舍)或x=10,
即当x=10时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元.
(3)由题意知,w=y(x+40)
=(
x+50)(x+40)
=
(x-30)2+2450,
∵
<0,对称轴为x=30,
∴当0≤x≤20时,w随x的增大而增大,即当x=20时,w取最大值,最大值为:
2400.
3.(2019·湖北鄂州中考)“互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:
销售单价每降1元,则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.
(1)直接写出y与x的函数关系式;
(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?
(3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价?
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)y=100+5(80-x)或y=-5x+500
(2)由题意,得:
W=(x-40)(-5x+500)
=-5x2+700x-20000
=-5(x-70)2+4500,
∵a=-5<0,
∴w有最大值
即当x=70时,w最大值=4500
∴应降价80-70=10(元)
(3)由题意,得:
-5(x-70)2+4500=4220+200
解得:
x1=66,x2=74
∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=70,
∴当66≤x≤74时,符合该网店要求,而为了让顾客得到最大实惠,
故x=66
∴当销售单价定为66元时,即符合网店要求,又能让顾客得到最大实惠.
题型二、图表类利润最值问题
4.(2019·青岛中考)某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式;
(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?
最大利润是多少?
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)设商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=kx+b,
由题意知,
,
解得,
,
即y关于x的函数解析式是:
y=﹣2x+160;
(2)30≤x≤50,
w=(x-30)y
=(x-30)(﹣2x+160)
=-2(x-55)2+1250
∵30≤x≤50,
∴当x=50时,w取最大值为1200元;
(3)w≥800,w=-2(x-55)2+1250的图象如下所示,
从图中可知,当x1≤x≤x2时,w不低于800元,
∴-2(x-55)2+1250=800,
解得:
x1=40,x2=70,
∴40≤x≤70时,每天的利润不低于800元,
故每天的销售量最少应为﹣2×70+160=20件.
5.(2019·成都中考)随着5G技术的发展,人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划某地区销售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)求y与x之间的关系式;
(2)设产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台),p与x之间的关系为:
根据以上信息,试问:
哪个销售周期的销售收入最大?
此时该产品的销售价格是多少元?
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)设y与x之间的关系式为y=kx+b,由题意知,
∴
,解得:
,
即y与x之间的关系式为:
y=-500x+7500;
(2)设第x个销售周期的销售收入为w元,
则w=yp=(-500x+7500)(
)
=-250(x-7)2+16000,
∴在第7个销售周期的销售收入最大,销售价格为:
4000元.
6.(2019·浙江嘉兴中考)某农作物的生长率
与温度
(
)有如下关系:
如图1,当10≤
≤25时可近似用函数
刻画;当25≤
≤37 时可近似用函数
刻画.
(1)求
的值.
(2)按照经验,该作物提前上市的天数
(天)与生长率
满足函数关系:
生长率
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数
(天)
0
5
10
15
①请运用已学的知识,求
关于
的函数表达式;
②请用含
的代数式表示
(3)天气寒冷,大棚加温可改变农作物生长速度.在
(2)的条件下,原计划大棚恒温20℃时,每天的成本为200元,该作物30天后上市时,根据市场调查:
每提前一天上市售出(一次售完),销售额可增加600元.因此给大棚继续加温,加温后每天成本
(元)与大棚温度
(
)之间的关系如图2.
问提前上市多少天时增加的利润最大?
并求这个最大利润(农作物上市售出后大棚暂停使用).
图1图2
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)将(25,0.3)代入
得,h=29或h=21,
∵h>25,
∴h=29,
(2)①由题意知m是p的一次函数,
设m=kp+b,
可得:
,解得:
k=100,b=-20,
∴m=100p-20,
②当10≤t≤25时,
,
∴m=2t-40,
当25 , ∴m= , (3)①当20≤t≤25时,由(20,200),(25,300)可得: w=20t-200, ∴增加利润为: 600m+[200×30-w(30-m)]=40t2-600t-4000=40(t-7.5)2-6250 ∴当t=25时,利润最高为: 6000元; ②当25 增加利润为: 600m+[200×30-w(30-m)]= , ∴当t=29时,增加利润取最大值为: 15000元, 综上所述,当t=29时,提前上市20天,增加利润最大,为15000元. 7.(2019·湖北咸宁中考)某工厂用50天时间生产一款新型节能产品,每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购,在生产过程中,由于技术的不断更新,该产品第x天的生产成本y(元/件)与x(天)之间的关系如图所示,第x天该产品的生产量z(件)与x(天)满足关系式z=-2x+120. (1)第40天,该厂生产该产品的利润是元; (2)设第x天该厂生产该产品的利润为w元. ①求w与x之间的函数关系式,并指出第几天的利润最大.最大利润是多少? ②在生产该产品的过程中,当天利润不低于2400元的共有多少天? 【答案】见解析. 【解析】解: (1)由图象可知,第40天时的成本为40元,此时的产量为z=﹣2×40+120=40 则第40天的利润为: (80﹣40)×40=1600元 故答案为: 1600. (2)①设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),把(0,70)(30,40)代入得: ,解得 ∴直线AB的解析式为y=﹣x+70. (Ⅰ)当0<x≤30时 w=[80﹣(﹣x+70)](﹣2x+120) =﹣2x2+100x+1200 =﹣2(x﹣25)2+2450 ∴当x=25时,w最大值=2450. (Ⅱ)当30<x≤50时, w=(80﹣40)×(﹣2x+120) =﹣80x+4800 ∵w随x的增大而减小 ∴当x=31时,w最大值=2320. ∴ , ∴第25天的利润最大,最大利润为2450元. ②(i)当0<x≤30时,令﹣2(x﹣25)2+2450=2400, 解得: x1=20,x2=30 ∵抛物线w=﹣2(x﹣25)2+2450开口向下, 由其图象可知,当20≤x≤30时,w≥2400, 此时,当天利润不低于2400元的天数为: 30﹣20+1=11天, (ii)当30<x≤50时,由①可知这些天中的日利润均低于2400元, 综上所述,当天利润不低于2400元的共有11天. 8.(2019·湖北黄冈中考)某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召,决定成立草莓产销合作社,负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售,所获利润年底分红。 经市场调研发现,草莓销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的关系如图所示(0≤x≤100),已知草莓的产销投入总成本p(万元)与产量x(吨)之间满足p=x+1. (1)直接写出草莓销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的函数关系式; (2)求该合作社所获利润w(万元)与产量x(吨)之间的函数关系式; (3)为提高农民种植草莓的积极性,合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户,为确保合作社所获利润w’(万元)不低于55万元,产量至少要达到多少吨? 【答案】见解析. 【解析】解: 解: (1)当0≤x≤30时,y=2.4; 当30≤x≤70时,设y=kx+b, 把(30,2.4),(70,2)代入得: ,解得 , ∴y=﹣0.01x+2.7; 当70≤x≤100时,y=2; (2)当0≤x≤30时,w=2.4x﹣(x+1)=1.4x﹣1; 当30≤x≤70时,w=(﹣0.01x+2.7)x﹣(x+1) =﹣0.01x2+1.7x﹣1; 当70≤x≤100时,w=2x﹣(x+1) =x﹣1; (3)当0≤x<30时,w′=1.4x﹣1﹣0.3x=1.1x﹣1, 当x=30时,w′的最大值为32,不合题意; 当30≤x≤70时,w′=﹣0.01x2+1.7x﹣1﹣0.3x =﹣0.01(x﹣70)2+48, 当x=70时,w′的最大值为48,不合题意; 当70≤x≤100时,w′=x﹣1﹣0.3x =0.7x﹣1, 当x=100时,w′的最大值为69,此时0.7x﹣1≥55,解得x≥80, 所以产量至少要达到80吨. 9.(2019·湖北荆门中考)为落实“精准扶贫”精神,市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓.根据市场调查,在草莓上市销售的30天中,其销售价格m(元/公斤)与第x天之间满足 (x为正整数),销售量n(公斤)与第x天之间的函数关系如图所示: 如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元. (1)求销售量 与第 天之间的函数关系式; (2)求在草莓上市销售的30天中,每天的销售利润 与第 天之间的函数关系式;(日销售利润=日销售额-日维护费) (3)求日销售利润 的最大值及相应的 . 【答案】见解析. 【解析】解: 当1≤x≤10时,设n=kx+b,由图可知: ,解得: k=2,b=10, ∴n=2x+10, 同理当10 ; (2)∵y=mn-80, ∴ 即 ; (3)当1≤x≤10时, 的对称轴是x=-5, ∴当y=10时,y取最大值是1270; 当10 的对称轴是 , ∴当x=13时,y取最大值是1313.2; 当15≤x≤30时, 的对称轴是 , ∴当x=15时,y取最大值是1300; 综上所述,草莓销售第13天时,日销售利润最大,最大值是1313.2元.
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