高中数学联赛初等数论专题练习带答案详解版.docx
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高中数学联赛初等数论专题练习带答案详解版
高中数学联赛初等数论专题练习(详解版)
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有
“数学王子”的称号,用其名
字命名的“高斯函数”为:
设x
R,用x表示不超过
x的最大整数,则
y
x称为高
斯函数,例如:
0.5
1,
1.5
1,已知函数f(x)
1
4x
32x
4(0
x2),
2
则函数y
f(x)
的值域为(
)
A.-
1
3
B.
1,0,1
C.{-1,0,1,2}
D.0,1,2
2
,
2
2.设[x]表示不超过x的最大整数(如[2]
2,[5]
1),对于给定的n
N*
,定义
4
Cnx
n(n
1)
(n
[x]
1)
,x
1,
;当x
3,4时,函数C8x的值域是(
)
x(x
1)
(x
[x]
1)
A.12,58
B.14,56
C.12,58
D.14,56
3.用x表示x的整数部分,即x
表示不超过x的最大整数,例如:
2
2,2.3
2,
2.3
,设函数h
xln
x
x2
1
,则函数
3
f(x)
h(x)
h(x)
的值域为(
)
A.0
B.
1,0,1
C.
1,0
D.
2,0
4.已知n是正整数,则下列数中一定能整除
2n
3
2
25
的是(
)
A.6
B.3
C.4
D.5
5.已知直角三角形的三边长都是整数,且其面积与周长在数值上相等
.那么,这样的
直角三角形有(
)个.
A.0
B.1
C.2
D.3
6.十八世纪,函数
y[x]([x]表示不超过x的最大整数)被
“
”
数学王子
高斯采用,因
此得名为高斯函数,结合定义的表述,人们习惯称为
“
”
取整函数
,根据上述定义,则方
程2019x2
[x]
2020
0的所有实数根的个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
试卷第1页,总4页
7.将编号为1,2,,18的18名乒乓球运动员分配在9张球台上进行单打比赛,规
定每一张球台上两选手编号之和均为大于4的平方数.记{7号与18号比赛}为事件p.则
p为().
A.不可能事件B.概率为1的随机事件
17
C.概率为1的随机事件D.必然事件
3
二、填空题
8.在正奇数非减数列1,3,3,3,5,5,5,5,5,
中,每个正奇数k出现k次.已知存在整数
b、c、d,对所有的整数n满足anb
n
c
d,其中
x表示不超过x的最大
整数.则bcd等于______.
9.等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1
1
,S7
28
,记bn
[lgan],其中[x]表示
不超过x的最大整数,如[0.9]0,[lg99]
1,则b
b
_________.
20192020
10.已知f(n)表示正整数n的所有因数中最大的奇数,例如:
12的因数有1,2,3,4,
10050
6,12
,则f12
3;21的因数有1,3,7,21,则f
21
21,那么
f
i
fi
i51
i
1
_________.
11.用符号(x]表示小于x的最大整数,如(
]
3,(
1.2]
2,有下列命题:
①若函
数f(x)(x]
x,xR,则f(x)的值域为[
1,0);②若x
(1,4)
,则方程x
1
(x]
5
有三个根;③若数列
an
是等差数列,则数列
(a]
也是等差数列;④若
n
,则(x]?
(y]2的概率为P
2
.
9
则下列正确命题的序号是
______________.
12.若两整数a、b除以同一个整数m,所得余数相同,即a
b
k(k
Z),则称a、
m
b对模m同余,用符号a
b(modm)表示,若a
10(mod6)(a
10),满足条件的a
由小到大依次记为a1,a2,
an,,则数列{an}的前16项和为________.
13.设xR,x表示不超过x的最大整数,若存在实数t,使得t
1,t2
2,,
tn
n同时成立,则正整数n的最大值是
.
试卷第2页,总4页
14.在数列an中,a1
3
an1
2
an
2
,且
1
2.
n
n
(1)an的通项公式为__________;
1
2
3
、a
2019
这
2019
项中,被
10
除余
2
的项数为__________.
(2)在a
、a
、a、L
15.将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子
数列,如果数列存在成等比数列的子数列,那么称该数列为
“弱等比数列”已.知m>1,
设区间m,
内的三个正整数
a,x,y满足:
数列a2,
y2
1,cos
,x2
1为
“弱等比数列”,则a的最小值为________.
2
x
16.设x表示不超过x的最大整数,如1.5
1,
1.5
2.
若函数fx
ax
a0,a
1,则gx
f
1
f
x
1
1ax
x
的值域为
2
2
________________.
三、解答题
17.将下列各式进行因式分解.
(1)3x210x
8
;
(2)x2y21
2
4x2y2;
(3)x2yxy2
xzyz.
18.已知x1、x2是一元二次方程4kx2
4kx
k1
0的两个实数根.
(1)是否存在实数
k,2x1x2x1
2x2
3
k的值;若不存
成立?
若存在,求出
2
在,请说明理由;
x1
x2
2的值为整数的实数
k的整数值.
(2)求使
x1
x2
19.正整数数列
an
的前n项和为Sn,前n项积Tn
,若Ti
N*(i
1,2,Ln),则称
Si
数列an为“Z数列”.
(1)判断下列数列是否是Z数列,并说明理由;①2,2,4,8;②8,24,40,56
(2)
若数列an是Z数列,且a22.求S3和T3;
(3)
是否存在等差数列是Z数列?
请阐述理由.
试卷第3页,总4页
20.设m,n是正整数,满足mn|m2n21.证明:
m2n213mn.
试卷第4页,总4页
参考答案
1.B
【解析】
【分析】
首先将函数解析式进行化简,
并用换元思想,得到f(t)
1
t2
3t
4(1t
4),研究二
2
次函数在某个区间上的值域,求得
f(x)
1
3
“
”
.
,根据高斯函数
的本质,求得结果
2
2
【详解】
因为f(x)
1
2
x2
32
x
x
t(1
t4),
2
4,令2
则f(t)
1t2
3t
4(1
t4),函数的对称轴方程为
t
3,
2
所以f(t)minf(3)
1
,
2
f(t)max
f
(1)
3
f(x)
1
3
2
,所以
,
2
2
所以y
f(x)
的值域为
1,0,1
,
故选:
B.
【点睛】
本小题考查函数的定义域与值域等基础知识,考查学生分析问题,解决问题的能力,运算求
解能力,转化与化归思想,换元思想,分类讨论和应用意识.
2.D
【解析】
【分析】
利用题目中的两个新定义求得C8x
336
,再利用导数求分母的值域,即可得答
x(x
1)(x
2)
案.
【详解】
当x3,4
时,[x]
3,
答案第1页,总16页
∴C8x
8
76
336
,
x(x1)(x2)
x(x1)(x
2)
当3,x
4时,f(x)
x3
3x2
2x,
∵f'(x)3x2
6x20,
∴f(x)为增函数,
∴f(x)
f(4)
24,且f
(x)f(3)6,
∴f(x)
[6,24)
,∴f(x)
14,56.
故选:
D.
【点睛】
本题考查函数新定义问题、导数的运用、三次函数的值域,考查函数与方程思想、转化与化
归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.
3.C
【解析】
【分析】
根据条件先判断函数的h(x)的奇偶性,结合x的定义,分别讨论h(x)取整数值和非整数
时对应的结果即可.
【详解】
解:
函数h(x)的定义域为R,则
h(x)
h(
x)ln(x
x2
1)ln(
x21
x)
ln
(
x2
1
x)(x2
1x)
ln
1
x2
x2
ln1
0
即h(
x)
h(x),则h(x)是奇函数,
则f(x)
h(x)
h(
x)
h(x)
h(x),
若h(x)
n
,n是整数,则
h(x)
h(x)
n
n
0
,f
x
0
如n
h(x)
n
1,n
Z,
则(n
1)
h(x)
n,n
Z,
答案第2页,总16页
则h(x)
n,h(x)
(n1)
n1,
则h(x)
h(x)
n
n1
1,
综上f(x)
1或0,
即f(x)的值域为
1,0
,
故选C.
【点睛】
本题考查函数值域的求法,
一般地,可先考虑函数的奇偶性、周期性等把函数值域归结到有
限区间上,再考虑函数的单调性,
也可以利用换元法把复杂函数转化为简单函数,
注意根据
函数的解析式的形式选择合适的方法.
4.C
【解析】
【分析】
2
25分解因式,由此判断出正确选项.
首先根据平方差公式对
2n3
【详解】
2
25
2n352n352n82n24n4n1,
2n3
2n3
2
25一定能被4整除,
故选:
C.
【点睛】
本小题主要考查平方差公式,考查整除性问题,属于基础题.
5.C
【解析】
【详解】
设直角三角形三边长分别为
x、y、zxy
z,则x2
y2
z2,且2xyzxy.
两式消去z,得xy4x
4y80,即x
4y4
8.
于是,x48.
注意到x4y4,所以,x483.
答案第3页,总16页
故x41或2,即x5或6,选C.
6.C
【解析】
【分析】
由2019x2
[x]2020
0可得2019x2
[x]
2020,若|x|2时,方程显然不成立,故
2
x
2,此时[x]
1,0,1,分别分析即可.
【详解】
由
2019x
2
[x]2020
0
可得
2019x
2
[x]
2020
因为|x|
2
时,2019x2
[x]
2020,方程无解,
当2
x
2时,[x]的可能取值为
1,0,1,
当[x]
1时,方程有解
x
1
,
当[x]
0时,方程无解,
当[x]
1时,2019x2
2021,解得x
2021
或x
2021
,
2019
2019
因为[
2021]1,符合题意,[
2021]
1不符合题意,舍去,
2019
2019
综上,方程的根为x
1
,x
2021,
2019
故选:
C
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程,取整函数,分类讨论的思想,属于中档题.
7.D
【解析】
【详解】
由于编号最大的两数之和为18173536,所以,同一张球台上两选手编号之和只能取
3个平方数:
25、16、9.现设同一张球台上两选手编号和为25、16、9的分别有x、y、z
答案第4页,总16页
25x
16y
9z
1
2
L18
(x、y、z均为非负整数)个.依题意有
x
y
z
9
,即
x
0,y
0,z
0
16x7y
9x
y
z171
7y90
x
y
z9
16x
.得
0,z
.
x
0,y
0,z
x0,y
0
0
90
又由10x,知x只能取非负整数0,1,2,3,4,5.逐一代入检验,可得方程唯一
16
的非负整数解x3,y6,z0.
下面讨论9张球台上的选手对阵情况.
(1)由x=3,知平方数为25只能有3个,而编号不小于16的3个选手18,17,16对应的
平方数又只能为25,故“两选手编号和为25”的只能是:
18与7对阵,17与8对阵,16与9
对阵.
(2)由y6,知去掉18,17,16,9,8,7后剩下的12个选手对应的平方数能且只能为
16,有:
1与15对阵,2与14对阵,3与13对阵,4与12对阵,5与11对阵,6与10对
阵.
所以,规定能够实现,且实现方案是唯一的.9张球台上选手对阵情况为:
18,7,17,8,16,9,15,1,14,2,13,3,12,4,11,5,10,6.
事件p为必然事件.选D.
8.2
【解析】
【详解】
将已知数列分组为
(1),3,3,3,5,5,5,5,5,,2k1,2k1,,2k1,
共2k1个组.
设an在第k组,an
2k1,
则有135
2k31n135
2k11,
即k
1
2
k2
1.
1n
注意到
k
0,解得
n
1kn11.
答案第5页,总16页
所以,k
n
1
1
n1
1.
因此,an
2
n
1
1.
故b
c
d
2
1
1
2.
9.9
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式与求和公式可得
an,再利用bn
[lgn],可得b1
b2
b3
b90,
b10
b11
b12
b99
1,
,即可得出.
【详解】
S
{a
}
的前
n项和,且a
1
,
S
28
,
7a
28
.
n为等差数列
n
1
7
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