重庆市中考数学题型复习 题型七 几何图形的相关证明及计算 类型五 构造直角三角形练习.docx
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重庆市中考数学题型复习题型七几何图形的相关证明及计算类型五构造直角三角形练习
类型五构造直角三角形
1.(2017重庆南开一模)如图,四边形ABCD为矩形,连接AC,AD=2CD,点E在AD边上.
(1)如图①,若∠ECD=30°,CE=4,求△AEC的面积;
(2)如图②,延长BA至点F使得AF=2CD,连接FE并延长交CD于点G,过点D作DH⊥EG于点H,连接AH,求证:
FH=
AH+DH.
第1题图
2.已知△ABC和△ADE都是等边三角形,点B,D,E在同一条直线上.
(1)如图①,当AC⊥DE,且AD=2时,求线段BC的长度;
(2)如图②,当CD⊥BE时,取线段BC的中点F,线段DC的中点G,连接DF,EG,求证:
DF=EG.
第2题图
3.如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为CB上一点,且满足CD=CA,连接AD.过点C作CE⊥AB于点E.
(1)若AB=10,BD=2,求CE的长;
(2)如图②,若点F是线段CE延长线上一点,连接FD,若∠F=30°,求证:
CF=AE+
DF;
第3题图
4.(2017重庆八中模拟)如图,△ABD是等腰直角三角形,点C是BD延长线上一点,F在AC上,AD=AF,E为△ADC内一点,连接AE、BE,AE平分∠CAD,AE⊥BE.
(1)若∠EBD=15°,求∠ADF;
(2)求证:
BE-AE=DF.
5.(2017重庆巴蜀一模)如图,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为AC上一点,连接BD,过C点作BD的垂线交BD的延长线于点E,连接AE,过点A作AF⊥AE交BD于点F,连接CF.
(1)若CE=2,AE=
,求BC的长;
(2)若点D为AC的中点,求证:
CF=2CD.
第5题图
6.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC的延长线上,连接AD,过点B作BE⊥AD,垂足为E,交AC于点F,连接CE.
(1)求证:
△BCF≌△ACD;
(2)猜想∠BEC的度数,并说明理由;
(3)探究线段AE,BE,CE之间满足的等量关系,并说明理由.
第6题图
答案
1.
(1)解:
在Rt△EDC中,
∵∠ECD=30°,
∴ED=
EC=
×4=2,
∴DC=EC·cos30°=4×
=2
,
∴AE=2DC-ED=4
-2,
∴S△AEC=
×AE×DC=
(4
-2)×2
=12-2
;
(2)证明:
如解图,过A作AM⊥AH,交FG于点M,
∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=90°,
又∵∠FAD=∠MAD+∠FAM=90°,∴∠FAM=∠DAH,
∵AF∥CD,
∴∠F=∠EGD,
∵DH⊥EG,
∴∠DHE=∠HDG+∠EGD=90°,∠EDG=∠EDH+∠HDG=90°,
∴∠EGD=∠EDH,
∴∠F=∠EDH,
又∵AF=2CD,AD=2CD,
∴AF=AD,
∴△AFM≌△ADH(ASA),
∴AM=AH,FM=DH,
∴△MAH是等腰直角三角形,
∴MH=
AH,
∵FH=MH+FM,
∴FH=
AH+DH.
第1题解图
2.
(1)解:
设AC与DE交于点F,如解图①所示:
∵△ABC和△ADE都是等边三角形,AC⊥DE,AD=2,
∴BC=AC,DE=AD=2,DF=
DE=1,AF=CF,
∴AF=
=
,
∴AC=2AF=2
,
∴BC=2
;
(2)证明:
连接CE、GF,如解图②所示:
∵△ABC和△ADE都是等边三角形,点B,D,E在同一条直线上.
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠AED=60°,
∴∠ADB=120°,∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠AEC=∠ADB=120°,
∴∠CED=∠AEC-∠AED=60°,
∵CD⊥BE,
∴∠DCE=30°,
∴DE=
CE,
∵点F为线段BC的中点,点G为线段DC的中点,
∴FG∥BD,FG=
BD,
∴FG∥DE,FG=DE,
∴四边形DFGE是平行四边形,
∴DF=EG.
第2题解图
3.
(1)解:
设AC=CD=x.
在Rt△ACB中,AB=10,AC=x,BC=CD+BD=x+2,
∵AB2=AC2+BC2,
∴102=x2+(x+2)2,
解得x=6或-8(舍),
∴AC=6,BC=8.
∵
·AC·BC=
·AB·CE,
∴CE=
=
.
(2)证明:
如解图,过点D作DH⊥CF于点H.
第3题解图
∵∠ACD=∠AEC=∠DHC=90°,
∴∠ACE+∠CAE=90°,∵∠ACE+∠BCE=90°,
∴∠CAE=∠DCH,
在△ACE和△CDH中,
∴△ACE≌△CDH(AAS),
∴AE=CH,
在Rt△DHF中,
∵∠DHF=90°,∠F=30°,
∴HF=DF·cos30°=
DF,
∴CF=CH+HF=AE+
DF.
4.
(1)解:
在△BGD和△AGE中,
∵∠BDG=∠AEG=90°,
∠BGD=∠AGE,
∴∠DBG=∠EAG,
∵∠DBG=15°,AE平分∠CAD,
∴∠DAC=30°,
∵AD=AF
∴∠ADF=75°,
(2)证明:
如解图,过D作DH⊥DE,交BE于点H,
第4题解图
∵∠BDA=∠EDH=90°,
∴∠BDH=∠ADE,
在△AED和△BHD中,
,
∴△AED≌△BHD(ASA),
∴DE=DH,
∴△DHE为等腰直角三角形,
∴∠DEH=45°,
∴∠DEA=135°,
在△DAE和△FAE中
,
∴△DAE≌△FAE(SAS),
∴∠AED=∠AEF=135°,DE=EF,
∴DH=EF,
∴△DEF为等腰直角三角形,
∴四边形HDFE为平行四边形,
∴HE=DF,
∵BE-BH=HE,BH=AE,
∴BE-AE=DF.
5.
(1)解:
∵AB=AC,AB⊥AC,BE⊥CE,
∴∠BEC=∠BAC=90°,
∵∠ADB=∠CDE,
∴∠ABF=∠ACE,
∵∠BAC=∠FAE=90°,
∴∠BAF=∠CAE,
∴△AFB≌△AEC(ASA),
∴BF=CE,AE=AF,
又∵在Rt△FAE中,AE=
,
∴EF=3,
在Rt△BEC中,BE=BF+EF=2+3=5,CE=2,
∴BC=
=
,
(2)证明:
如解图,过点A作AM⊥BE于点M,连接CM.
∴在Rt△ADM和Rt△CDE中,
,
∴△ADM≌△CDE(AAS),
∴CE=AM,
在Rt△AMF中,∠AFD=45°,∠FAM=45°,
∴CE=AM=FM=ME,
∴∠EMC=45°,
∴∠FMC=∠AMC=135°,CM=CM,
∴△FMC≌△AMC(SAS),
∴CF=AC=2CD.
第5题解图
6.
(1)证明:
∵BE⊥AD,∠ACB=90°,
∴∠CBE=∠CAD=90°-∠D,
在△BCF和△ACD中,
,
∴△BCF≌△ACD(ASA);
(2)解:
∠BEC=45°,
理由:
如解图,取AB的中点M,连接CM,EM,
∵AC=BC,∠ACB=90°,BE⊥AD,
∴CM=EM=AM=BM=
AB,
∴点A,B,C,E在同一个圆(⊙M)上,
∴∠BEC=∠BAC=45°;
(3)解:
BE=AE+
CE,
理由:
作CG⊥CE交BE于点G,
∵∠BEC=45°,
则∠CGE=45°=∠BEC,CG=CE,
∴∠BGC=135°=∠AEC,EG=
CE,
在△BCG和△ACE中,
∴△BCG≌△ACE(AAS),
∴BG=AE,
∴BE=BG+EG=AE+
CE.
第6题解图
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