高二阶段考试数学试题 含答案.docx
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高二阶段考试数学试题含答案
2021年高二5月阶段考试数学试题含答案
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.命题“,”的否定是▲.
2.设复数满足(为虚数单位),则的实部为▲.
3.某校高一年级有400人,高二年级有600人,高三年级有500人,现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出100名学生进行问卷调查,那么抽出的样本中高二年级的学生人数为▲.
4.“”是“”的▲条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空).
5.一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球,从中任取两个球,则所取的两个球不同色的概率为▲.
6.根据如图所示的伪代码,可知输出的S的值为▲.
7.在平面直角坐标系中,已知中心在坐标原点的双曲线经过点,且它的右焦点与抛物线的焦点相同,则该双曲线的标准方程
为▲.
8.已知点在不等式组所表示
的平面区域内,则的最大值为▲.
9.已知,,,….,
类比这些等式,若(均为正实数),则=▲.
10.(理科学生做)已知展开式中所有项的二项式系数和为32,则其展开式中的常数项为▲.
(文科学生做)已知平面向量满足,,,则向量夹角的余弦值为▲.
11.(理科学生做)现从8名学生中选出4人去参加一项活动,若甲、乙两名同学不能同时入选,则共有▲种不同的选派方案.(用数字作答)
(文科学生做)设函数是奇函数,则实数的值为▲.
12.设正实数满足,则当取得最大值时,的值为
▲.
13.若函数在上单调递增,则实数的取值范围是▲.
14.设点为函数与图象的公共点,以为切点可作直线与两曲线都相切,则实数的最大值为▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
(理科学生做)设某地区型血的人数占总人口数的比为,现从中随机抽取3人.
(1)求3人中恰有2人为型血的概率;
(2)记型血的人数为,求的概率分布与数学期望.
(文科学生做)给定两个命题,:
对任意实数都有恒成立;:
.如果为真命题,为假命题,求实数的取值范围.
16.(本小题满分14分)
(理科学生做)设数列满足,.
(1)求;
(2)先猜想出的一个通项公式,再用数学归纳法证明你的猜想.
(文科学生做)已知函数()的一段图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调增区间;
(3)若,求函数的值域.
17.(本小题满分14分)
(理科学生做)如图,在直三棱柱中,,分别是的中点,且.
(1)求直线与所成角的大小;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(文科学生做)设函数.
(1)用反证法证明:
函数不可能为偶函数;
(2)求证:
函数在上单调递减的充要条件是.
18.(本小题满分16分)
如图所示,某人想制造一个支架,它由四根金属杆构成,其底端三点均匀地固定在半径为的圆上(圆在地面上),三点相异且共线,与地面垂直.现要求点到地面的距离恰为,记用料总长为,设.
(1)试将表示为的函数,并注明定义域;
(2)当的正弦值是多少时,用料最省?
19.(本小题满分16分)
如图所示,在平面直角坐标系中,设椭圆,其中,过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和,且满足,,其中为正常数.当点恰为椭圆的右顶点时,对应的.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求与的值;
(3)当变化时,是否为定值?
若是,请求出此定值;
若不是,请说明理由.
20.(本小题满分16分)
设函数.
(1)当时,求函数的极大值;
(2)若函数的图象与函数的图象有三个不同的交点,求的取值范围;
(3)设,当时,求函数的单调减区间.
建湖县第二中学高二数学独立练习参考答案
时间:
120分钟xx.05.21
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.命题“,”的否定是▲.
【知识点】命题的否定’
【答案解析】解析:
解:
∵命题“,”是特称命题,∴否定命题为:
.
故答案为:
.
【思路点拨】由于命题是一个特称命题,故其否定是全称命题,根据特称命题的否定的格式即可.
2.设复数满足(为虚数单位),则的实部为▲.
【知识点】复数代数形式的混合运算;复数的基本概念.
【答案解析】1解析:
解:
由,得,
则的实部为1.
故答案为:
1.
【思路点拨】由,两边除以,按照复数除法运算法则化简计算.
3.某校高一年级有400人,高二年级有600人,高三年级有500人,现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出100名学生进行问卷调查,那么抽出的样本中高二年级的学生人数为▲.
【知识点】分层抽样的方法.
【答案解析】40解析:
解:
设从高二学生中抽取的人数应为x,根据分层抽样的定义和方法可得,解得x=40,
故答案为40.
【思路点拨】设从高二学生中抽取的人数应为x,根据分层抽样的定义和方法可得,由此求得x的值,即为所求.
4.“”是“”的▲条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空).
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【答案解析】充分不必要解析:
解:
由,得x>2或x<-2.即q:
x>2或x<-2.∴是的充分不必要条件,
故答案为:
充分不必要.
【思路点拨】求出成立的条件,根据充分条件和必要条件的定义进行判断.
5.一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球,从中任取两个球,则所取的两个球不同色的概率为▲.
【知识点】古典概型及其概率计算公式.
【答案解析】解析:
解:
∵总个数,
∵事件A中包含的基本事件的个数,∴p=
故答案为:
.
【思路点拨】算出基本事件的总个数n=C42=6,再算出事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3,算出事件A的概率,即P(A)=即可.
6.根据如图所示的伪代码,可知输出的S的值为▲.
【知识点】伪代码.
【答案解析】21解析:
解:
由题意,第一次循环,i=3,S=2×3+3=9;第二次循环,i=5,S=2×5+3=13;第三次循环,i=7,S=2×7+3=17;第四次循环,i=9,S=2×9+3=21,退出循环
故答案为:
21
【思路点拨】第一次循环,i=3,S=2×3+3=9;第二次循环,i=5,S=2×5+3=13;第三次循环,i=7,S=2×7+3=17;第四次循环,i=9,S=2×9+3=21,退出循环,故可得结论.
7.在平面直角坐标系中,已知中心在坐标原点的双曲线经过点,且它的右焦点与抛物线的焦点相同,则该双曲线的标准方程
为▲.
【知识点】抛物线、双曲线方程.
【答案解析】解析:
解:
抛物线的焦点坐标为(2,0),则双曲线的右焦点(2,0),所以,
设双曲线方程为代入点(1,0),可得,即,.
∴双曲线的方程为.
故答案为:
.
【思路点拨】求出抛物线的焦点坐标,可得双曲线的一个顶点,设出双曲线方程,代入点的坐标,即可求出双曲线的方程.
8.已知点在不等式组所表示的平面区域内,则的最大值为▲.
【知识点】简单线性规划.
【答案解析】6解析:
解:
P(x,y)在不等式组表示的平面区域内,如图:
所以z=2x+y的经过A即的交点(2,2)时取得最大值:
2×2+2=6.
故答案为:
6.
【思路点拨】画出约束条件表示的可行域,确定目标函数经过的位置,求出最大值即可.
9.已知,,,….,类比这些等式,若(均为正实数),则=▲.
【知识点】类比推理.
【答案解析】41解析:
解:
观察下列等式,,,….,第n个应该是=
则第5个等式中:
a=6,b=a2-1=35,a+b=41.
故答案为:
41.
【思路点拨】根据观察所给的等式,归纳出第n个式子,即可写出结果.
10.(理科学生做)已知展开式中所有项的二项式系数和为32,则其展开式中的常数项为▲.
【知识点】二项式定理.
【答案解析】解析:
解:
因为展开式中所有项的二项式系数和为:
,解得,由二项式展开式
整理得:
,所以,故,则其展开式中的常数项为:
.
故答案为:
.
【思路点拨】先由所有项的二项式系数和求出,然后欲求展开式中的常数项,则令x的指数可求得结果.
(文科学生做)已知平面向量满足,,,则向量夹角的余弦值为▲.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角.
【答案解析】解析:
解:
设向量的夹角为;因为,平方变形得:
,解得:
,所以.
故答案为:
.
【思路点拨】先设出其夹角,根据已知条件整理出关于夹角的等式,解方程即可.
11.(理科学生做)现从8名学生中选出4人去参加一项活动,若甲、乙两名同学不能同时入选,则共有▲种不同的选派方案.(用数字作答)
【知识点】排列组合及简单计数问题.
【答案解析】55解析:
解:
从8名学生中选出4人,共有种选法,
其中甲乙同时参加的有种选法,
所以从8名学生中选出4人,甲乙不同时参加的选法有70-15=55种,
故答案为55.
【思路点拨】所有选法共有种,减去甲乙同时参加的情况种即可.
(文科学生做)设函数是奇函数,则实数的值为▲.
【知识点】奇函数的定义.
【答案解析】解析:
解:
因为函数,所以,
又因为函数是奇函数,所以,即,解得,
故答案为:
.
【思路点拨】利用奇函数的定义解方程即可.
12.设正实数满足,则当取得最大值时,的值为▲.
【知识点】基本不等式.
【答案解析】3解析:
解:
因为为正实数,且,则,所以
,当且仅当时等号成立,此时=3.
故答案为3.
【思路点拨】把原式整理代入并判断出等号成立的条件即可.
13.若函数在上单调递增,则实数的取值范围是▲.
【知识点】函数的单调性;不等式恒成立问题.
【答案解析】解析:
解:
因为在上单调递增,即
在上恒成立,令,即
在上恒成立,故,则.
故答案为:
.
【思路点拨】先利用函数的单调性转化为不等式恒成立问题,然后求解即可.
14.设点为函数与图象的公共点,以为切点可作直线与两曲线都相切,则实数的最大值为▲.
【知识点】导数的几何意义;利用导数求最大值.
【答案解析】解析:
解:
设点坐标为,则有,因为以为切点可作直线与两曲线都相切,所以,即
或由,故,此时;所以点坐标为,代入整理得:
,,令,即,得,可判断当时有极大值也是最大值,,
故答案为:
.
【思路点拨】设点坐标为满足两个函数解析式成立,再借助于斜率相同可解得a,代入函数,最后利用导数求最大值即可.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
(理科学生做)设某地区型血的人数占总人口数的比为,现从中随机抽取3人.
(1)求3人中恰有2人为型血的概率;
(2)记型血的人数为,求的概率分布与数学期望.
【知识点】n次独立重复试验恰有k次发生的概率;分布列;期望.
【答案解析】
(1)
(2)
解析:
解:
(1)由题意,随机抽取一人,是型血的概率为,…………2分
3人中有2人为型血的概率为.…………6分
(2)的可能取值为0,1,2,3,…………8分
,,,
,…………12分
.…………14分
【思路点拨】
(1)代入n次独立重复试验恰有k次发生的概率的公式即可;
(2)根据n次独立重复试验恰有k次发生的概率的公式依次求出为0,1,2,3,时的概率,最后求出期望值.
(文科学生做)给定两个命题,:
对任意实数都有恒成立;:
.如果为真命题,为假命题,求实数的取值范围.
试题解析:
解:
命题:
ax2+ax+1>0恒成立
当a=0时,不等式恒成立,满足题意)
当a≠0时,,解得0<a<4
∴0≤a<4
命题:
a2+8a﹣20<0解得﹣10<a<2
∵为真命题,为假命题∴有且只有一个为真,
当真假时得
当假真时得
所以﹣10<a<0或2≤a<4
16.(本小题满分14分)
(理科学生做)设数列满足,.
(1)求;
(2)先猜想出的一个通项公式,再用数学归纳法证明你的猜想.
【知识点】数学归纳法;归纳推理.
【答案解析】
(1)
(2),证明见解析.
解析:
解:
(1)由条件,依次得,
,,…………6分
(2)由
(1),猜想.…………7分
下用数学归纳法证明之:
①当时,,猜想成立;………8分
②假设当时,猜想成立,即有,…………9分
则当时,有
,
即当时猜想也成立,…………13分
综合①②知,数列通项公式为.…………14分
【思路点拨】
(1)直接利用已知关系式,通过n=1,2,3,4,求出a2,a3,a4;
(2)利用
(1)猜想数列的通项公式,利用数学归纳法证明的步骤证明即可.(文科学生做)已知函数()的一段图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调增区间;
(3)若,求函数的值域.
(1)由题意知:
,∴,
又,∴,
,又,∴.
∴函数的解析式:
.
(2)由,,得,
所以的增区间为,,
(3)∵,∴,
∴.
∴值域为
17.(本小题满分14分)
(理科学生做)如图,在直三棱柱中,,分别是的中点,且.
(1)求直线与所成角的大小;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【知识点】异面直线所成的角;直线与平面所成的角.
【答案解析】
(1)
(2)
解析:
解:
分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则由题意可得:
,,,,,
又分别是的中点,,.…………3分
(1)因为,,
所以
,…………7分
直线与所成角的大小为.…………8分
(2)设平面的一个法向量为,由,得,
可取,…………10分
又,所以
,……13分
直线与平面所成角的正弦值为.…………14分
【思路点拨】
(1)分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则由题意可得,,然后利用向量的夹角公式计算可得结果;
(2)找出两个半平面的法向量后利用向量的夹角公式计算即可.
(文科学生做)设函数.
(1)用反证法证明:
函数不可能为偶函数;
(2)求证:
函数在上单调递减的充要条件是.
【知识点】反证法与放缩法;必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【答案解析】
(1)见解析
(2)见解析
解析:
解:
(1)假设函数是偶函数,…………2分
则,即,解得,…………4分
这与矛盾,所以函数不可能是偶函数.…………6分
(2)因为,所以.…………8分
①充分性:
当时,,
所以函数在单调递减;…………10分
②必要性:
当函数在单调递减时,
有,即,又,所以.…………13分
综合①②知,原命题成立.…………14分
【思路点拨】
(1)假设函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),代入利用对数的性质,可得矛盾,即可得证;
(2)分充分性、必要性进行论证,即可得到结论.
18.(本小题满分16分)
如图所示,某人想制造一个支架,它由四根金属杆构成,其底端三点均匀地固定在半径为的圆上(圆在地面上),三点相异且共线,与地面垂直.现要求点到地面的距离恰为,记用料总长为,设.
(1)试将表示为的函数,并注明定义域;
(2)当的正弦值是多少时,用料最省?
【知识点】函数解析式与定义域的求法;利用导数求函数的最知.
【答案解析】
(1),.
(2)时用料最省.
解析:
解:
(1)因与地面垂直,且,
则是
全等的直角三角形,又圆的半径为3,
所以,,…………3分
又,所以,…………6分
若点重合,则,即,所以,
从而,.…………7分
(2)由
(1)知
,
所以,当时,,…………11分
令,,当时,;当时,;
所以函数L在上单调递减,在上单调递增,…………15分
所以当,即时,L有最小值,此时用料最省.…………16分
【思路点拨】
(1)通过图形分别求出的值,然后写出解析式并注明定义域即可;
(2)利用导数结合单调性即可求出最值.
19.(本小题满分16分)
如图所示,在平面直角坐标系中,设椭圆,其中,过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和,且满足,,其中为正常数.当点恰为椭圆的右顶点时,对应的.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求与的值;
(3)当变化时,是否为定值?
若是,请求出此定值;
若不是,请说明理由.
【知识点】椭圆的性质;椭圆的标准方程;根与系数的关系.
【答案解析】
(1)
(2)(3)为定值.
解析:
解:
(1)因为,所以,得,即,
所以离心率.………4分
(2)因为,,所以由,得,………7分
将它代入到椭圆方程中,得,解得,
所以.………10分
(3)法一:
设,
由,得,………12分
又椭圆的方程为,所以由,
得①,且②,
由②得,
,
即
,
结合①,得,………14分
同理,有,所以,
从而,即为定值.………16分
法二:
设,
由,得,同理,……12分
将坐标代入椭圆方程得,两式相减得
,
即,……14分
同理,,
而,所以,
所以,
所以
,
即,所以为定值.………16分
【思路点拨】
(1)根据椭圆的性质求出a,c的关系式即可;
(2)由得代入到椭圆方程中即可得结果;
(3)设,由,得到点坐标间的关系,再将将坐标代入椭圆方程后两式相减,再利用即可.
20.(本小题满分16分)
设函数.
(1)当时,求函数的极大值;
(2)若函数的图象与函数的图象有三个不同的交点,求的取值范围;
(3)设,当时,求函数的单调减区间.
【知识点】利用导数求极值;借助导数求范围;利用导数求单调区间.
【答案解析】
(1)极大值为5.
(2);
(3)①当时,函数的单调减区间为;②当时,函数的单调减区间为,;
③当时,函数的单调减区间为,,.
解析:
解:
(1)当时,由=0,得或,………2分
列表如下:
-1
3
+
0
-
0
+
递增
极大
递减
极小
递增
所以当时,函数取得极大值为5.………4分
(2)由,得,即,………6分
令,则,
列表,得
1
-
0
+
0
-
递减
极小值
递增
极大值2
递减
………8分
由题意知,方程有三个不同的根,故的取值范围是.………10分
(3)因为,
所以当时,在R上单调递增;
当时,的两根为,且,
所以此时在上递增,在上递减,在上递增;………12分
令,得,或(),
当时,方程()无实根或有相等实根;当时,方程()有两根,
………13分
从而
①当时,函数的单调减区间为;………14分
②当时,函数的单调减区间为,;……15分
③当时,函数的单调减区间为,,.………16分
【思路点拨】
(1)当时,求出原函数的导数,找到极值点列表求出极大值;
(2)原式变型为,令,然后通过列表找到a的取值范围;(3)对a进行分类讨论即可.
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