两角和与差的三角函数二倍角公式.docx
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两角和与差的三角函数二倍角公式
第20讲 两角和与差的三角函数、二倍角公式
考试要求 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及联系(C级要求);二倍角的正弦、余弦、正切公式(B级要求);2.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换(C级要求).
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( )
(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.( )
(3)公式tan(α+β)=可以变形为tanα+tanβ
=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.( )
(4)存在实数α,使tan2α=2tanα.( )
解析 (3)变形可以,但不是对任意的α,β都成立,α,β,α+β≠+kπ,k∈Z.
答案
(1)√
(2)√ (3)× (4)√
2.(2017·山东卷改编)已知cosx=,则cos2x=________.
解析 由cosx=得cos2x=2cos2x-1=2×-1=.
答案
3.(2017·江苏卷)若tan(α-)=,则tanα=________.
解析 tanα=tan===.
答案
4.(2018·苏、锡、常、镇调研)已知α是第二象限角,且sinα=,tan(α+β)=-2,则tanβ=________.
解析 由α是第二象限角,且sinα=,
得cosα=-,tanα=-3,
所以tanβ=tan(α+β-α)===.
答案
5.(必修4P109习题4改编)sin347°cos148°+sin77°·cos58°=________.
解析 sin347°cos148°+sin77°cos58°
=sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin77°cos58°
=(-cos77°)·(-sin58°)+sin77°cos58°
=sin58°cos77°+cos58°sin77°
=sin(58°+77°)=sin135°=.
答案
知识梳理
1.两角和与差的三角函数公式
sin(α±β)=sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α∓β)=cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)=.
2.二倍角公式
sin2α=2sin__αcos__α.
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
tan2α=.
注意:
①在二倍角的正切公式中,角α是有限制条件的,即α≠kπ+,且α≠+(k∈Z).
②“倍角”的意义是相对的,如4α是2α的二倍角,α是的二倍角.
3.有关公式的逆用、变形等
(1)tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tan__αtan__β).
(2)cos2α=,sin2α=.
(3)1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2,
sinα±cosα=sin.
4.函数f(α)=asinα+bcosα(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=·cos(α-φ).
考点一 公式的正向、逆向使用
【例1】
(1)(一题多解)(2015·江苏卷)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为________.
(2)(2016·四川卷)cos2-sin2=________.
解析
(1)法一 ∵tanα=-2,
∴tan(α+β)===,
解得tanβ=3.
法二 tanβ=tan[(α+β)-α]
====3.
(2)由二倍角公式得cos2-sin2=cos=.
答案
(1)3
(2)
规律方法 两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的正向使用(从左往右使用)、逆向使用(从右往左使用)是本节的基础,要从角度联系、结构特征发现问题中隐含的公式特征,选择使用公式解决问题;特别要注意“尽量用已知角表示未知角”的思想方法的应用.
【训练1】
(1)(2017·课标全国Ⅰ卷)已知α∈,tanα=2,则cos=________.
(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)sin20°cos10°-cos160°sin10°=________.
解析
(1)因为α∈,且tanα==2,所以sinα=2cosα,又
sin2α+cos2α=1,所以sinα=,cosα=,则cos=
cosαcos+sinαsin=×+×=.
(2)sin20°cos10°-cos160°sin10°=
sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=.
答案
(1)
(2)
考点二 公式的变形、灵活使用
【例2】
(1)(2017·广州调研)已知sinα+cosα=,则sin2=________.
(2)(2017·江苏四校联考)已知tan(α+β)=2,tan(α-β)=3,则的值为________.
(3)(2017·如东中学调研)已知α为锐角,若sin=,则cos=________.
解析
(1)由sinα+cosα=两边平方得1+sin2α=,解得sin2α=-,所以sin2====.
(2)=
=
=.
将tan(α+β)=2,tan(α-β)=3代入,得原式==.
(3)由sin=,可得cos=±,
当cos=-时,cosα=cos=<0,与α是锐角矛盾,所以cos=,
从而cos=cos
=2sin·cos=2××=.
答案
(1)
(2) (3)
规律方法 两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点:
(1)不仅对公式的正用逆用要熟悉,而且对公式的变形应用也要熟悉;
(2)善于拆角、拼角,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),2α+β=(α+β)+α等;
(3)注意倍角的相对性,如α=2×等;
(4)要时时注意角的范围;
(5)熟悉常用的方法与技巧,如切化弦,异名化同名,异角化同角等.
【训练2】
(1)(1+tan17°)(1+tan28°)的值是________.
(2)(2018·四川泸州四诊)已知sin=,则cos=________.
解析
(1)原式=1+tan17°+tan28°+tan17°·tan28°
=1+tan45°(1-tan17°·tan28°)+tan17°·tan28°
=1+1=2.
(2)由题意:
sin=sin=cos=,
则cos=cos2=2cos2-1=-.
答案
(1)2
(2)-
考点三 三角函数式的化简与求值(多维探究)
命题角度1 三角函数式的化简
【例3-1】化简:
(0<α<π)=________.
解析 原式=
==.
因为0<α<π,所以0<<,所以cos>0,所以原式=cosα.
答案 cosα
命题角度2 给值求值
【例3-2】(一题多解)(2017·苏州一模)若2tanα=3tan,则tan=________.
解析 法一 tan===
==.
法二 由tan=1,解得tan=-1,
所以tan===.
答案
命题角度3 给角求值
【例3-3】[2sin50°+sin10°(1+tan10°)]·=________.
解析 原式=·
sin80°=(2sin50°+2sin10°·)·
cos10°=2[sin50°·cos10°+sin10°·cos(60°-10°)]
=2sin(50°+10°)=2×=.
答案
命题角度4 给值求角
【例3-4】(2018·常州一模)满足等式cos2x-1=3cosx(x∈[0,π])的x的值为________.
解析 将方程化为2cos2x-3cosx-2=0,解得cosx=-或cosx=2(舍去).因为x∈[0,π],所以x=.
答案
规律方法 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则:
一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦”;三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.
2.三角函数求值有三种类型:
(1)给角求值:
关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值:
关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般有如下两种思路;①适当变换已知式,进而求得待求式的值;②变换待求式,便于将已知式的值代入,从而达到解题的目的.
(3)给值求角:
实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,进而确定角.
【训练3】
(1)化简:
=________.
(2)(2016·课标Ⅲ卷改编)若tanα=,则cos2α+2sin2α=________.
(3)已知cosα=,cos(α-β)=(0<β<α<),则tan2α=________,β=________.
解析
(1)原式==
===cos2α.
(2)由tanα=,得或
所以cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosα=+4×=.
(3)∵cosα=,0<α<,
∴sinα=,tanα=4,
∴tan2α===-.
∵0<β<α<,∴0<α-β<,
∴sin(α-β)=,
∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=×+×=,
∴β=.
答案
(1)cos2α
(2) (3)-
一、必做题
1.(2018·苏州暑假测试)已知α∈(0,π),cosα=-,则tan=________.
解析 由α∈(0,π),cosα=-,得tanα=-,
所以tan===.
答案
2.(2017·扬州一模)已知cos=,那么sin(π+α)=________.
解析 由cos=,0<α<,知sin=,所以sin(π+α)=-sinα=-sin=-×+×=.
答案
3.(2018·苏州调研)已知α是第二象限角,且tanα=-,则sin2α=________.
解析 因为α是第二象限角,且tanα=-,所以sinα=,cosα=-,所以sin2α=2sinαcosα=2××=-.
答案 -
4.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)若tanα=,tan(α-β)=-,则tan(β-2α)=________.
解析 tan(β-α)=-tan(α-β)=,所以tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]===-.
答案 -
5.(2018·淮阴中学期中)(1+tan22°)(1+tan23°)=________.
解析 由tan(22°+23°)==1,得tan22°+tan23°+
tan22°tan23°=1,所以(1+tan22°)(1+tan23°)=1+tan22°+tan23°+
tan22°tan23°=1+1=2.
答案 2
6.(2017·南京、盐城第二次模拟考试)若sin=,α∈,则cosα的值为________.
解析 因为α∈,所以α-∈,
又sin=,
所以cos=,
所以cosα=cos=coscos-sinsin
=×-×=
答案
7.(2018·盐城中学月考)已知α∈,β∈,且cos=,sin=-,则cos(α+β)=________.
解析 ∵α∈,cos=,
则-α∈,
∴sin=-,
∵sin=-,∴sin=,
又∵β∈,则+β∈,∴cos=,
∴cos(α+β)=cos=×-×=-.
答案 -
8.(2017·泰州调研)若cos=,则sin(2α-)的值是________.
解析 sin=sin=cos2
=2cos2-1=2×-1=-.
答案 -
9.(2017·扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市二模)已知sin=,α∈.
求:
(1)(一题多解)cosα的值;
(2)sin的值.
解
(1)法一 因为α∈,所以α+∈,
又sin=,
所以cos=-=-=-.
所以cosα=cos
=coscos+sinsin
=-×+×
=-.
法二 由sin=得sinαcos+cosαsin
=,
即sinα+cosα=,结合sin2α+cos2α=1,
得cosα=-或cosα=.
因为α∈,所以cosα=-.
(2)因为α∈,cosα=-,
所以sinα===.
所以sin2α=2sinαcosα=2××=-,
cos2α=2cos2α-1=2×-1=-.
所以sin
=sin2αcos-cos2αsin
=×-×=-.
10.(2018·常州一中期中)已知α,β∈且sin(α+2β)=.
(1)若α+β=,求sinβ的值;
(2)若sinβ=,求cosα的值.
解
(1)因为α,β∈,α+β=,sin(α+2β)=,所以α+2β∈,所以cos(α+2β)=-,
所以sinβ=sin=×-×=.
(2)因为sinβ=且β∈,所以cosβ=,
所以sin2β=2sinβcosβ=,cos2β=2cos2β-1=-,
所以2β∈.又因为α,β∈,
且sin(α+2β)=,
所以α+2β∈,所以cos(α+2β)=-.
所以cosα=cos(α+2β-2β)=×+×=.
二、选做题
11.(2017·仪征中学检测)已知3tan+tan2=1,sinβ=3sin(2α+β),则tan(α+β)=________.
解析 由3tan+tan2=1,可得tanα==,由sinβ=3sin(2α+β)得sin[(α+β)-α]=3sin[α+(α+β)],
展开得sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=3sinαcos(α+β)+3cosαsin(α+β),
合并得2sin(α+β)cosα=-4sinαcos(α+β),
所以tan(α+β)=-2tanα,
故tan(α+β)=-2×=-.
答案 -
12.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)已知sinα=3sin,则tan=________.
解析 ∵sinα=3sin(α+),
∴sin=3sin,
∴sincos-cossin
=3sincos+3cossin,
∴-2sincos=4cossin,
∵cos≠0,cos≠0,
∴tan==-2tan=-2tan15°=-2tan(45°-30°)
=-2×=-2×
=-2×=-2(2-)=2-4.
答案 2-4
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- 三角函数 二倍 公式
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