目
B・a》e
C.a>
D・a>4
13.若函数f(x)=—x2+alnx在区间(1,+上是减函数,则实数a的取值范围为()
Z
A.[1,+I
B.(1,+©
C.(―汽1]
D.(—s,1)
14.若函数f(x)=x3+ax—2在区间(1,+s内是增函数,则实数a的取值范围是()
A.(3,+s)
B.[—3,+s)
C.(—3,+s)
D.(—s,—3)
二、填空题
15.已知函数f(x)=ax3+3x2—x+1在(—s,+s上是减函数,则实数a的取值范围是.
16.函数f(x)=x3—mx2+m—2的单调递减区间为(0,3),贝Um=.
17.若函数y=a(x3—x)的单调减区间为(—匹,应),则a的取值范围是.
18.若函数y=—Mx3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是.
19.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为[—1,2],贝Ub=,c=.
20.已知函数f(x)=妙丄在(—2,+s内单调递减,则实数a的取值范围为.
21.已知函数f(x)=x3—x2+mx+2,若对任意X1,x2€R,均满足(x1—X2)[f(x1)—f(x2)]>0,则实数
的取值范围是.
22.已知a>0,函数f(x)=Inx+土在[1,+s上是增函数,则实数a的取值范围是.
23.若函数y=ax+sinx在R上单调递增,则a的最小值为.
24•若函数f(x)=M・i在(0,+^上单调递增,则实数a的取值范围是.
25.函数y=x3-ax+4在(1,+^上为增函数,贝Ua的取值范围是.
三、解答题
26•已知函数f(x)=2ax-,x€(0,1].若f(x)在x€(0,1]上是增函数,求a的取值范围.
27•已知函数f(x)=x3-ax—1.
(1)是否存在a,使f(x)的单调减区间是(一1,1);
(2)若f(x)在R上是增函数,求a的取值范围.
28.已知函数f(x)=kx3—3(k+1)x2—k2+1(k>0).若f(x)的单调递减区间为(0,4),单调递增区间为(一汽0)与(4,+s),求k的值.
答案解析
1.【答案】D
【解析】y'=3ax2—1,•••函数y=ax3—x在(-m,+m上是减函数,
则3ax2—1WO在R上恒成立,
a=0或:
二:
匚°a<0.
i』二lZd兰工
2.【答案】D
【解析】由条件知f'x)=k—>0在(1,+m上恒成立,
¥
•k>1.
3.【答案】C
【解析】f'x)=—=.
*3曲
•••f(x)在(1,+m上单调递增,
•f‘X)>0在(1,+m上恒成立,
•ax—1>0在(1,+m上恒成立,
显然,需a>0,
•函数y=ax—1在(1,+m上是增函数,
•a—1>Oa>1
•实数a的取值范围是[1,+m).
4.【答案】A
【解析】对任意两个不等的正实数X1,X2,都有趺为;T爆羁>0恒成立,即f(x)为增函数.
则当x>0时,f'x)>0恒成立,
f'x)=1+x>0在(0,+m上恒成立,
X1
则a>(—x2)max,
而一x2<0,贝Ua>0.
5.【答案】B
【解析】由f(x)=—x3+2ax,所以f'x)=—3x2+2a,
因为f(x)=—x3+2ax在(0,1]上是单调递增函数,
所以f'x)=—3x2+2a>0在(0,1]上恒成立,
即2a》32在(0,1]上恒成立.
因为函数y=3x2W3在(0,1]上恒成立,
所以a>.
1
6.【答案】C
【解析】•/f(x)=ex-ax—1在R上单调递增,
•••f'x)》0恒成立,
即f'x)=ex—a>0恒成立,
即awe,
•••ex>o,
aw0.
7.【答案】B
【解析】•/a,b是正实数,函数f(x)=—x3+ax2+bx在x€[—1,2]上单调递增,
•f'x)=—x2+2ax+b,
且f'x)=—x2+2ax+b>0在区间[—1,2]上恒成立.
由于二次函数f7x)=—x2+2ax+b的图象是抛物线,开口向下,对称轴为x=a,
故有f'—1)且f'
(2)>即一
t—4+4ct+b>0.
化简可得2a+2b>5a+b再,故a+b的取值范围为也,+^).
8.【答案】A
【解析】f'x)=3x2+a,
•••函数f(x)=x3+ax在[1,+a上是增函数,
•f'x)=3x2+a>0在[1,+a上恒成立,
•••f'x)=3x2+a在[1,+a上是增函数,
--3x2+a>3^1a=3+a,
•3+a>0
•-a>—3.
9.【答案】B
【解析】f'x)=—3x2+2ax—K0在(—a,+a上恒成立,
由△=4a2—12<0得一秦令w-.
10.【答案】D
【解析】若函数f(x)=x—alnx在区间(0,2]上单调递减,则等价为f'x)w旌(0,2]上恒成立,即1—0即;z>i,即a^x,
XsX1
•/02.
11.【答案】C
【解析】tf(x)=x3+bx2+(b+2)x+3,
fzx)=x2+2bx+b+2,
•/f(x)是R上的单调增函数,
.x2+2bx+b+2>0恒成立,
A<0即b2—b—2<0,
则b的取值是—1WX2.
12.【答案】B
【解析】f'x)=,
•.•函数f(x)=_在[1,+8上为减函数,
-i
f'x)--<0在[1,+8上恒成立,
即1—lna.1—lna<0
.a>e.
13.【答案】C
【解析】■/fzx)=—x+,
Xs
•/f(x)在区间(1,+8上是减函数,
.f'x)=—x+-<0在区间(1,+8上恒成立,
.aTx2>1,a<1.
14.【答案】B
【解析】因为f(x)=x3+ax—2,所以f'x)=3/+a,因为函数f(x)=x3+ax—2在区间(1,+8内是增函数,所以f'x)=3x2+a》0在区间(1,+8内恒成立且不恒为零,即a»3x2在区间(1,+8内恒成立且不恒为零,又x€(1,+8时,(—3/)max=—3,所以实数a的取值范围是[—3,+8).
15.【答案】(一8,—3]
【解析】由题意得3ax2+6x—1<0在(—8,+8上恒成立.
当a=0时,6x—K0xW不满足题意,/.a^0
百
当a工0时,由题意得/.:
■'-jaW—3.
综上可知,实数a的取值范围是(—g,—3].
16.【答案】-
2
【解析】令f'x)=3x2—2mx=0,解得x=0或x=:
m,所以,m=3,m=.
9.3立
17.【答案】(0,+g)
【解析】由f'x)=a(3x2—1)=3a(x—曲)(x+二)<0的解集为(一間,啊),知a>0.
giag
18.【答案】(0,+g)
【解析】y'=—4x2+a且y有三个单调区间,
■•方程y'=—4x2+a=0有两个不等的实根,
■△=02—4X(—4)冶>0,■a>0.
19.【答案】—-—6
【解析】•/y=3x2+2bx+c,由题意知[—1,2]是不等式3x2+2bx+c<0的解集,
■-—1,2是方程3x2+2bx+c=0的根,由根与系数的关系得b=—一,c=—6.
20.【答案】(—g,)
□
【解析】f'x)=-,由题意得f'x)w在(—2,+g)内恒成立,■解不等式得aw,但当a=时,
(jt+ai3as
f'x)=0恒成立,不合题意,应舍去,■a的取值范围是(―g,).
21.【答案】[,+g)
【解析】对任意X1,X2€R,均满足(X1—X2)[f(X1)—f(X2)]>0,即函数f(x)在R上为增函数,即有f'x)>0在R上恒成立.
由f(x)=X3—x2+mx+2的导数为f'x)=3x2—2x+m,
由3x2—2x+m>0恒成立,
可得判别式△=4—12mW0
解得m>,
昌
则所求m的取值范围是匚,+g).
3
22.【答案】[1,+I
【解析】f'x)=—=:
-一,
若函数f(x)=lnx+在[1,+I上是增函数(a>0),则ax—1在[1,+恒成立,即a》()max=1.
3T
23.【答案】1
【解析】y'=a+cosx,
■/y=ax+sinx在R上单调递增,
•••a+cosx》0在R上恒成立.
•••a^—cosx,
—cosx的最大值为1,
•a》1,
即a的最小值为1.
24.【答案】(0,+i)
【解析】f'x)=(ax—二)=a+三,
由题意得,a+>0在x€(0,+s上恒成立,
所以a>—在x€(0,+s上恒成立,故a>0.
25.【答案】(—s,3)
【解析】y=3x2—a,
ty=x3—ax+4在(1,+s上为增函数,
•y'=3x2—a>0在(1,+s上恒成立,
•-a<32在(1,+s上恒成立,
T3x2>3在(1,+s上恒成立,
•a<3.
26.【答案】解由已知得f'x)=2a+,
•/f(x)在(0,1]上单调递增,•f'x)即a>-在x€(0,1]上恒成立.
g
而g(x)=—丄在(0,1]上单调递增,二g(X)max=g
(1)=—1,
•••aA1,Af(x)在(0,1]上为增函数,a的取值范围是[—1,+s).
【解析】
27.【答案】解f(x)=3x2—a.
(1)•/f(x)的单调减区间是(一1,1),
•—1•x=±1是方程3x2—a=0的两根,••a=3.
(2)•/f(x)在R上是增函数,
•f'x)=3x2—ax€R恒成立,
即a<3<2对x€R恒成立.
•••y=3x2在r上的最小值为0.
•aw0.
【解析】
28.【答案】解f'x)=3kx2—6(k+1)x,
由题意知x=0或x=4为方程f'x)=0的两根,
•0+4=4=-,•k=1.
【解析】