天津大学研究生最优化方法复习题.docx
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天津大学研究生最优化方法复习题
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《最优化方法》复习题
第一章概述(包括凸规划)
判断与填空题
max(x):
x:
二D_Rn:
--min'f(x):
x:
二D」Rn:
设f:
DRn>R.若x:
Rn,对于一切Rn恒有f(x”)^f(x),则称x为
设f:
D二Rn>R.若x”•D,存在X”的某邻域N(x),使得对一切
x・N(x)恒有f(x”):
:
:
f(x),则称x”为最优化问题
优解•
给定一个最优化问题,那么它的最优值是一个定值•V
非空集合DRn为凸集当且仅当D中任意两点连线段上任一点属于D.V
非空集合DRn为凸集当且仅当D中任意有限个点的凸组合仍属于D.V
任意两个凸集的并集为凸集.
函数f:
DRn>R为凸集D上的凸函数当且仅当-f为D上的凹函数.V
设f:
DRn>R为凸集D上的可微凸函数,X:
D.则对D,有f(X)-f(x)乞If(x)T(x-x).
若c(x)是凹函数,则D二{x・Rnc(x)—0}是凸集。
V
则对—k「0,1,2,i恒有f(xk』乞f(xk).
算法迭代时的终止准则(写出三种)
14凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。
15
函数f:
DRn>R在点xk沿着迭代方向dk•Rn{C}进行精确一维线搜索的
步长:
k,则其搜索公式为
16
函数f:
DRn>R在点xk沿着迭代方向d^Rn{0}进行精确一维线搜索的
步长:
-k,则if(x'-.^d)d=0.
17
设dk•Rn{0}为点xk•DRn处关于区域D的一个下降方向,则对于
kk
_>0,二*三(0,丁)使得xhid-D.
、
简述题
1
写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。
2
怎样判断一个函数是否为凸函数.
(例如:
判断函数f(x)2X1X2•2x;-10X15X2是否为凸函数)
三、
证明题
1
证明一个优化问题是否为凸规划.(例如
1Tt
minf(x)xGxcxb
2
判断s.t.Ax=b(其中G是正定矩阵)是凸规划
x_0
2熟练掌握凸规划的性质及其证明.
第二章线性规划
考虑线性规划问题:
(LP)mincTx
s.t.Ax=b,x_0,
其中,Rn,ARmn,bRm为给定的数据,且rankA=m,m空n.
一、判断与选择题
1(LP)的基解个数是有限的.V
2若(LP)有最优解,则它一定有基可行解为最优解.V
3(LP)的解集是凸的.V
4对于标准型的(LP),设乂“由单纯形算法产生,则对匕「0,1,2「」,有
TkTk1、/
cxcx.x
**t*T*
5若x为(LP)的最优解,y为(DP)的可行解,则cx_by.V
6设x。
是线性规划(LP)对应的基B=(R,…,Pm)的基可行解,与基变量
为,…,xm对应的规范式中,若存在二k”:
0,则线性规划(LP)没有最优解。
X
7求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法:
8对于线性规划(LP),每次迭代都会使目标函数值下降.X
1将以下线性规划问题化为标准型:
maxf(x)-2x23x3
s.t.捲x2x3_6,
2x24x3亠12,
xi-x2*X3一2,
X2_0,X3_0.
2写出以下线性规划的对偶线性规划:
maxf(x)=3为2x2x34x4
s.t.2x「4x23x3x4=6,-2x「4x23x3x4_3,
Xi,X2,X3,X4—0.
三、计算题
M法及二阶段
法).见书本:
例2.5.1
例2.6.1
例2.6.2
熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法(包括大
(利用单纯形表求解);
(利用大M法求解);(利用二阶段法求解).
四、证明题
熟练掌握对偶理论(弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件)及利用对偶理论证明相关结论。
、判断与选择题
设G•Rnn为正定矩阵,则关于G共轭的任意n-1向量必线性相关.V在牛顿法中,每次的迭代方向都是下降方向•X经典Newton法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的.X
PRP共轭梯度法与BFGS算法都属于Broyden族拟Newton算法.X
用DFP算法求解正定二次函数的无约束极小化问题,则算法中产生的迭代方向一定线性无关•V
FR共轭梯度法、PRP共轭梯度法、DFP算法、及BFGS算法均具有二次收敛性.X
共轭梯度法、共轭方向法、DFP算法以及BFGS算法都具有二次终止性.V
函数f:
Rn>R在xk处的最速下降方向为
求解min
f(x)的经典Newton法在xk处的迭代方向为pk=
若f(x)在X*的邻域内具有一阶连续的偏导数且\f(x*)=0,则X*为的局
部极小点•X
若f(x)在x*的某邻域内具有二阶连续的偏导数且x*为f(x)的严格局部
xk处的迭代方向为Pk二
极小点,贝UG*=0:
f(x*)正定.X
求解mjnf(x)的最速下降法在
求解minf(x)的阻尼Newton法在xk处的迭代方向为pk=
可达其极小点•X
牛顿法具有二阶收敛性•V
二次函数的共轭方向法具有二次终止性.X共轭梯度法的迭代方向为:
1
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二、证明题
1设f:
Rn》R为一阶连续可微的凸函数,x”.Rn且if(x”)=O,贝Ux为
(dk)TGdk
讥•[0,•:
:
)为由精确一维搜索所的步长,则:
k
试证:
Newton法求解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点
1简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点.
2简述共轭梯度法的基本思想.
五、计算题
1利用最优性条件求解无约束最优化问题•
31
例如:
求解minf(x)x:
x;-x^-2论
22
2用FR共轭梯度法无约束最优化问题.
见书本:
例341.
3用PRP共轭梯度法无约束最优化问题.
见书本:
例3.4.1.
31
例如:
minf(x)xjxf-x1x2-2x1其中x0二(0,0)T,;=0.01
22
考虑约束最优化问题:
(NLP)minf(x)
s.t.G(x)=0,iE=i1,2,,l;
C(x)_0,iI—I1,l2,,ml
其中,f,q(i=1,2,,m):
Rn>R.
-、判断与选择题
1外罚函数法、内罚函数法、及乘子法均属于SUMT.X
2使用外罚函数法和内罚函数法求解(NLP)时,得到的近似最优解往往不是(NLP)的可行解.X
3在求解(NLP)的外罚函数法中,所解无约束问题的目标函数为.
4在(NLP)中l=0,则在求解该问题的内罚函数法中,常使用的罚函数
为.
5在(NLP)中l=0,贝U在求解该问题的乘子法中,乘子的迭代公式为
(k1)i=,对i「1,,m〔
6在(NLP)中m=l,则在求解该问题的乘子法中,增广的Lagrange函数为:
7对于(NLP)的KT条件为:
计算题
2用外罚函数法求解约束最优化问题见书本:
例421;
例422.
3用内罚函数法求解约束最优化问题
见书本:
例423.
4用乘子法求解约束最优化问题.
见书本:
例4.2.7;
例4.2.8.
三、简述题
1简述SUMT外点法的优缺点
2简述SUMT内点法的优缺点
四、证明题
利用最优性条件证明相关问题.
例如:
Q设为正定矩阵,A为列满秩矩阵.试求规划
(P)minf(x)=1xQxcxa
2
s.t.Ax二b
的最优解,并证明解是唯一的
、判断与选择题
1求解多目标最优化问题的评价函数法包括.
2通过使用评价函数,多目标最优化问题能够转化为单目标最优化问题.V
3设F:
D乂Rn>Rm,则F在D上的一般多目标最优化问题的数学形式
为.
使得F(x)_F(x)且F(x)严F(x),则x为该最优化冋题的有效解.V
5
一般多目标最优化问题的绝对最优解必是有效解.V
fi(i=1,2,…,m)的权系数,则求解以上问题的线性加权和法中所求解优
化的目标函数为.
F(X)=(fjx),…,你&))丁的线性加权和法所得到的
解,或者为原问题的有效解,或者为原问题的弱有效解•V
、简述题
1简单证明题
☆绝对最优解、有效解、及弱有效解之间的关系.
第5.2节中几个主要结论的证明.
2简单叙述题
★简述求解一般多目标规划的评价函数法的基本思想.简述求解一般多目标规划的线性加权和法的基本思想.
★简述求解一般多目标规划的理想点法的基本思想.简述在求解一般多目标规划的评价函数法中,确定权系数方法的基本思想.
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