高中数学公式大全完整版.docx

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高中数学公式大全完整版

ab;两个函

2

高中数学常用公式及常用结论

1.包含关系

ABAABBABCUBCUA

ACUBCUABR

2．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.

3.充要条件

（1）充分条件：

若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：

若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：

若pq，且qp，则p是q充要条件.

注：

如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然

4.函数的单调性

（1）设x1x2a,b,x1x2那么

（x1x2）f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2）0f（x）在a,b上是增函数；

x1x2

（x1x2）f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2）0f（x）在a,b上是减函数.

x1x2

（2）设函数yf（x）在某个区间内可导，如果f（x）0，则f（x）为增函数；如果f（x）0，则f（x）为减函数.

5.如果函数f（x）和g（x）都是减函数,则在公共定义域内,和函数f（x）g（x）也是减函数;如果函数

yf（u）和ug（x）在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g（x）]是增函数.6．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么

这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

7.对于函数yf（x）（xR）,f（xa）f（bx）恒成立,则函数f（x）的对称轴是函数x

11．有理指数幂的运算性质

（1）arasars（a0,r,sQ）.

（2）（ar）s

12.指数式与对数式的互化式logaNbabN（a0,a1,N0）.

①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：

loga10，③.底的对数等于1：

logaa1，

④.积的对数：

loga（MN）logaMlogaN，商的对数：

logaMlogaMlogaN，N

幂的对数：

logaMnnlogaM；logambnnlogabam

13.对数的换底公式logaNlogmN（a0,且a1,m0,且m1,N0）.logma

推论logambnnlogab（a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0）.am

15.ans1,n1（数列{an}的前n项的和为sna1a2an）.

snsn1,n2

16.等差数列的通项公式ana1（n1）ddna1d（nN*）；

22sinsin2cos21，tan=

cos19正弦、余弦的诱导公式

（n为偶数）

（n为奇数）

n2

n

（1）2sin,sin

（2）n1

2

（1）2cos,

20和角与差角公式sin（）sincoscossin;cos（）coscossinsin;

tan（）

tantan

1tantan

asinbcos=a2b2sin（）（辅助角所在象限由点（a,b）的象限决定,tanb）.

a

21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sincos．

222221cos221cos2

⑵cos2cos2sin22cos2112sin2（cos2，sin2）．

22

tan2

2tan

2

1tan2

22.三角函数的周期公式

函数ysin（x），x∈R及函数ycos（x），x∈R（A,ω,为常数，且A≠0，ω>0）的周期T2；函数ytan（x），xk,kZ（A,ω,为常数，且A≠0，ω>0）的周期T.

2

23.正弦定理

sinAsinBsinC

24.余弦定理

a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.

111

25.面积定理SabsinCbcsinAcasinB

（2）.

222

26.三角形内角和定理CAB

在△ABC中，有ABCC（AB）2C22（AB）.

222

27.实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

（1）结合律：

λ（μa）=（λμ）a;

（2）第一分配律：

（λ+μ）a=λa+μa;（3）第二分配律：

λ（a+b）=λa+λb.

28.向量的数量积的运算律：

（1）a·b=b·a（交换律）;

（2）（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;（3）（a+b）·c=a·c+b·c.30．向量平行的坐标表示

设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），且b0，则ab（b0）x1y2x2y10.

31.a与b的数量积（或内积）a·b=|a||b|cosθ．

32.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

33.平面向量的坐标运算

（1）设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则a+b=（x1x2,y1y2）.

（2）设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），

（3）设A（x1,y1），B（x2,y2）,则ABOBOA（x2x1,y2y1）.

（4）设a=（x,y）,R，则a=（x,y）.

（5）设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则a·b=（x1x2y1y2）.

（x2x1）（y2y1）（A（x1,y1），B（x2,y2））.

36.向量的平行与垂直设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），且b0，则

A||bb=λax1y2x2y10.

ab（a0）a·b=0x1x2y1y20.

37.三角形的重心坐标公式

x1x2x3y1y2y3.G（,）.

△ABC三个顶点的坐标分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）,则△ABC的重心的坐标是

33

设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则222

（1）O为ABC的外心OAOB

（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOC

38.常用不等式：

1）a,bRa2b22ab（当且仅当a＝b时取“=”号）．

2）a,bRabab（当且仅当a＝b时取“=”号）．

2

3）ababab.

39已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；

12

2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值s2.4

40.含有绝对值的不等式

22

当a>0时，有xax2aaxa.

直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是.

2

|Ax0By0C|

45.点到直线的距离d00（点P（x0,y0）,直线l：

AxByC0）.

A2B2

46.圆的四种方程

（1）圆的标准方程（xa）2（yb）2r2.

（2）圆的一般方程x2y2DxEyF0（D2E24F>0）.

47.直线与圆的位置关系

直线AxByC0与圆（xa）2（yb）2r2的位置关系有三种:

dr相离0;dr相切0;

AaBbC

dr相交0.其中d.

A2B2

48.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2d

dr1r2外离4条公切线;dr1r2外切3条公切线;

r1r2dr1r2相交2条公切线;dr1r2内切1条公切线

0dr1r2内含无公切线.

49.圆的切线方程

（1）已知圆x2y2DxEyF0．

（2）已知圆x2y2r2．

2

①过圆上的P0（x0,y0）点的切线方程为x0xy0yr2;

x2y2xacos

50.椭圆221（ab0）的参数方程是.

a2b2ybsin

AB（1k2）（x2x1）2|x1ykxb2

消去y得到ax2bxc0，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.

F（x,y）0

a=λb．

57

（1）加法交换律：

a＋b=b＋a．

（2）加法结合律：

（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．（3）数乘分配律：

λ（a＋b）=λa＋λb．59共线向量定理对空间任意两个向量a、b（b≠0），a∥b存在实数λ使

P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP（1t）OAtOB.

60.向量的直角坐标运算设a＝（a1,a2,a3），b＝（b1,b2,b3）则

（1）a＋b＝（a1b1,a2b2,a3b3）；

（2）a－b＝（a1b1,a2b2,a3b3）；（3）λa＝（a1,a2,a3）（λ∈R）；（4）a·b＝a1b1a2b2a3b3；

61.设A（x1,y1,z1），B（x2,y2,z2），则ABOBOA=（x2x1,y2y1,z2z1）.62．空间的线线平行或垂直

rrrrrr

设a（x1,y1,z1），b（x2,y2,z2），则abab0x1x2y1y2z1z20.

a1b1a2b2a3b3

63.夹角公式

设a＝（a1,a2,a3），b＝（b1,b2,b3），则cos〈a，b〉=222222.

a12a22a32b12b22b32

rr

64．异面直线所成角cos|cosa,b|=|rabr|

r||x1x2y1y2z1z2|

|a||b|x12y12z12x22y22z22

其中（0o90o）为异面直线a,b所成角，ar,br分别表示异面直线a,b的方向向量）

65.直线AB与平面所成角

arcsinA

|AB||m|

m

（m为平面的法向量）.

66.二面角l的平面角arccosmn或arccosmn（m，n为平面，的法向量）.

|m||n||m||n|

134.空间两点间的距离公式

若A（x1,y1,z1），B（x2,y2,z2），则dA,B=|AB|ABAB（x2x1）（y2y1）（z2z1）.

67.球的半径是R，则

其体积V4R3,其表面积S4R2．

3

（3）球与正四面体的组合体:

棱长为a的正四面体的内切球的半径为

126a,外接球的半径为

12

1

68V柱体Sh（S是柱体的底面积、

3

69.分类计数原理（加法原理）Nm1m2mn.

n！

h是柱体的高）.V锥体

6

a.

4

1

Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）

3

m∈N*，且mn）．注:

规定0!

1.

70.排列数公式Anm=n（n1）（nm1）=.（n，

（nm）！

Anm=n（n1）（nm1）=n！

Amm12mm！

（nm）！

（1）Cnm=Cnnm;

（2）Cnm+Cnm1=Cnm1.注:

规定Cn0Cnmnm1Cnm1;

（2）CnmnCnm1;（3）Cnm

mnm

73.排列数与组合数的关系Anmm！

Cnm.

74．单条件排列以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.

（1）“在位”与“不在位”

①某（特）元必在某位有An1种；②某（特）元不在某位有AnAn1

An1Am1An1（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：

k（kmn）个元在固定位的排列有AkkAnmkk种.

②浮动紧贴：

n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有Annkk11Akk种.注：

此类问题常用捆绑法；③插空：

两组元素分别有k、h个（kh1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有AhhAhk1种.

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

An

当nm1时，无解；当nm1时，有mn1Cmn1种排法.

An

（4）两组相同元素的排列：

两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为

75．分配问题

（1）

71.组合数公式Cnm

72.组合数的两个性质

155.组合恒等式

（1）

NCmn

（2）NCmnn

（n∈N*，mN，且mn）.

nCnm11;m

补集思想）

n

4）Cnr=2n;

r0

An11Anm11（着眼位置）

Cmnn.

（平均分组有归属问题）将相异的m、n个物件等分给m个人，各得

CnCnCnCn（mn）!

.

CmnnCmn2nC2nCnm.

mnnmn2n2nn（n!

）m

（平均分组无归属问题）将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，

CmnnnCmnn2n...C2nnCnn（mn）!

.

m!

m!

（n!

）m.

3）（非平均分组有归属问题）将相异的P（P=n1+n2++nm）个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，

n件，其分配方法数共有

其分配方法数共有

n2，⋯，nm件，且n1，n2，⋯，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有

NCpn1Cnp2n1...Cnnmm

m!

p!

m!

n1!

n2!

...nm!

76.二项式定理（ab）nCn0anC1nan1bCn2an2b2CnranrbrCnnbn;

二项展开式的通项公式Tr1Cnranrbr（r0，1，2，n）.

77.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率Pn（k）CnkPk（1P）nk.

78.离散型随机变量的分布列的两个性质

（1）Pi0（i1,2,）;

（2）P1P21.

79.数学期望Ex1P1x2P2xnPn

80..数学期望的性质

（1）E（ab）aE（）b.

（2）若～B（n,p）,则Enp.

222

81.方差Dx1Ep1x2Ep2xnEpn标准差=D.

82.方差的性质

（1）Daba2D；

（2）若～B（n,p），则Dnp（1p）.

83..f（x）在（a,b）的导数f（x）ydydflimylimf（xx）f（x）.

dxdxx0xx0x

84..函数yf（x）在点x0处的导数的几何意义

函数yf（x）在点x0处的导数是曲线yf（x）在P（x0,f（x0））处的切线的斜率f（x0），相应的切线方程是

yy0f（x0）（xx0）.

85..几种常见函数的导数

（1）C0（C为常数）.

（2）（xn）'nxn1（nQ）.（3）（sinx）cosx.

1x1xxxx

（4）（cosx）sinx（5）（lnx）；（logax）（6）（ex）ex;（ax）axlna.

xxlna

86..导数的运算法则

''''''u'uvuv

（1）（uv）uv.

（2）（uv）uvuv.（3）（）2（v0）.

vv

87..复合函数的求导法则

设函数u（x）在点x处有导数ux''（x），函数yf（u）在点x处的对应点U处有导数yu'f'（u），则复合函

数yf（（x））在点x处有导数，且y'xyu'u'x，或写作fx'（（x））f'（u）'（x）.

89.复数的相等abicdiac,bd.（a,b,c,dR）

90.复数zabi的模（或绝对值）|z|=|abi|=a2b2.

91.复数的四则运算法

（1）（abi）（cdi）（ac）（bd）i

（2）（abi）（cdi）（ac）（bd）i;

（3）（abi）（cdi）（acbd）（bcad）i;（4）（abi）（cdi）ac2bd2bc2ad2i（cdi0）.c2d2c2d2

的角度

0

30

45

60

90

120

135

150

180

270

360

的弧度

0

6

4

3

2

2

3

3

4

5

6

3

2

2

sin

0

1

2

3

1

3

2

1

0

1

0

2

2

2

2

2

2

cos

1

3

2

1

0

1

2

3

1

0

1

2

2

2

2

2

2

tan

0

3

1

3

无

3

1

3

0

无

0

3

3

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函性质函数

ysinx

ycosx

ytanx

图象

定义域

R

R

xxk,k

2

值域

1,1

1,1

R

最值

当x2kk时，

ymax1；当x2k

2

k时，ymin1．

当x2kk时，ymax1；当x2kk时，ymin1．

既无最大值也无最小值

周期性

2

2

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在2k,2k

22

k上是增函数；在

3

2k,2k22

k上是减函数．

在2k,2kk上是增函数；在2k,2k

k上是减函数．

在k,k

22

k上是增函数．

对称性

对称中心k,0k

对称轴xkk

2

对称中心k,0k

2

对称轴xkk

对称中心k,0k

2

无对称轴