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设:

高等数学（本科少学时类型）

第一章函数与极限

第一节函数

O函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）

O邻域（去心邻域）（★）

U（a,6）={χIX-a£6}

U（a,6）={χIOc∣x—a<δ}

第二节数列的极限

O数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列:

Xn证明Iim

【证明示例】；-N语言

1•由xn—aCg化简得nag（g）,

∙∙∙N-IIg；

2.即对⅛O,TN=g［「。

当n∙N时，始终

有不等式xn-a|<名成立，

∙Iim:

Xnf=a

X）：

:

第三节函数的极限

OX>Xo时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数fX,证明IimfX=A

^⅛Xo

【证明示例】；-'I语言

1.由f（x）—A£化简得OClX—XOlCg（名），

•-=g；

O无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）

（定理三）假设fX为有界函数，gX为无穷小，

则IimllfXgX=O

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若fX为

无穷大，则f-1X为无穷小；反之，若fX为无穷小，且fXPo,贝UfjX为无穷大

【题型示例】计算：

IimfXgX（或x—:

）

X,-xo

1.∙∙∙∣f（x）≤M∙函数f（X）在X=X。

的任一去心

邻域UX0,:

内是有界的；

（∙∙∙fX≤M,∙函数fX在x∙D上有界；）

2.IimgX=0即函数gX是Xrx0时的无穷小；J.X0'

（IimgX=O即函数gX是x-∙-■时的无穷小；）

X—■

3.由定理可知IimIIfXgX=O

（IimfXgX=O）

第五节极限运算法则

O极限的四则运算法则（★★）

（定理一）加减法则

（定理二）乘除法则

关于多项式PX、qX商式的极限运算

p（x）=a0xm+a1xm^+…+amIq（X）=b0χn+b]Xn^1+…+bn

2.即对NE>0,

当Oc

X-Xo

c6时,

始终有不等式

f（X）—A

E成立，

∙Iimf（x）=A

Ox—•时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数fX,证明IimfX；=A

x—^C

【证明示例】；-X语言

1.由f（x）—A

∙X=g；

2.即对Pg>O,2X=g2）,当x>X时，始终有不等式f（x）—Ac名成立，

∙∙IimfX=A

X1：

:

第四节无穷小与无穷大

O无穷小与无穷大的本质（★）

函数fX无穷小UIimfX=O

函数fX无穷大IimfXi=二

『F则有Iim止）=淳

bo

n：

：

m

n=m

nm

Iim

X）Xo

f（Xo）

g（χo）

CO

0

0

gXoT-Z0

gXOi=0,fXo=0

gXo^fXo^0

（特别地，当IimfX=-（不定型）时，通常分

^xog（x）0

子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值

Iim害

X）3X-9

【求解示例】解：

因为Xr3,从而可得x=3,所以原

X-3rx-3..11

式=Iim2IimIim

X3x2-9x3X3X-3J3X3

其中X=3为函数fX二享3的可去间断点

X-9

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

0

解：

Iim些3=IimX_3

X3x-9LX3χ2-9

=lim—=1

X32x6

O连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）

（定理五）若函数fX是定义域上的连续函数，那

4（x）]=fII^^（χ）'

么，limf

X>Xo

第六节极限存在准则及两个重要极限

O夹迫准则（P53）（★★★）

SinXd1

X

第一个重要极限:

Iim

^_0

SinX

■■■：

X：

tanx/.Iim

j0

SinXJI1

X

Iimx-

X-QSinX

（特别地,

解:

lir√2x+3V=lim（2x+1+2I

x2x1x2x1

XlIi

2x-

2x+2λJlL厂

/2k2Π1DY

IimHIimH

2x1—2x12xr：

h

2一

1XMXH^（X+）J

1∙2

2x1

辔？

⅛1L）

2x1

2x半

Iim11―2—2

-

0碑（2x+1丿

Iim∏

=e2x1;2X1丄e1=e

..2

=e2x∖T

第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）

O等价无穷小（★★）

U~SinU~tanU~arcsinU~arctanU~In（1U）

1.U

~e-1

12

2.U~1-cosU

2

（乘除可替，加减不行）

【题型示例】求值：

limln1x2Xln1x

J0X+3x

【求解示例】

解：

因为XT0,即xH0,所以原式=Iimln（1+x厂xln（1+x）Tχ2+3x

（1+x）In（1+x）（1+x卜Xx+11

=IimIimIim

X0XX3x0XX3x0X33

第八节函数的连续性

O函数连续的定义（★）

IimfX=Iimfx=fX0

X）XO-X=X■

O间断点的分类（P67）（★）

"跳越间断点（不等）

可去间断点（相等）

Iim

XP

Iim1

×-0.，1

IsinX]XXimo—

Sin（x-xo）=I）

X—Xo

=Iim—-

XPSinX

Iim

XX

O单调有界收敛准则（P57）（★★★）

第二个重要极限:

（一般地，IimllfX9=Iimfx計'，其中

IimfX0）

【题型示例】求值:

XimIST.!

：

【求解示例】

第一类间断点（左右极限存在）』

第二类间断点〔无穷间断点（极限为Q

（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）

'2x.O

e,Xv应该怎样选

^+xX兰0

择数a,使得fX成为在R上的连续函数？

【求解示例】

f0_=e20=e1=e

.I..

f0=a0=a

f0=a

【题型示例】设函数f（x）=」

1.∙

2.由连续函数定义IimfX=Iimfx=f0=e

x—⅛0-^⅛0

第九节闭区间上连续函数的性质

O零点定理（★）

【题型示例】证明：

方程fX:

=gXC至少有一个根介于a与b之间

【证明示例】

1.（建立辅助函数）函数XLfX；JgX［-C在

闭区间la,b］上连续;

2.∙∙∙「ab：

0（端点异号）

3.∙∙∙由零点定理，在开区间a,b内至少有一点,使得厂=O,即f•一g∙-C-0（0「J）

这等式说明方程

内至少有一个根'

第二章导数与微分第一节导数概念

O高等数学中导数的定义及几何意义（

fX.d

e+1

4.

fXiUgXC在开区间a,b

P83）（★★）

【题型示例】已知函数

ax+b

x‘°在x=0

X0

处可导，求a,b

【求解示例】

■.O

1.∙.∙Jf丄0）=e=1

j⅛0）=a

2•由函数可导定义

f0-=e0「1=e01=2

I/

'f°∙=b

0

f0=e01=2

jf_0=f亠[0=a=1

f0-=f0=f0=b=2

∙a=1,b=2

【题型示例】求函数

【求解示例】由题可得

上单调、可导，且

fjX的导数

fX为直接函数，其在定于域D

-L（X）［=丄

.L「（X）

fX=O;∙

O复合函数的求导法则（★★★）

【题型示例】设y=lnearcsin

【求解示例】

1arcsinjX^22

解：

y=—-XF=fe*-+√x+a/■arcsInx2122

e-IXa

（

arcsin

e

1

Carcsinx2122

e一“x」a

1

•arcsinx2122

erx亠a

arcsIn

e

2x

；in./X2TL2.X—1

J2_x22J

fi厂

Je、一

earcsinx2χ■,x2∙a2.

第四节高阶导数

of（n⅛（x）=[f（n哉X

2x

x2a2

A=dy）（★）

•dχ2

【题型示例】求函数y=In1∙X的n阶导数

【求解示例】y'丄=VXJ,

（或d

dx

O反函数的求导法则（★）

【题型示例】求y=fX在X=a处的切线与法线方程（或：

过y=fX图像上点IIa）fa］」处的切线与法线方程）

【求解示例】

1.^fX,yfa

2.切线方程：

y-fa=faX-a

法线方程：

y_fa—f：

X-a

第二节函数的和（差）、积与商的求导法则

O函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）

1.线性组合（定理一）：

（〉U二匸■v）=U'：

V特别地，当1时，有（u±v）∙=u士V

2.函数积的求导法则（定理二）：

（UV）∙=UVUV

第三节反函数和复合函数的求导法则

3.函数商的求导法则（定理三）

[1X'…11X',yJ∣[iT1x

yn丄（-1）n'（n-1）!

∙（1X）Jl

第五节隐函数及参数方程型函数的导数

O隐函数的求导（等式两边对X求导）（★★★）

【题型示例】试求：

方程y=X∙ey所给定的曲线C:

y=yX在点1-e,1的切线方程与法线方程

【求解示例】由y=X∙ey两边对X求导

F

即y=X、ey化简得y=1■eyy■

.・11

•∙y1：

1-e1-e

1.

•切线方程：

y-1X-1∙e

1—e

法线方程：

y-仁…1-ex-1e

O参数方程型函数的求导

【题型示例】设参数方程Z=φft）,求d-y

Iy=Y（t）dx2

W2窗

【求解示例】ι.dy2.d~y

dxWTt）dxCPYt）

第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）

第七节函数的微分

O基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）

dy=fXdx

第三章中值定理与导数的应用

第一节中值定理

O引理（费马引理）（★）

O罗尔定理（★★★）

【题型示例】现假设函数fX在0,二］上连续，在0,二

上可导，试证明：

二匚三［0,二,

使得fco

【证明示例】

1.（建立辅助函数）令X=fXSinx

显然函数X在闭区间0,二I上连续，在开区间

0,二上可导；

2.又•••「0计f0Sinθ=0

-fr:

Sin二-0

即「O=:

=0

3.∙∙∙由罗尔定理知

一I三iθ,二，使得fi:

ico^f∖-sin=0成立

O拉格朗日中值定理（★）

【题型示例】证明不等式：

当X1时，exex

【证明示例】

1.（建立辅助函数）令函数fX=ex,则对—X∙1,

显然函数fX在闭区间1,x］上连续，在开区间

1,x上可导，并且fX=ex；

2.由拉格朗日中值定理可得，'■l1,xl使得等式

XI■

e-e=x-1e成立，

又∙∙∙ee1,∙∙∙ex-e1x-1e1=ex-e,

化简得exeX,即证得：

当X1时，exex

【题型示例】证明不等式：

当X0时，InΓxX

【证明示例】

1.（建立辅助函数）令函数fX=In1∙X,则对

2.由拉格朗日中值定理可得,

-X0,函数fX在闭区间∣0,X1上连续，在开区

1

间0,二上可导，并且fX—;

1+X

十；：

=l0,χ1使得等式

In1X-In1O=Y^X-0成立，

1

化简得InVX—X,又•••：

；：

=0,xl,1沁

∙f—

V丿1+匕

：

：

1,∙In1X：

：

1X=X,

即证得：

当X.1时，第二节罗比达法则

O运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）

1.☆等价无穷小的替换（以简化运算）

2.判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件

0OCI

A.属于两大基本不定型（,—）且满足条件，

0旳

则进行运算：

IimfX=Iim—~~—

Iag（X）JagYX）

（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）

B.☆不属于两大基本不定型

⑴0；型（转乘为除，构造分式）

（转化为基本不定型）

IimXInX

X>0

【题型示例】求值：

【求解示例】解：

IimXc（InX=Iim二2==Iim

x_J1L

--11imX’-0

aX10

（一般地，Iim^InXf=0,其中〉J-R）

⑵型（通分构造分式，观察分母）

【题型示例】求值：

Iimi1-1

I01SinxX丿

.FX-SinXlfχ-sinx

=IimIim2—

XX0XSinXXTX

【求解示例】

“f11

解:

Iim—一一

XTlSinX

O^E^

‰x—sinXι.1-cosx01∙1—cosxι.SinXC

X2

⑶00型（对数求极限法）

2x

IimIimIimIim0

Lx—02'X02xLx）0'XP

【题型示例】求值：

IimX

X-P

【求解示例】解：

设y=χx,两边取对数得：

Iny=InXX=Xlnx=!

^

X

对对数取Xr0时的极限：

IimIny=Iim^nx=Iim"X—∖y—1L心向P

X

=Iimx-

X01

■~

X

⑷1:

型（对数求极限法）

【题型示例】求值:

1

IimcosxSinXX

χ7

【求解示例】

⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）

⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）

⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）

第三节泰勒中值定理（不作要求）

第四节函数的单调性和曲线的凹凸性

O连续函数单调性（单调区间）（★★★）

【题型示例】试确定函数fX=2x3-9x2∙12x-3的

单调区间

【求解示例】

1.∙∙∙函数fX在其定义域R上连续，且可导

∙∙∙fX=6x2-18X12

解：

令y=cosx∙sinxX,两边取对数得Iny=_SinX

X

∣lnCoSXSinXIHXmO

X

（严1）

1

（1,2）

2

（2严）

「（x）

+

0

—

0

+

f（x）

Z

极大值

Z

极小值

Z

4.∙函数fX的单调递增区间为-：

：

，11,〔2,•：

：

；

对Iny求X—.0时的极限，IimIny=Iim"C°SX_SinX

TTX

⑸：

：

0型（对数求极限法）

∣z1

【题型示例】求值：

Iim1

XT）IX

【求解示例】

（1半

解：

令y=1

IX丿

:

anX

两边取对数得

Iny=tanxln

对Iny求X—•0时的极限，IimInyXT

=Iim

X0

Ccl

..InX^）..

--Iim=Iim

x_0IL-

tanX

X,

tanXIn11

:

IXJJ

1

x_0

Inx

1

tanX

=-Iim

X；0

X

2

SeCX

2~

X

tan

=IimSin

XjX

0

2X0

Iim

Lx_0

sin2X

=Iim

x_0

IimIny

=ex0

XCQSX

1

0A

=e1

2sin

=0,

X

从而可得Iimy=Iimelny

‰-≠XT

O运用罗比达法则进行极限运算的基本思路

单调递减区间为1,2

【题型示例】证明：

当X0时，exX1【证明示例】

1.（构建辅助函数）设X=ex-x-1,（X0）

2.:

X=ex-10,（X0）

∙「x]"[0=0

3.既证：

当X0时，exX1

【题型示例】证明：

当X0时，In1X：

X

【证明示例】

1.（构建辅助函数）设X=In1∙X-X,（X0）

1

2.JX1：

：

0,（X0）

1+x

∙X：

0=0

3.既证：

当X0时，In1XX

O连续函数凹凸性（★★★）

【题型示例】试讨论函数y=「3x2-X3的单调性、极值、凹凸性及拐点

【证明示例】

2.令fXi=6<-1x[]-2=0,解得：

x1=1,X2=2

3.（三行表）

2

〔∣y,=-3χ+6x=—3x（x—2）

V=-6x+6=-6（x-1J

jyι~3χiχ-2=Ox<∣=O,X2=2

2•令解得：

12

y--6[X—1=0Jx=1

3∙（四行表）

X

（皿,0）

0

（0,1）

1

（1,2）

2

（2,母）

yj

—

0

+

+

0

—

y”

+

Z

+

—

Z

—

y

M

1

U

（1,3）

5

4.⑴函数y=1∙3χ2-X3单调递增区间为（0,1）,（1,2）

单调递增区间为（-：

：

，0）,（2,•：

：

）;

⑵函数y=1∙3χ2-X3的极小值在x=0时取到，

为f0=1,

极大值在X=2时取到，为f2=5；

23

⑶函数y=1∙3x-X在区间（-：

：

0）,（0,1）上凹，

在区间（1,2）,（2,二）上凸；

⑷函数y=1∙3χ2-X3的拐点坐标为1,3

第五节函数的极值和最大、最小值

O函数的极值与最值的关系（★★★）

⑴设函数fX的定义域为D,如果XM的某个邻

域UXMj二D,使得对一x∙UXM,都适合不

等式fX：

：

：

fXm,

我们则称函数f（X）在点Xm,f（XM）1处有极大

值fXm；

令XM■^XM1,xM2,XM3,...,XMnr>

贝U函数fX在闭区间∣a,b1上的最大值M满足:

MHmaXtfa,Xm1,Xm2,Xm3,∙∙∙,,fb?

；

⑵设函数fX的定义域为D,如果Xm的某个邻域

UXm］二D,使得对—X∙UXm,都适合不等

式fXfXm,

我们则称函数f（X）在点∙χm,f（xm）j处有极小值

令XmLxm1,xm2,Xm3,...,XmnP

则函数fX在闭区间∣a,b1上的最小值m满足:

m=minIfa

iXm1,Xm2,Xm3,…,Xmn,fb'「；【题型示例】求函数fX=3x-∙χ3在∣-1,3∣上的最值

【求解示例】

1∙∙∙∙函数fX在其定义域∣-1,31上连续，且可导

2

fX=-3x3

2.令fX--3x-1X1=0,

解得：

X1=-1,X2=1

3.（三行表）

X

-1

（-1,1）

1

（1,3】

L（X）

0

+

0

—

f（x）

极小值

Z

极大值

Z

4.又∙∙∙f：

；一1=-2,f1=2,f3=-18

•IfXmaX=f1=2,fXmin=f3I=〜18

第六节函数图形的描绘（不作要求）

第七节曲率（不作要求）

第八节方程的近似解（不作要求）

第四章不定积分

第一节不定积分的概念与性质

O原函数与不定积分的概念（★★）

⑴原函数的概念：

假设在定义区间I上，可导函数FX的导函数为Lx,即当自变量x∙I时，有F'x=fX或dFXi=fXdx成立，则称FX为fX的一个原函数

⑵原函数存在定理：

（★★）

如果函数fX在定义区间I上连续，则在I上必存在可导函数FX使得F■X=fX,也就是说：

连续函数一定存在原函数（可导必连续）

⑶不定积分的概念（★★）

在定义区间I上，函数fX的带有任意常数项

C的原函数称为fX在定义区间I上的不定积分，即表示为：

fXdX=F

（称为积分号，fX称为被积函数，fXdx称

为积分表达式，X则称为积分变量）

O基本积分表（★★★）

O不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）

||匕fXk2gXd^k^fXdXk^gXdX第二节换元积分法

O第一类换元法（凑微分）（★★★）

（dyfXdx的逆向应用）

f」X「XdXJf性XX

1

【题型示例】求2l

a

【题型示例】

1

1厂

a

-.,2x1

【求解示例】

1

解：

X1

二2x1C

O第二类换元法（去根式）（★★）

（dyfXdx的正向应用）

⑴对于一次根式（a=O,b∙R）:

Jt?

_b

.axb:

令t=一axb,于是X=，

a

则原式可化为t

⑵对于根号下平方和的形式（a0）:

丄-22"

、aX:

令X=atant（t）,

22

X

于是t=arctan,则原式可化为asect；

a

⑶对于根号下平方差的形式（a0）:

—22■

a.a-X:

令X=asint（t