完整版第二节命题及其关系充分条件与必要条件有答案.docx
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完整版第二节命题及其关系充分条件与必要条件有答案
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
考纲下载】
1.理解命题的概念.
2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
其中判断为真的语句叫
1.命题的概念
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.
做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件
(1)若p?
q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)若p?
q,则p与q互为充要条件.
(3)若p?
/q,且q?
/p,则p是q的既不充分也不必要条件.
1.一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗?
提示:
不是,一个命题的否命题是既否定该命题的条件,又否定该命题的结论,而这个命题的否定仅是否定它的结论.
2.“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗?
提示:
两者说法不相同.“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必
要条件”,显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的.
1.(2013福·建高考)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?
B”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
选A当a=3时,A={1,3},A?
B;反之,当A?
B时,a=2或3,所以“a=3”是“A?
B”的充分而不必要条件.
2.命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是()
A.“若x
C.“若x≤y,则x2≤y2”D.“若x≥y,则x2≥y2”
若x2>y2,则x>y”
解析:
选C根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2
3.(教材习题改编)命题“如果b2-4ac>0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中,真命题的个数为()
A.0B.1C.2D.3
解析:
选D原命题为真,则它的逆否命题为真,逆命题为“若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根,则b2-4ac>0”,为真命题,则它的否命题也为真.
4.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()
A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数
若f(x)是奇函数,则f(-
解析:
选B原命题的否命题是既否定题设又否定结论,故x)是奇函数”的否命题是B选项.
5.下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是()
A.a>b+1B.a>b-1C.a2>b2D.a3>b3
解析:
选A由a>b+1,且b+1>b,得a>b;反之不成立.
考点一
四种命题的关系
[例1]
(1)命题“若x>1,则x>0”的否命题是()
A.若x>1,则x≤0
B.若x≤1,则x>0
C.若x≤1,则x≤0
D.若x<1,则x<0
(2)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是()
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
[自主解答]
(1)因为“x>1”的否定为“x≤1”,“x>0”的否定为“x≤0”,所以命题“若x>1,则x>0”的否命题为:
“若x≤1,则x≤0”.
(2)由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数”.
[答案]
(1)C
(2)C
【互动探究】
试写出本例
(2)中命题的逆命题和否命题,并判断其真假性.
解:
逆命题:
若x+y是偶数,则x,y都是偶数.是假命题.
否命题:
若x,y不都是偶数,则x+y不是偶数.是假命题.
【方法规律】
判断四种命题间关系的方法
(1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题,将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.
(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性,解题时注意灵活应用.
1.命题p:
“若a≥b,则a+b>2012且a>-b”的逆否命题是()
A.若a+b≤2012且a≤-b,则a
B.若a+b≤2012且a≤-b,则a>b
C.若a+b≤2012或a≤-b,则a
D.若a+b≤2012或a≤-b,则a≤b
解析:
选C“且”的否定是“或”,根据逆否命题的定义知,逆否命题为“若a+b≤2012或a≤-b,则a
2.下列命题中为真命题的是()
A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题
解析:
选AA中逆命题为“若x>|y|,则x>y”是真命题;
B中否命题为“若x≤1,则x2≤1”是假命题;
C中否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”是假命题;
D中原命题是假命题,从而其逆否命题也为假命题.
考点二
命题的真假判断
[例2]
(1)下列命题是真命题的是()
A.若1=1,则x=yxy
B.若x2=1,则x=1
C.若x=y,则x=y
D.若x (2)(2014济·南模拟)在空间中,给出下列四个命题: 1过一点有且只有一个平面与已知直线垂直; 2若平面外两点到平面的距离相等,则过这两点的直线必平行于该平面; 3两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线; 4两个相互垂直的平面,一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线. 其中正确的是() A.①②B.②③C.③④D.①④ [自主解答] (1)取x=-1排除B;取x=y=-1排除C;取x=-2,y=-1排除D,故选A. (2)对于①,由线面垂直的判定可知①正确;对于②,若点在平面的两侧,则过这两点 的直线可能与该平面相交,故②错误;对于③,两条相交直线在同一平面内的射影可以为一条直线,故③错误;对于④,两个相互垂直的平面,一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条与交线垂直的直线,故④正确.综上可知,选D. [答案] (1)A (2)D 【方法规律】 命题的真假判断方法 (1)给出一个命题,要判断它是真命题,需经过严格的推理证明;而要说明它是假命题,只需举一反例即可. (2)由于原命题与其逆否命题为等价命题,有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假. 给出下列命题: 1函数y=sin(x+kπ)k(∈R)不可能是偶函数; 2已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a∈R,a≠0),则数列{an}一定是等比数列;③若函数f(x)的定义域是R,且满足f(x)+f(x+2)=3,则f(x)是以4为周期的周期函数;④过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交.其中所有正确的命题有(填正确命题的序号). 解析: ①当k=12时,y=sin(x+kπ就)是偶函数,故①错;②当a=1时,Sn=0,则an 的各项都为零,不是等比数列,故②错;③由f(x)+f(x+2)=3,则f(x+2)+f(x+4)=3,相减得f(x)-f(x+4)=0,即f(x)=f(x+4),所以f(x)是以4为周期的周期函数,③正确;④过两条异面直线外一点,有时没有一条直线能与两条异面直线都相交,故④错.综上所述,正确的命题只有③. 答案: ③ 1.充分条件、必要条件是每年高考的必考内容,多以选择题的形式出现,难度不大, 属于容易题. 2.高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度: (1)判断指定条件与结论之间的关系; (2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件; (3)与命题的真假性相交汇命题. [例3] (1)(2013北·京高考)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2012四·川高考)设a、 ab b都是非零向量,下列四个条件中,使|aa|=|bb|成立的充分条件 是() A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b| (3)给出下列命题: ①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan+1}为等比数列”的充分不必要条件; ②“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件; 3“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直”的充要条件; 4设a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=3,则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件. 其中真.命题的序号是. [自主解答] (1)当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin2x,则曲线y=-sin2x过坐标原点,所以“φ=π”? “曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”;当φ=2π时,y=sin(2x+2π)=sin2x,则曲线y=sin2x过坐标原点,所以“φ=π”? /“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”,所以“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件. (2)|aa|,|bb|分别是与a,b同方向的单位向量,由|aa|=|bb|,得a与b的方向相同.而a∥b时,a与b的方向还可能相反.故选C. (3) a≤2时,函数f(x)=|x-a|在区 对于①,当数列{an}为等比数列时,易知数列{anan+1}是等比数列,但当数列{anan+1}为等比数列时,数列{an}未必是等比数列,如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列,而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列,因此①正确;对于②,当 间[2,+∞)上是增函数,因此②不正确;对于③,当m=3时,相应的两条直线互相垂直, 反之,这两条直线垂直时,不一定有m=3,也可能m=0.因此③不正确;对于④,由题意 得b=sinB=3,若B=60°,则sinA=1,注意到b>a,故A=30°,反之,当A=30°时,asinA2 有sinB=23,由于b>a,所以B=60°或B=120°,因此④正确.综上所述,真命题的序号 是①④. [答案] (1)A (2)C(3)①④ 充要条件问题的常见类型及解题策略 (1)判断指定条件与结论之间的关系.解决此类问题应分三步: ①确定条件是什么,结 论是什么;②尝试从条件推结论,从结论推条件;③确定条件和结论是什么关系. (2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题目,可先从结论出发,求出 使结论成立的必要条件,然后再验证得到的必要条件是否满足充分性. (3)充要条件与命题真假性的交汇问题.依据命题所述的充分必要性,判断是否成立即 可. 1.(2014·西安模拟)如果对于任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数,那么“[x]=[y]”是“|x-y|<1成立”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选A若[x]=[y],则|x-y|<1;反之,若|x-y|<1,如取x=1.1,y=0.9,则[x]≠[y],即“[x]=[y]”是“|x-y|<1成立”的充分不必要条件. 1 2.已知p: 1<1,q: x2+(a-1)x-a>0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的x-1 取值范围是() A.(-2,-1]B.[-2,-1]C.[-3,1]D.[-2,+∞) 11x-2 解析: 选A不等式<1等价于-1<0,即>0,解得x>2或x<1,所以p为(- x-1x-1x-1 ∞,1)∪(2,+∞).不等式x2+(a-1)x-a>0可以化为(x-1)(x+a)>0,当-a≤1时,解得x>1或x<-a,即q为(-∞,-a)∪(1,+∞),此时a=-1;当-a>1时,不等式(x-1)(x+a)>0的解集是(-∞,1)∪(-a,+∞),此时-a<2,即-2 4±16-4n 3.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=. 解析: 一元二次方程x2-4x+n=0的根为x=2=2±4-n,因为x是整数, 即2±4-n为整数,所以4-n为整数,且n≤4,又因为n∈N*,取n=1,2,3,4,验证可知 n=3,4符合题意,所以n=3,4时可以推出一元二次方程x2-4x+n=0有整数根. 答案: 3或4 [课堂归纳——通法领悟] 1个区别——“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别“A是B的充分不必要条件”中,A是条件,B是结论;“A的充分不必要条件是B”中,B是条件,A是结论.在进行充分、必要条件的判断中,要注意这两种说法的区别. 2条规律——四种命题间关系的两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题;互为逆否命题的两个命题同真假. (2)当判断一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假.同时要关注“特例法”的应用. 3种方法——判断充分条件和必要条件的方法 (1)定义法; (2)集合法;(3)等价转化法. 三法破解充要条件问题 1.定义法 断,根据两个命题是否正确,来确定p与q之间的充要关系. [典例1]设0 A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 [解题指导]由0 π [解析]因为0 xsin2x<1; 11 不等式xsin2x<1两边同除以sinx,可得xsinx /xsinx<1. 综上,可知“xsin2x<1”是“xsinx<1”的必要不充分条件. [答案]C [点评]判断p、q之间的关系,只需判断两个命题A: “若p,则q”和B: “若q, 则p”的真假. (1)若p? q,则p是q的充分条件; (2)若q? p,则p是q的必要条件; (3)若p? q且q? p,则p是q的充要条件; (4)若p? q且q? /p,则p是q的充分不必要条件; (5)若p? /q且q? p,则p是q的必要不充分条件; (6)若p? /q且q? /p,则p是q的既不充分也不必要条件. 2.集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的方法.主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题. [典例2]若A: log2a<1,B: x的二次方程x2+(a+1)x+a-2=0的一个根大于零,另一根小于零,则A是B的() A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 [解题指导]分别求出使A、B成立的参数a的取值所构成的集合M和N,然后通过集 合M与N之间的关系来判断. [解析]由log2a<1,解得0 [答案]B [点评]利用集合间的关系判断充要条件的方法 记法 条件p、q对应的集合分别为A、B 关系 A? B B? A AB BA A=B AB且 BA 结论 p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 3.等价转化法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时,根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断. [典例3]已知条件p: 4≤-1,条件q: x2-x 件是p,则a的取值范围是. [解题指导]“q的一个充分不必要条件是p”等价于“p是q的一个必要不充分条 件”. [解析]由4≤-1,得-3≤x<1.由x2-x x-1 11 当a>1-a,即a>12时,不等式的解为1-a ;当a<1-a,即a<21时,不等式的解为a 由q的一个充分不必要条件是p,可知p是q的充分不必要条件,即p为q的一个 必要不充分条件,即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集. 1-3≤1-a,1 当a>2时,由{x|1-a 21≥a,2 当a=12时,因为空集是任意一个非空集合的真子集,所以满足条件; 1-3≤a,1 当a<2时,由{x|a 21≥1-a,2 综上,a的取值范围是[0,1]. [答案][0,1] [点评]条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断真假 p、q之间的关系 p和q之间的关系 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充分不必要条件 p是q的充要条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 p是q的既不充分也不必要条件 [全盘巩固] 1.“若b2-4ac<0,则ax2+bx+c=0没有实根”,其否命题是() A.若b2-4ac>0,则ax2+bx+c=0没有实根 B.若b2-4ac>0,则ax2+bx+c=0有实根 C.若b2-4ac≥0,则ax2+bx+c=0有实根 D.若b2-4ac≥0,则ax2+bx+c=0没有实根 解析: 选C由原命题与否命题的关系可知,“若b2-4ac<0,则ax2+bx+c=0没有实根”的否命题是“若b2-4ac≥0,则ax2+bx+c=0有实根”. 2.f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的() A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选B因为f(x),g(x)均为偶函数,可推出h(x)为偶函数,反之,则不成立. 3.(2014·黄冈模拟)与命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”等价的命题是() A.若a,b,c成等比数列,则b2≠ac B.若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac C.若b2=ac,则a,b,c成等比数列 D.若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列 解析: 选D因为原命题与其逆否命题是等价的,所以与命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”等价的命题是“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”. 4.设a>0且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选A“函数f(x)=ax在R上是减函数”的充要条件是p:
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