概率论高等数学习题解答可编辑修改word版.docx
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概率论高等数学习题解答可编辑修改word版
习题二
(A)
三、解答题
1.一颗骰子抛两次,以X表示两次中所得的最小点数
(1)试求X的分布律;
(2)写出X的分布函数.
解:
(1)
X
1
2
3
4
5
6
pi
11
36
9
36
7
36
5
36
3
36
1
36
分析:
这里的概率均为古典概型下的概率,所有可能性结果共36种,如果X=1,则表明两次中至少有一点数为1,其余一个1至6点均可,共有C1⨯6-1(这里C1指任选某次点
22
2
数为1,6为另一次有6种结果均可取,减1即减去两次均为1的情形,因为C1⨯6多
⨯+{
=}=C1⨯6-1=C1⨯5+1=11
可得.
(2)
2
⎧0于x<1
363636
⎪
⎪P{X=1}于1≤x<2
⎪P{X
=1}+P{X
=2}于2≤x<3
⎨
F(x)=⎪P{X
=1}+P{X
=2}+P{X=3}于3≤x<4
⎪
⎪P{X
=1}+P{X
=2}+P{X=3}+P{X
=4}于
4≤x<5
⎪P{X=1}+P{X
=2}+P{X
=3}+P{X
=4}+P{X
=5}于
5≤x<6
⎪于x≥6
⎧0于
⎪11
x<1
⎪于1≤x<2
⎪36
⎪
⎪20于2≤x<3
⎪36
=⎪27于
⎪
⎪32于
⎪
3≤x<4
4≤x<5
⎪35于5≤x<6
⎪36
⎪
⎩1于x≥6
2.某种抽奖活动规则是这样的:
袋中放红色球及白色球各5只,抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会,然后从袋中一次取出5只球,若5只球同色,则获奖100元,否则无奖,以X表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数,求X的分布律.
解:
-
1
9
9
i
注意,这里X指的是赢钱数,X取0-1或100-1,显然P{X
=99}=
21.
5126
3k
.设随机变量X的分布律为P{X=k}=ak!
k=0,1,2,;>0为常数,试求常数a.
∞k--
解:
因为∑a=ae
k=0
=1,所以a=e.
4.设随机变量X的分布律为
X
-1
2
3
pi
1/4
1/2
1/4
(1)求X的分布函数;
(2)求P{X≤1},P{3 222 解: 0于 x-1 0于 1 x-1 (1) P{X1}于 F(x) x2 于 4 x2 , P{X }P{X2}于2x3 3于2x3 1于 x3 4 1于 x3 ⎧≤1⎫=p{X =-1}=1、P⎧3 (2) P⎨X⎬ ⎩⎭ ⎨⎬ 4⎩⎭2 P{2≤X≤3}=P{{X =2}{X =3}}=P{X =2}+P{X =3}=3. 4 5. 设随机变量X的分布律为P{X=k}=1,k=1,2,求: 2k (1)P{X=偶数} (2)P{X≥5} (3)P{X=3的倍数} 解: (1)P{X=于于 }=1 +1++1 ⎛1⎛1⎫⎫ ç1⎪ 1- +=limç⎝⎭⎪=1, 2224 22i i→∞ç ç ⎝ 1⎪3 ⎭ 22⎪ (2) PX 1 X 111 111151, 22 1⎡ 23 ⎛1⎫i⎤ 24 1616 ∞ 3⎢1-ç 3⎪⎥ (3) P{X=3于于于 }=∑1=lim2⎢⎣ ⎝2⎭⎥⎦=1. i=123i i→∞ 1-17 23 6.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为0.5t的泊松分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计) (1)求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率. (2)求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率.解: (1) X~P(0.5t)=P(1.5) P{X=0}=e-1.5. (2) 0.5t=2.5 P{x≥1}=1-P{x=0}=1-e-2.5. 7.某人进行射击,每次射击的命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中2次的概率. 解: 设射击的次数为X,由题意知X~B(400,0.2), 1 400 P{X≥2}=1-P{X≤1}=1-∑Ck0.02k0.98400-k, k=0 由于上面二项分布的概率计算比较麻烦,而且X近似服从泊松分布P(λ)(其中λ=400×0.02),所以 查表泊松分布函数表得: P{X≥2} 8ke8 k! P{X≥2}≈1-0.28=0.9972 8.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号.现进行5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 解: 设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数,X~B(5于0.3) 则指示灯发出信号的概率 p=P{X≥3}=1-P{X<3}=1-(C00.300.75+C10.310.74+C20.320.73) 555 =1-0.8369=0.1631. 9.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从参数为5指数分布.某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数.写出Y的分布律,并求P{Y≥1}. -x 解: 因为X服从参数为5的指数分布,则F(x)=1-e5 ,P{X>10}=1-F(10)=e-2, Y~B(5于e-2), 5 则P{Y=k}=Ck(e-2)k(1-e-2)5-k,k=0,1,5. P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-于1-e-2于5=0.5167 ⎧acosx, 10.设随机变量X的概率密度为f(x)=⎨ |x|≤ 2,试求: (1)系数a; (2)X落在区间(0, p )内的概率. 4 ⎪0, ⎩ |x|> 2 解: (1)由归一性知: 1= +∞ f(x)dx -∞ 2acosxdx=2a,所以a=1. -2 2 112 (2).P{0 4 4cosxdx= 02 sinx|4= 2 ⎧0, . 4 x<0 11. ⎨ 设连续随机变量X的分布函数为F(x)=⎪Ax2, ⎪⎩1, 0≤x<1 x≥1 试求: (1)系数A; (2)X落在区间(0.3,0.7)内的概率;(3)X的概率密度. 解 (1)由F(x)在x=1的连续性可得limF(x)=limF(x)=F (1),即A=1. x→1+x→1- (2)P{0.3 ⎨ (3)X的概率密度f(x)=F'(x)=⎧2x,0 ⎩0, 12.设随机变量X服从(0,5)上的均匀分布,求x的方程4x2+4Xx+X+2=0有实根的概率. ⎨ ⎧1 解: 因为X服从(0,5)上的均匀分布,所以f(x)=⎪5 0 ⎪ ⎩ 0 其他 若方程 4x2+4Xx2+X+2=0有实根,则 ∆=(4X)2-16X-32≥0,即 (x-2)(X+1)≥0,得X ≥2或X ≤-1,所以有实根的概率为 p=P{X≥2}+P{X≤-1}= 51dx+ -10dx=1x5=3 13.设X~N(3,4) ⎰25 ⎰-∞ 525 (1)求P{2 (2) 确定c使得P{X>c}=P{X≤c}; >2},P{X>3}; (3)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少? 解: (1)因为X~N(3于4)所以 P{2 ≤5}=P{2-3< X-35-3 } =P{-0.5< X-3≤1} 2222 (1)(0.5) (1)(0.5)10.84130.691510.5328 P{-4 22 P{X =(3.5)-(-3.5)=2(3.5)-1 =2⨯0.9998-1=0.9996 >2}=1-P{X≤2}=1-P{-2≤X≤2} =1-[F (2)-F(-2)]=1-[Φ(-0.5)-Φ(-2.5)] =1-[Φ(2.5)-Φ(0.5)]=1-0.3023=0.6977 P{X>3}=1-P{X≤3}=1-F(3) =1-Φ(0)=1-0.5=0.5. (2) P{X>c}=1-P{X ≤c},则P{X≤c}=1=F(c)=Φ(c-3)=1, 经查表得 222 Φ(0)=1,即c-3=0,得c=3;由概率密度关于x=3对称也容易看出。 22 (3) P{X > d}=1-P{X ≤d}=1-F(d)=1-Φ(d-3)≥0.9, 2 则Φ( d3 d-3 2 )≤0.1,即Φ(- d-3 2 )≥0.9,经查表知(1.29)0.9015, 故-1.29,即d0.42. 2 14. 设随机变量X服从正态分布N(0,2),若P{(X >k}=0.1,试求P{X 解: P{X > k}=1-P{X≤k}=1-P{-k≤X≤k}=1-Φ(k )+Φ(-k) =2-2Φ(k)=0.1 s 所以Φ(k)=0.95,p{X =0.95;由对称性更容易解出. ss 15. 设随机变量X服从正态分布N(,2),试问: 随着σ的增大,概率P{|X–|<}是如何变化的? 解: X ~N(,2)则 P{X-<}=P{- =F(+)-F(-) <+} =Φ(+--Φ(-- )) =Φ (1)-Φ(-1) =2Φ (1)-1=0.6826. 上面结果与σ无关,即无论σ怎样改变,P{X-<}都不会改变; 16.已知离散随机变量X的分布律为 X -2 -1 0 1 3 pi 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 试求Y=X2与Z=X 解: 由X的分布律知 所以Y的分布律是 Z的分布律为 的分布律. p 1 5 1 6 1 5 1 15 11 30 x -2 -1 0 1 3 X2 4 1 0 1 9 X 2 1 0 1 3 Y p Y p 17. 设随机变量X服从正态分布N(,2),求Y=eX的概率密度. 解: 因为X服从正态分布N(,2),所以f (x)= -(x-)2 e2, Y F(y)=P{eX ≤y}, X 2 当y≤0时,FY(y)=0,则fY(y)=0 X 当y>0时,FY(y)=P(Y≤y)=P{e X ≤y}=P{X≤lny}=F (lny) f(y)=F'(y)=[F (lny)]'=1 y fX(lny)=y -(lny-)2 e 2 11 (lny)2 e 22, y0 所以Y的概率密度为fY(y) y2 0于 ; y0 18.设X~U(0,1),试求Y=1–X的概率密度. ⎧1 解因为X~U(0,1),f(x)=⎨ ⎩0 0 , X FY(y)=P(Y≤y)=P{1-X≤y}=P{X≥1-Y}=1-FX(1-y) 所以fY (y)FY '(y)[1F (1y)] =fX (1-y)=⎧1, 0<1-y<1⎧1, í 0 ⎩0,他他⎩0,他他 19.设X~U(1,2),试求Y=e2X的概率密度. ⎧1 解: X~U(1,2),则f(x)=⎨ ⎩0 1 其他 Y F(y)=P{Y≤y}=P{e2X≤y} 当y≤0时,FY(y)=P{e≤y}=0, 2X 当y>0时, F(y)=P⎧X≤1lny⎫=F(1lny), Y⎨2⎬X2 f(y)=F'(y)=1 '=11 [F(lny)] YY2 2yfX(2lny) ⎧⎪1 =⎨2y ⎪⎩0 ⎧⎪1 =⎨2y ⎪⎩0 0<1lny<2 2 于于 e2 于于 20.设随机变量X的概率密度为 ⎧3x2, ⎨ f(x)=⎪2 -1 试求下列随机变量的概率密度: ⎪0,于于 ⎩ (1)Y1=3X; (2)Y2=3-X; 3 (3)Y=X2. 解: (1)F (y) )=P{Y ≤y}=P{3X≤y}= ⎧≤1y⎫=1 Y1 f(y)=F 1 '(y)=1 '=1 P⎨X ⎩ 1 3⎬FX(3y) Y1Y1 [F(y)] 3 3fX(3y) ⎧⎪3x2 因为fX(x)=⎨2 ⎪⎩0 -1 于于 11⎧⎪1 y2, -1<1y<1 ⎧⎪1 y2, -3 1 所以fY(y)=3fX(3y)=⎨18 3=⎨18,于于 2 ⎩⎪0,于于⎩⎪0 (2) FY(y)=P{Y2≤y}=P{3-X≤y}=P{X≥3-y}=1-FX (3-y), fY2 (y)=F'(x)=[1-F 2 (3-y)]'= fX(3-y) ⎧⎪3x2 因为fX(x)=⎨2 ⎪⎩0 -1 , 于于 Y 所以f(y)= 2 ⎧⎪3(3-y)2, fX(3-y)=⎨2 -1<3-y<1 ⎧⎪3(3-y)2, ⎨2 2 ⎪⎩0,他他⎪⎩0,他他 Y (3)F 3 (y)=P{Y3 ≤y}=P{X2≤y} 当y≤0时,F 3 (y)=P{X2≤y}=0,f (y)=F'(x)=0 3 当y>0时,FY(y)=P{- ≤X≤ y}=FX( y)-FX(- y), fY3 (y)=F'(x)=[F( y)-F(- y)]'=1[f( 2X y)+fX(- y)] ⎧1[f( 所以Y⎨ y)+fX(- y)], y>0 , y ⎪⎩ ⎧⎪3x2 0≤0 -1 因为fX(x)=⎨2, ⎪⎩0于于 ⎧⎪3 3 所以fY(y)=⎨2 y,0 于于 ⎩⎪0 四、应用题 1.甲地需要与乙地的10个电话用户联系,每一个用户在1分钟内平均占线12秒,并且各个用户是否使用电话是相互独立的.为了在任意时刻使得电话用户在用电话时能够接通的概率为0.99,应至少有多少电话线路? 解: 设X为同时打电话的用户数,由题意知X ~B(10,0.2) 设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99,则 k ii10-i ki- P{X≤k}=∑C100.20.8 i=0 ≈∑e i=0 =0.99,其中=2, 查表得k=5. 2.在一个电子仪器系统中,有10块组件独立工作,每个组件经过5小时后仍能正常工作的概率为e-5,其中是与工艺、系统复杂性有关的因子.若该系统中损坏的组件不超过一块,则系统仍能正常工作,那么,5小时后系统不能正常工作的概率(=0.08)是多少? 解: 该问题可以看作为10重伯努利试验,每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-e-0.4,记X为10块组件中不能正常工作的个数,则 X~B(10,1-e-0.4), 5小时后系统不能正常工作,即{X≥2},其概率为 P{X≥2}=1-P{X≤1} =1-C0(1-e-0.4)0(e-0.4)10-C1(1-e-0.4)1(e-0.4)10-1 1010 =0.8916. 3.测量距离时,产生的随机误差X服从正态分布N(20,402),做三次独立测量,求: (1)至少有一次误差绝对值不超过30m的概率; (2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率. 解: 因为X~N(20,402),所以 P{X ≤30}=P{-30≤X≤30}=F(30)-F(-30) =Φ(30-20)-Φ(-30-20) 4040 =Φ(0.25)+Φ(1.25)-1 =0.5187+0.8944-1 =0.4931 设Y表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数,则X ~B(3,0.4931), 3 (1)P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-C00.49310(1-0.4931)3=1-0.50693=0.8698. 3 (2)P{Y=1}=C10.49311⨯0.50692=0.3801. 4.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为5的指数分布,设备定时开机,出现故障时自动关机,而无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数. 解: 当y<0时,{Y≤y}是不可能事件,知F(y)=0, y1-x-y 当0≤y<2时,Y和X同分布,服从参数为5的指数分布,知F(y)=⎰05edx=1-e, 55 当y≥2时,{Y≤y}为必然事件,知F(y)=1,因此,Y的分布函数为 ⎧0 ⎪ F(y)=⎪ y<0 -y 5于0≤y<2; ⎨1-e ⎪ ⎪1,y≥2 ⎩ 5.有甲乙两种颜色和味道都极为相似的名酒各4杯,如果从中挑4杯,能将甲种酒全挑出来,算是试验成功一次. (1)某人随机去挑,问他试验成功的概率是多少? (2)某人声称他通过品尝能区分两种酒,他连续试验10次,成功3次,试推断他是猜对的还是确有区分的能力(设各次试验是相互独立的). 解: (1)挑选成功的概率p= 11 ; 470 (2)设10随机挑选成功的次数为X,则该 ⎛1⎫, X~Bç10,
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