小学数学难题讲解及答案.docx
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小学数学难题讲解及答案
第一讲速算与巧算
例1计算9+99+999+9999+99999
解:
在涉及所有数字都是9的计算中,常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.
9+99+999+9999+99999
=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)
+(100000-1)
=10+100+1000+10000+100000-5
=111110-5
=111105.
例2计算199999+19999+1999+199+19
解:
此题各数字中,除最高位是1外,其余都是9,仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.(如199+1=200)
199999+19999+1999+199+19
=(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1)
+(19+1)-5
=200000+20000+2000+200+20-5
=222220-5
=22225.
例3计算(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)
解法2:
先把两个括号内的数分别相加,再相减.第一个括号内的数相加的结果是:
从1到1989共有995个奇数,凑成497个1990,还剩下995,第二个括号内的数相加的结果是:
从2到1988共有994个偶数,凑成497个1990.
1990×497+995—1990×497=995.
例4计算389+387+383+385+384+386+388
解法1:
认真观察每个加数,发现它们都和整数390接近,所以选390为基准数.
389+387+383+385+384+386+388
=390×7—1—3—7—5—6—4—
=2730—28
=2702.
解法2:
也可以选380为基准数,则有
389+387+383+385+384+386+388
=380×7+9+7+3+5+4+6+8
=2660+42
=2702.
例5计算(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6
解:
认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和,故可选4940为基准数.
(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6
=(4940×6+2+3—2—1+1+3)÷6
=(4940×6+6)÷6(这里没有把4940×6先算出来,而是运
=4940×6÷6+6÷6运用了除法中的巧算方法)
=4940+1
=4941.
例6计算54+99×99+45
解:
此题表面上看没有巧妙的算法,但如果把45和54先结合可得99,就可以运用乘法分配律进行简算了.
54+99×99+45
=(54+45)+99×99
=99+99×99
=99×(1+99)
=99×100
=9900.
例7计算9999×2222+3333×3334
解:
此题如果直接乘,数字较大,容易出错.如果将9999变为3333×3,规律就出现了.
9999×2222+3333×3334
=3333×3×2222+3333×3334
=3333×6666+3333×3334
=3333×(6666+3334)
=3333×10000
=33330000.
习题一
1.计算899998+89998+8998+898+88
2.计算799999+79999+7999+799+79
3.计算(1988+1986+1984+…+6+4+2)-(1+3+5+…+1983+1985+1987)
4.计算1—2+3—4+5—6+…+1991—1992+1993
5.时钟1点钟敲1下,2点钟敲2下,3点钟敲3下,依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下?
6.求出从1~25的全体自然数之和.
7.计算1000+999—998—997+996+995—994—993+…+108+107—106—105+104+103—102—101
8.计算92+94+89+93+95+88+94+96+87
9.计算(125×99+125)×16
10.计算3×999+3+99×8+8+2×9+2+9
第二讲速算与巧算
例1比较下面两个积的大小:
A=987654321×123456789,
B=987654322×123456788.
分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1,但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算,凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B,直接把两个因数相乘求积又太繁,所以我们开动脑筋,将A和B先进行恒等变形,再作判断.
解:
A=987654321×123456789
=987654321×(123456788+1)
=987654321×123456788+987654321.
B=987654322×123456788
=(987654321+1)×123456788
=987654321×123456788+123456788.
因为987654321>123456788,所以A>B.
例2不用笔算,请你指出下面哪道题得数最大,并说明理由.
241×249242×248243×247
244×246245×245.
解:
利用乘法分配律,将各式恒等变形之后,再判断.
241×249=(240+1)×(250—1)=240×250+1×9;
242×248=(240+2)×(250—2)=240×250+2×8;
243×247=(240+3)×(250—3)=240×250+3×7;
244×246=(240+4)×(250—4)=240×250+4×6;
245×245=(240+5)×(250—5)=240×250+5×5.
恒等变形以后的各式有相同的部分240×250,又有不同的部分1×9,2×8,3×7,4×6,5×5,由此很容易看出245×245的积最大.
一般说来,将一个整数拆成两部分(或两个整数),两部分的差值越小时,这两部分的乘积越大.
如:
10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5
则5×5=25积最大.
例3求1966、1976、1986、1996、2006五个数的总和.
解:
五个数中,后一个数都比前一个数大10,可看出1986是这五个数的平均值,故其总和为:
1986×5=9930.
例42、4、6、8、10、12…是连续偶数,如果五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个.
解:
五个连续偶数的中间一个数应为320÷5=64,因相邻偶数相差2,故这五个偶数依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60.
总结以上两题,可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数,中间一个数为首末两数的平均值;五个连续自然数,中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显,这五个数可以记作:
x-2、x—1、x、x+1、x+2.如此类推,对于奇数个连续自然数,最中间的数是所有这些自然数的平均值.
如:
对于2n+1个连续自然数可以表示为:
x—n,x—n+1,x-n+2,…,x—1,x,x+1,…x+n—1,x+n,其中x是这2n+1个自然数的平均值.
巧用中数的计算方法,还可进一步推广,请看下面例题.
例5将1~1001各数按下面格式排列:
一个正方形框出九个数,要使这九个数之和等于:
①1986,②2529,③1989,能否办到?
如果办不到,请说明理由.
解:
仔细观察,方框中的九个数里,最中间的一个是这九个数的平均值,即中数.又因横行相邻两数相差1,是3个连续自然数,竖列3个数中,上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.
①1986不是9的倍数,故不行;
②2529÷9=281,是9的倍数,但是281÷7=40×7+1,这说明281在题中数表的最左一列,显然它不能做中数,也不行;
③1989÷9=221,是9的倍数,且221÷7=31×7+4,这就是说221在数表中第四列,它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的,且最大的数是229,最小的数是213.
这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们,小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢!
所以平时要注意观察,认真思考,积累巧算经验.
习题二
1.右图的30个方格中,最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好,其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和(如方格中a=14+17=31).右图填满后,这30个数的总和是多少?
2.有两个算式:
①98765×98769,
②98766×98768,
请先不要计算出结果,用最简单的方法很快比较出哪个得数大,大多少?
3.比较568×764和567×765哪个积大?
4.在下面四个算式中,最大的得数是多少?
①1992×1999+1999
②1993×1998+1998
③1994×1997+1997
④1995×1996+1996
5.五个连续奇数的和是85,求其中最大和最小的数.
第三讲等差数列及其应用
许多同学都知道这样一个故事:
大数学家高斯在很小的时候,就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余,有没有仔细想一想,高斯为什么算得快呢?
当然,小高斯的聪明和善于观察是不必说了,往深处想,最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1,即它们构成了差相等的数列,而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习,我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法,而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.
一、等差数列
什么叫等差数列呢?
我们先来看几个例子:
①l,2,3,4,5,6,7,8,9,…
②1,3,5,7,9,11,13.
③2,4,6,8,10,12,14…
④3,6,9,12,15,18,21.
⑤100,95,90,85,80,75,70.
⑥20,18,16,14,12,10,8.
这六个数列有一个共同的特点,即相邻两项的差是一个固定的数,像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差,一般用字母d表示,如:
数列①中,d=2-1=3-2=4-3=…=1;
数列②中,d=3-1=5-3=…=13-11=2;
数列⑤中,d=100-95=95-90=…=75-70=5;
数列⑥中,d=20-18=18-16=…=10-8=2.
例1下面的数列中,哪些是等差数列?
若是,请指明公差,若不是,则说明理由.
①6,10,14,18,22,…,98;
②1,2,1,2,3,4,5,6;
③1,2,4,8,16,32,64;
④9,8,7,6,5,4,3,2;
⑤3,3,3,3,3,3,3,3;
⑥1,0,1,0,l,0,1,0;
解:
①是,公差d=4.
②不是,因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.
③不是,因为4-2≠2-1.
④是,公差d=l.
⑤是,公差d=0.
⑥不是,因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.
一般地说,如果一个数列是等差数列,那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项,或者每一项都大于前面的项,上述例1的数列⑥中,第1项大于第2项,第2项却又小于第3项,所以,显然不符合等差数列的定义.
为了叙述和书写的方便,通常,我们把数列的第1项记为a1,第2项记为a2,…,第n项记为an,an。
又称为数列的通项,a1;又称为数列的首项,最后一项又称为数列的末项.
二、通项公式
对于公差为d的等差数列a1,a2,…an…来说,如果a1;小于a2,则
由此可知:
(1)
若a1;大于a2,则同理可推得:
(2)
公式
(1)
(2)叫做等差数列的通项公式,利用通项公式,在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.
例2求等差数列1,6,11,16…的第20项.
解:
首项a1=1,又因为a2;大于a1;,
公差d=6-1=5,所以运用公式
(1)可知:
第20项a20=a1=(20-1)×5=1+19×5=96.
一般地,如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量,如:
由通项公式,我们可以得到项数公式:
例3已知等差数列2,5,8,11,14…,问47是其中第几项?
解:
首项a1=2,公差d=5-2=3
令an=47
则利用项数公式可得:
n=(47-2)÷3+1=16.
即47是第16项.
例4如果一等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.
分析与解答
方法1:
要求第8项,必须知道首项和公差.
因为a4=a1+3×d,又a4=21,所以a1=21-3×d又a6=a1+5×d,又a6=33,所以a1=33-5×d所以:
21-3×d=33-5×d,
所以d=6a1=21-3×d=3,
所以a8=3+7×6=45.
方法2:
考虑到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2×d,其中a6已知,只要求2×d即可.
又a6=a5+d=a4+d+d=a4+2×d,
所以2×d=a6-a4
所以a8=3+7×6=45
方法2说明:
如果能够灵活运用等差数列各项间的关系,解题将更为简便.
三、等差数列求和
若a1小于a2,则公差为d的等差数列a1,a2,a3…an可以写为
a1,a1+d,a1+d×2,…,a1+d×(n-1).所以,容易知道:
a1+an=a2+an-1=a3+an-2
=a4+an-3=…=an-1+a2=an+a1.
设Sn=a1+a2+a3+…+an
则Sn=an+an-1+an-2+…+a1
两式相加可得:
2×Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)
即:
2×Sn=n×(a1+an),所以,
例5计算1+5+9+13+17+…+1993.
当a1;大于a2。
时,同样也可以得到上面的公式.这个公式就是等差数列的前n项和的公式.
解:
因为1,5,9,13,17,…,1993是一个等差数列,且al=1,d=4,an=1993.
所以,n=(an-a1)÷d+1=499.
所以,1+5+9+13+17+…+1993
=(1+1993)×499÷2
=997×499
=497503.
题目做完以后,我们再来分析一下,本题中的等差数列有499项,中间一项即第250项的值是997,而和恰等于997×499.其实,这并不是偶然的现象,关于中项有如下定理:
习题
1.求值:
①6+11+16+…+501.
②101+102+103+104+…+999.
2.下面的算式是按一定规律排列的,那么,第100个算式的得数是多少?
4+2,5+8,6+14,7+20,…
3.11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和,这另外8个连续自然数中的最小数是多少?
4.把100根小棒分成10堆,每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根,应如何分?
5.300到400之间能被7整除的各数之和是多少?
第四讲行程问题
(一)
我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题,总称为行程问题.
在对小学数学的学习中,我们已经接触过一些简单的行程应用题,并且已经了解到:
上述三个量之间存在这样的基本关系:
路程=速度×时间.因此,在这一讲中,我们将在前面学习的基础上,主要来研究行程问题中较为复杂的一类问题——反向运动问题,也即在同一道路上的两个运动物体作方向相反的运动的问题.它又包括相遇问题和相背问题.所谓相遇问题,指的就是上述两个物体以不同的点作为起点作相向运动的问题;所谓相背问题,指的就是这两个运动物体以同一点作为起点作背向运动的问题,下面,我们来具体看几个例子.
例1甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米,问:
二人几小时后相遇?
分析出发时甲、乙二人相距30千米,以后两人的距离每小时都缩短6+4=10(千米),即两人的速度的和(简称速度和),所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇.
解:
30÷(6+4)
=30÷10
=3(小时)
答:
3小时后两人相遇.
例1是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个基本数量关系:
路程=速度和×时间.
例2一列货车早晨6时从甲地开往乙地,平均每小时行45千米,一列客车从乙地开往甲地,平均每小时比货车快15千米,已知客车比货车迟发2小时,中午12时两车同时经过途中某站,然后仍继续前进,问:
当客车到达甲地时,货车离乙地还有多少千米?
分析货车每小时行45千米,客车每小时比货车快15千米,所以,客车速度为每小时(45+15)千米;中午12点两车相遇时,货车已行了(12—6)小时,而客车已行(12—6-2)小时,这样就可求出甲、乙两地之间的路程.最后,再来求当客车行完全程到达甲地时,货车离乙地的距离.
解:
①甲、乙两地之间的距离是:
45×(12—6)+(45+15)×(12—6—2)
=45×6+60×4
=510(千米).
②客车行完全程所需的时间是:
510÷(45+15)
=510÷60
=8.5(小时).
③客车到甲地时,货车离乙地的距离:
510—45×(8.5+2)
=510-472.5
=37.5(千米).
答:
客车到甲地时,货车离乙地还有37.5千米.
例3两列火车相向而行,甲车每小时行36千米,乙车每小时行54千米.两车错车时,甲车上一乘客发现:
从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒,求乙车的车长.
分析首先应统一单位:
甲车的速度是每秒钟36000÷3600=10(米),乙车的速度是每秒钟54000÷3600=15(米).本题中,甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动,乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动,因此,我们只需研究下面这样一个运动过程即可:
从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起,乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒,每一秒钟,乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大(10+15)米,因此,14秒结束时,车头与乘客之间的距离为(10+15)×14=350(米).又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾,所以,乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度,即:
乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和.
解:
(10+15)×14
=350(米)
答:
乙车的车长为350米.
我们也可以把例3称为一个相背运动问题,对于相背问题而言,相遇问题中的基本关系仍然成立.
例4甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行,两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶,并且在到达对方出发点后,立即沿原路返回,途中两车在距A地48千米处第二次相遇,问两次相遇点相距多少千米?
分析甲、乙两车共同走完一个AB全程时,乙车走了64千米,从上图可以看出:
它们到第二次相遇时共走了3个AB全程,因此,我们可以理解为乙车共走了3个64千米,再由上图可知:
减去一个48千米后,正好等于一个AB全程.
解:
①AB间的距离是
64×3-48
=192-48
=144(千米).
②两次相遇点的距离为
144—48-64
=32(千米).
答:
两次相遇点的距离为32千米.
例5甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行,甲骑车,乙步行,在行走过程中,甲的车发生故障,修车用了1小时.在出发4小时后,甲、乙二人相遇,又已知甲的速度为乙的2倍,且相遇时甲的车已修好,那么,甲、乙二人的速度各是多少?
分析甲的速度为乙的2倍,因此,乙走4小时的路,甲只要2小时就可以了,因此,甲走100千米所需的时间为(4—1+4÷2)=5小时.这样就可求出甲的速度.
解:
甲的速度为:
100÷(4-1+4÷2)
=10O÷5=20(千米/小时).
乙的速度为:
20÷2=10(千米/小时).
答:
甲的速度为20千米/小时,乙的速度为10千米/小时.
例6某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒,若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇,错车而过需要几秒钟?
分析解这类应用题,首先应明确几个概念:
列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止.因此,这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长;两车相遇,错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止,这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题,这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和.因此,错车时间就等于车长之和除以速度之和.
列车通过250米的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒,所以列车行驶的路程为(250—210)米时,所用的时间为(25—23)秒.由此可求得列车的车速为(250—210)÷(25—23)=20(米/秒).再根据前面的分析可知:
列车在25秒内所走的路程等于隧道长加上车长,因此,这个列车的车长为20×25—250=250(米),从而可求出错车时间.
解:
根据另一个列车每小时走72千米,所以,它的速度为:
72000÷3600=20(米/秒),
某列车的速度为:
(25O-210)÷(25-23)=40÷2=20(米/秒)
某列车的车长为:
20×25-250=500-250=250(米),
两列车的错车时间为:
(250+150)÷(20+20)=400÷40=10(秒).
答:
错车时间为10秒.
例7甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去,甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米,有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时.6小时,8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇,求丙车的速度.
分析甲车每小时比乙车快60-48=12(千米).则5小时后,甲比乙多走的路程为12×5=60(千米).也即在卡车与甲相遇时,卡车与乙的距离为60千米,又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的6-5=1小时后相遇,所以,可求出卡车的速度为60÷1-48=12(千米/小时)
卡车在与甲相遇后,再走8-5=3(小时)才能与丙相遇,而此时丙已走了8个小时,因此,卡车3小时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程.由此,丙的速度也可求得
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