最全最详细抽象函数的对称性奇偶性与周期性常用结论.docx
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最全最详细抽象函数的对称性奇偶性与周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
一.概念:
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及
函数知识灵活运用的能力
1周期函数的定义:
对于f(x)定义域内的每一个x,都存在非零常数T,使得f(x•T)二f(x)恒成立,
则称函数f(x)具有周期性,T叫做f(x)的一个周期,则kT(k・Z,k=O)也是f(x)的
周期,所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期。
分段函数的周期:
设y二f(x)是周期函数,在任意一个周期内的图像为C:
y二f(x),
x・a,b,T=b-a。
把y=f(x)沿x轴平移KT=K(b-a)个单位即按向量
a二(kT,O)平移,即得y二f(x)在其他周期的图像:
y=f(x—kT),xkTa,kT-bL
f;f(x)xw]a,b]
xf(x—kT)x壬kT+a,kT+b】
2、奇偶函数:
设y=f(x),xa,b或xLb,-ala,b1
1若f(-x)f(x),则称y=f(x)为奇函数;
2若f(_x)=f(x)则称y二f(x)为偶函数。
分段函数的奇偶性
3、函数的对称性:
(1)中心对称即点对称:
1点A(x,y)与B(2a-x,2b-y)关于点(a,b)对称;
2点A(a-x,b-y)与B(ax,by)关于(a,b)对称;
3函数y二f(x)与2b-y二f(2a-x)关于点(a,b)成中心对称;
4函数b-y=f(a-x)与b■y=f(a-x)关于点(a,b)成中心对称;
5函数F(x,y)0与F(2a-x,2b-y)=0关于点(a,b)成中心对称。
(2)轴对称:
对称轴方程为:
AxBy0。
1点A(x,y)与B(x/,/)=B(x-"空%C),y-2B(A;粤C))关于
a2+b2a2+b2
直线AxBy^0成轴对称;
2函数…(x)与一2驚¥。
十"«。
)关于直线
AxByC=0成轴对称。
3
AB2
F(x,y)=0与F(x_经A二二9,y_2B(AX+B罗C))=o关于直线
2A2B2
Ax•By•C=0成轴对称。
、函数对称性的几个重要结论
(一)函数y=f(x)图象本身的对称性(自身对称)
若f(xa^_f(xb),则f(x)具有周期性;
若f(a・x)=:
「f(b-x),则f(x)具有对称性:
“内同表示周期性,内反表示对称性”。
1、f(a+x)=f(b—x)uy=f(x)图象关于直线x=laZxLL(b_x)=a£b对称
22
推论1:
f(a•x)=f(a-x)=y=f(x)的图象关于直线x=a对称
推论2、f(x)=f(2a-x)=y=f(x)的图象关于直线x=a对称
推论3、f(-x)二f(2a•x):
=y=f(x)的图象关于直线x=a对称
2、f(a+x)+f(b—x)=2c二y=f(x)的图象关于点(兰匕c)对称
2
推论1、f(a•x)•f(a-x)=2b:
=y=f(x)的图象关于点(a,b)对称
推论2、f(x)•f(2a-x)=2b:
=y=f(x)的图象关于点(a,b)对称
推论3、f(-x)•f(2a•x)=2b=y=f(x)的图象关于点(a,b)对称
(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)
1、偶函数y=f(x)与y=f(-x)图象关于Y轴对称
2、奇函数y=f(x)与y二-f(-x)图象关于原点对称函数
3、函数y=f(x)与y--f(x)图象关于X轴对称
4、互为反函数y二f(x)与函数y二f'(x)图象关于直线y=x对称
5、函数y=f(a+x)与y=f(b—x)图象关于直线x=~—~对称
推论1:
函数y=f(ax)与y=f(a-x)图象关于直线x=0对称
推论2:
函数y=f(x)与y=f(2a_x)图象关于直线x=a对称
推论3:
函数y=f(_x)与y=f(2ax)图象关于直线x=_a对称
(三)抽象函数的对称性与周期性
1、抽象函数的对称性
性质1若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称,则以下三个式子成立且等价:
(1)f(a+x)=f(a—x)
(2)f(2a—x)=f(x)
(3)f(2a+x)=f(—x)
性质2若函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成立且等价:
(1)f(a+x)=—f(a—x)
(2)f(2a—x)=—f(x)
(3)f(2a+x)=—f(—x)
易知,y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当a=0时的特例。
2、复合函数的奇偶性
定义1、若对于定义域内的任一变量x,均有f[g(—x)]=f[g(x)],则复数函数y=f[g(x)]为偶函数。
定义2、若对于定义域内的任一变量x,均有f[g(—x)]=—f[g(x)],则复合函数y=f[g(x)]为奇函数。
说明:
(1)复数函数f[g(x)]为偶函数,则f[g(—x)]=f[g(x)]而不是f[—g(x)]二f[g(x)],复合函数y二f[g(x)]为奇函数,则f[g(—x)]二一f[g(x)]而不是f[—g(x)]=—f[g(x)]。
(2)两个特例:
y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(—x+a);
y=f(x+a)为奇函数,贝Uf(—x+a)=—f(a+x)
(3)y二f(x+a)为偶(或奇)函数,等价于单层函数y二f(x)关于直线x=a轴对称(或关于点(a,0)中心对称)
3、复合函数的对称性
性质3复合函数y=f(a+x)与y=f(b—x)关于直线x=(b—a)/2轴对称性质4、复合函数y=f(a+x)与y=—f(b—x)关于点((b—a)/2,0)中心对称
推论1、复合函数y=f(a+x)与y=f(a—x)关于y轴轴对称推论2、复合函数y=f(a+x)与y=—f(a—x)关于原点中心对称
4、函数的周期性
若a是非零常数,若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y二f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。
1f(x+a)=f(x—a)
2f(x+a)=—f(x)
3f(x+a)=1/f(x)
4f(x+a)=—1/f(x)
5、函数的对称性与周期性
性质5若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,贝U函数f(x)必为周期函数,且T=2|a—b|
性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a—b|
性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线x=b轴对称,贝U函数f(x)必为周期函数,且T=4|a—b|
6、函数对称性的应用
(1)若y=f(x)关于点(h,k)对称,则x•X,=2h,y•y/=2k,即
f(x)f(x,)=f(x)f(2h_x)=2k
f(x1)f(x2)讦…什f(xn)f(2h-xn)f(2h-xn」)川…懸f(2h-%)=2nk
(2)例题
、奇函数的图像关于原点(0,0)对称:
f(x)•f(-x)=0。
称。
设
f(x)=0有n个不同的实数根,则
、若f(x)=f(2a-x)或f(a-x)=f(a-x),则y=f(x)的图像关于直线x=a对
捲X2亠亠Xn=X1(2a-xjX2(2a-X2)亠亠Xn(2a-Xn)=na.
22
(当n=2k•1时,必有X1=2a-X1,=捲=a)
(四)常用函数的对称性
三、函数周期性的几个重要结论
f(xT)=f(x)(T=0)二y=f(x)的周期为T,kT(k・Z)也是函数的周期
2、f(xa)=f(xb)=y=f(x)的周期为T=b-a
3、f(xa)--f(x)=y=f(x)的周期为T=2a
10、若p>0,f(px)=f(px-"P),贝则T
11、
=f(x)有两条对称轴x=a和x=b(b・a)=y=f(x)周期T=2(b-a)
推论:
偶函数y=f(x)满足f(a•x)=f(a-x):
=y=f(x)周期T=2a
y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心
(b,0)(ba)=
f(x)的T=4(b-a)
推论:
奇函数y=f(x)满足f(a•x)二f(a「x):
=y=f(x)周期T=4a
四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性,可巧妙的解答某些数学问题,它对训练学生分
析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。
1.求函数值
例1.(1996年高考题)设f(x)是上的奇函数,f(2•X)--f(x),当
0乞X乞1时,f(x)二x,贝Uf(7.5)等于(-0.5)
(A)0.5;(B)-0.5;(C)1.5;(D)-1.5.
例2.(1989年北京市中学生数学竞赛题)已知f(x)是定义在实数集上的函数,且
f(x2)1-f(x)丨-1f(x),f
(1)=2、、3,求f(1989)的值.f(1989)3-2。
2、比较函数值大小
1
104
)、MM的大小.
1解:
幕f(x)(x.R)是以2为周期的偶函数,又■f(x^x^
c11614
0叮
171915
16、”」叫
11614
:
1,f(17^:
f(19^:
f(15),即f(17
1915
在011上是增函数,且
(討聲
例3.若f(x)(x・R)是以2为周期的偶函数,当x10,11时,f(x)=x1998,试比较
98101
怙、P
3、求函数解析式
例4.(1989年高考题)设f(x)是定义在区间(-:
:
,=)上且以2为周期的函数,对
k•Z,用Ik表示区间(2k-1,2k-1),已知当x・I。
时,f(x)=x2.求f(x)在人上的解
析式•
解:
设x(2k-1,2k1),.2k一1:
:
:
x:
:
:
2k1=-1:
:
:
x_2k:
:
:
1
22
xIo时,有f(x)=x,.由-1:
:
:
x-2k:
:
1得f(x_2k)=(x_2k)
f(x)是以2为周期的函数,.f(x-2k)=f(x),.f(x)=(x-2k)2.
例5•设f(x)是定义在(」:
,=)上以2为周期的周期函数,且f(x)是偶函数,在区
间2,3上,f(x)二―2(x-3)2•4.求1,21时,f(x)的解析式•
解:
当x•1-3,-21,即卩—x•2,31,
22
f(x)=f(-x)二―2(-x-3)4=—2(x3)4
又f(x)是以2为周期的周期函数,于是当1,2〕,即卩-3乞x-4乞-2时,
有f(x)=f(x-4)
=f(x)--2(x-4)3】24--2(x-1)24(仁x乞2).
2
.f(x)二-2(x-1)4(1_x_2).
4、判断函数奇偶性
例6.已知f(x)的周期为4,且等式f(2,x)二f(2-x)对任意R均成立,判断函数f(x)的奇偶性.
解:
由f(x)的周期为4,得f(x^f(4x),由f(2•x)=f(2-x)得
f(-x)=f(4x),-f(-X)=f(x),故f(x)为偶函数.
5、确定函数图象与x轴交点的个数
例7.设函数f(x)对任意实数x满足f(2•x)二f(2—x),f(7x)=f(7-x)且f(0)二0,判断函数f(x)图象在区间I-30,301上与x轴至少有多少个交点
解:
由题设知函数f(x)图象关于直线X=2和x二7对称,又由函数的性质得
f(x)是以10为周期的函数•在一个周期区间0,10上,
f(0)=0,f(4)=f(22)=f(2-2)=f(0)=0且f(x)不能恒为零,
故f(x)图象与x轴至少有2个交点.
而区间1-30,30有6个周期,故在闭区间1-30,30上f(x)图象与x轴至少有13个交占
八、、-
6、在数列中的应用
例8.在数列乩[中,ai二3,an=1*」(n_2),求数列的通项公式,并计算
1-an_L
a1a5a^a1997■
分析:
此题的思路与例2思路类似.
“人1+a11+tga兀
解:
令a1=tg:
•,则a2-tg()
a3二
1a2
1-a?
二tg(2
1-tg(4-:
)
1—玄11—tg僅4
1ani■:
an4-tg(n-1):
,于是务二n‘二tg(n-1):
-41_anJ-4
nn
不难用归纳法证明数列的通项为:
an二tg(4n•—亠很),且以4为周期.
于是有1,5,9…1997是以4为公差的等差数列,
a1-a^-a^-—a1997,由1997-1(n-1)4得总项数为500叽
da5a9■a1997=500a^5003.
7、在二项式中的应用
例9.今天是星期三,试求今天后的第9292天是星期几?
分析:
转化为二项式的展开式后,利用一周为七天这个循环数来进行计算即可
解:
丁9292=(91+1)92=c929192+c929191f十。
畧9129+1
.9292=(7131)92二C2(713)92C;2(713)91C92°(713)2
+C;2(7x13)+1
因为展开式中前92项中均有7这个因子,最后一项为1,即为余数,
故92天为星期四.
8复数中的应用
例10.(上海市1994年高考题)设z=-丄•二i(i是虚数单位),则满足等式z"=乙
22
且大于1的正整数n中最小的是
(A)3;(B)4;(C)6;(D)7.
、一1
分析:
运用z二…i方幕的周期性求值即可.
22
解:
幕zn二z,.z(zn」-1)=0=zn」=1,
•Z3=1,.n-1必须是3的倍数,即n-1=3k(kN),
.n=3k1(kN).
.k=1时,n最小,.(n)min=4•故选择(B)
9、解“立几”题
例11.ABCD-A1B1C1D1是单位长方体,黑白二蚁都从点A出发,沿棱向前爬行,每走
一条棱称为“走完一段”。
白蚁爬行的路线是AA—;A1D1—;…,黑蚁爬行的路线是
AB>BB^.它们都遵循如下规则:
所爬行的第i'2段所在直线与第i段所在直线必
须是异面直线(其中rN).设黑白二蚁走完第1990段后,各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白蚁的距离是
(A)1;(B)2;(C).3;(D)0.
解:
依条件列出白蚁的路线AA^—A,D^—D1C^—C1^—CB—
BA>AA^,立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知:
黑白二蚁走
完六段后必回到起点,可以判断每六段是一个周期
1990=63314,因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置,不难计算出
在走完四段后黑蚁在Di点,白蚁在C点,故所求距离是迈.
例题与应用
例1:
f(x)是R上的奇函数f(x)=—f(x+4),x€[0,2]时f(x)=x,求f(2007)的值
例2:
已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)[1—f(x)]=1+f(x),f
(1)=2,求
f(2009)的值。
故f(2009)=f(251X8+1)=f
(1)=2
例3:
已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)=f(4-x),且当XL2,01时,f(x)=—
2x+1,则当X三4,61时求f(x)的解析式
1
例4:
已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+999)=,f(999+x)=f(999—x),
f(x)
试判断函数f(x)的奇偶性•
例5:
已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)=f(4-x),且当1-2,0]时,f(x)是减
函数,求证当4,61时f(x)为增函数
例6:
f(x)满足f(x)=-f(6-x),f(x)=f(2-x),若f(a)=-f(2000),a€[5,9]且f(x)
在[5,9]上单调.求a的值.
例7:
已知f(x)是定义在R上的函数,f(x)=f(4—x),f(7+x)=f(7—x),f(0)=0,
求在区间[—1000,1000]上f(x)=0至少有几个根?
解:
依题意f(x)关于x=2,x=7对称,类比命题2
(2)可知f(x)的一个周期是10
故f(x+10)=f(x)/•f(10)=f(0)=0又f(4)=f(0)=0
即在区间(0,10]上,方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数,每个周期上至少有两个根,因此方程f(x)=0在区间[—1000,1000]上至少有1+^-2000=401个根
10■
例1、函数y=f(x)是定义在实数集R上的函数,那么y=—f(x+4)与y=f(6—x)的图象之间(D)
A.关于直线x=5对称B.关于直线x=1对称
C.关于点(5,0)对称D.关于点(1,0)对称解:
据复合函数的对称性知函数y=—f(x+4)与y=f(6—x)之间关于
点((6—4)/2,0)即(1,0)中心对称,故选D。
(原卷错选为C)例2、设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于x=1对称,证明f(x)是周期函数。
(2001年理工类第22题)
例3、设f(x)是(—%,+x)上的奇函数,f(x+2)=—f(x),当0Wxwi
时f(x)=x,则f(7.5)等于(-0.5)(1996年理工类第15题)
例4、设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(10+x)=f(10—x),f(20—x)二—f(20+x),则f(x)是(C)
A.偶函数,又是周期函数B.偶函数,但不是周期函数
C.奇函数,又是周期函数D.奇函数,但不是周期函数
六、巩固练习
1、函数y=f(x)是定义在实数集R上的函数,那么y=—f(x+4)与y=
f(6—x)的图象()。
A.关于直线x=5对称
C.关于点(5,0)对称
2、设f(x)是(—8,+^)上的奇函数,f(x)=x,则f(7.5)=()。
A.0.5B.—0.5
B.关于直线x=1对称
D.关于点(1,0)对称
f(x+2)=—f(x),当0Wxwi时,
C.1.5D.—1.5
3、设f(x)是定义在(—8,+8)上的函数,且满足f(10+x)=f(10—x),
f(20—x)=—f(20+x),贝Uf(x)是()。
A偶函数,又是周期函数B.偶函数,但不是周期函数
C.奇函数,又是周期函数D.奇函数,但不是周期函数
4、f(x)是定义在R上的偶函数,图象关于x=1对称,证明f(x)是周期函数。
参考答案:
D,B,C,T=2。
5、在数列{Xn}中,已知X1=X2=1,Xn・2=Xn1-Xn(n,N*),求X100=-1.
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