完整版中考数学动态问题折叠中图形存在性问题含答案.docx
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完整版中考数学动态问题折叠中图形存在性问题含答案
专题06动点折叠类问题中图形存在性问题
、基础知识点综述
动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目.而从其中延伸出的折叠问题,更能体现其解题核心——动中求静,灵活运用相关数学知识进行解答,有时需要借助或构造一些数学模型来解答.
实行新课标以来,各省(市)的中考数学试卷都会有此类题目,这些题目往往出现在选择、填空题的
压轴部分,题型繁多,题意新颖,具有创新力.其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.要求学生具备:
运动观点;方程思想;数形结合思想;分类讨论思想;转化思想等等.存在性问题主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题,常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型,作图方法是借助圆规化动为静找落点.
解题思路:
分析题目→依据落点定折痕→建立模型→设出未知数列方程求解→得到结论.解题核心知识点:
折叠性质;
1折叠前后图形大小、形状不变;②折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线;
勾股定理;
相似图形的性质、三角函数等.
★等腰三角形存在性问题
解题思路:
依据圆规等先确定落点,再确定折痕;
★直角三角形存在性问题解题思路:
依据不同直角顶点位置分类讨论,作出图形求解.
二、精品例题解析
题型一:
折叠问题中等腰三角形存在性问题
例1.(2019·金水区校级模拟)如图,∠AOB=90°,点P为∠AOB内部一点,作射线OP,点M在射线OB上,且OM=3,点M与点M'关于射线OP对称,且直线MM'与射线OA交于点N,当△ONM'为等腰三角形时,ON的长为
例2.(2017·蜀山区期末)如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC≤BC,将△ABC沿EF折叠,使点A落在直角边BC上的D点,设EF与AB、AC分别交于点E、点F,如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形,则∠B=.
题型二:
折叠问题中直角三角形存在性问题
例3.(2017·营口)在矩形纸片ABCD中,AD=8,AB=6,E是边BC上的点,将纸片沿AE折叠,使点B落在点F处,连接FC,当△EFC为直角三角形时,BE的长为.
例4.(2019·唐河县三模)矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E为AD的中点,点P为线段AB上一个动点,连接EP,将△APE沿PE折叠得到△FPE,连接CE,CF,当△CEF为直角三角形时,AP的长为
3
例5.(2019·许昌二模)如图,已知平行四边形ABCD中,AB=16,AD=10,sinA=5,点M为AB边上一动点,过点M作MN⊥AB交AD边于点N,将∠A沿直线MN翻折,点A落在线段AB上的点E处.当△CDE为直角三角形时,AM的长为.
例6.(2019·金水区校级一模)如图,在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,点P为AC上一点,过点P
作PD⊥BC于点D,将△PCD沿PD折叠,得到△PED,连接AE.若△APE为直角三角形,则PC=
例7.(2019·卧龙区一模)如图,在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,点D为斜边AB上一点,DE⊥AB
例8.(2019·河南模拟)在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E,F分别为BC,AC上的两个动点,将△CEF沿EF折叠,点C的对应点为G,若点G落在射线AB上,且△AGF恰为直角三角形,则线段CF的长为
二、精品例题解析
题型一:
折叠问题中等腰三角形存在性问题
例1.(2019·金水区校级模拟)如图,∠AOB=90°,点P为∠AOB内部一点,作射线OP,点M在射线
OB上,且OM=3,点M与点M'关于射线OP对称,且直线MM'与射线OA交于点N,当△ONM'
分析】分三种情况讨论:
1当M'落在线段ON的垂直平分线上时,即M'N=M'O,
设∠ONM=x°,通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x=30°,进而利用三角函数求得ON的
长;
2当M'N=ON时,作出图形,得到∠ONM'度数,利用三角函数求解;
3当M'O=ON=OM=3,此时M、M'、N点不在一条直线上,与题意不符,此种情况不存在.
【答案】1或3.
【解析】解:
由△ONM'为等腰三角形,分以下三种情况讨论:
1当M'落在线段ON的垂直平分线上时,即M'N=M'O,如图所示,
设∠ONM'=x°,则∠OM'M=∠OMM'=2x°,
∵∠AOB=90°,
∴x+2x=90,解得:
x=30,
OM
在Rt△NOM中,ON=°=3;
tan30°
2当M'N=ON时,如下图所示,
MB
由①知:
∠NOM'=30°,过M'作M'H⊥OA于H,
1
∴HM'=OM'=
2
HM'
在Rt△HNM'中,NM'=°=1,
cos30°
即ON=1;
③当M'O=ON=OM=3,
MB
此时M、M'、N点不在一条直线上,与题意不符,此种情况不存在
故答案为:
1或3.
例2.(2017·蜀山区期末)如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC≤BC,将△ABC沿EF折叠,使点A落在直角边BC上的D点,设EF与AB、AC分别交于点E、点F,如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三
角形,则∠B=
【分析】由题意知,△CDF是等腰三角形,则CD=CF,
△BDE是等腰三角形时,分三种情况讨论:
①当DE=BD时,设∠B=x°,通过翻折性质及三角形内角和定理求得x=45;
2当BD=BE时,作出图形,设∠B=x°,通过翻折性质及三角形内角和定理求得x=30;
3当BE=DE时,得∠FDB=90°,∠FDB+∠CDF=135°≠180°,此时C、D、B点不在一条直线上,与题意不符,此种情况不存在.
【答案】45°或30°.
【解析】解:
由题意知,△CDF是等腰三角形,则CD=CF,∠CDF=∠CFD=45°,
∴∠FDB=135°,
△BDE是等腰三角形时,分以下三种情况讨论:
①当DE=BD时,见下图,
设∠B=x°,
则∠DEB=x,∠EDB=180°-2x,由折叠知:
∠A=∠FDE=90°-x,∴180-2x+90-x=135,解得:
x=45,即∠B=45°;
②当BD=BE时,如下图所示,
设∠B=x
则∠EDB=
180x
由折叠知:
∠A=∠FDE=90°-x,
180x+90-x=135,解得:
x=30,
2
即∠B=30
3当BE=DE时,得∠B=∠EDB,
∴∠FDB=∠FDE+∠EDB=∠A+∠B=90°,∠FDB+∠CDF=135°≠180°,此时C、D、B点不在一条直线上,与题意不符,此种情况不存在.
故答案为:
45°或30°.
题型二:
折叠问题中直角三角形存在性问题
例3.(2017·营口)在矩形纸片ABCD中,AD=8,AB=6,E是边BC上的点,将纸片沿AE折叠,使点B落在点F处,连接FC,当△EFC为直角三角形时,BE的长为.
【分析】根据题意作出图形,通过分析可知:
点E、F均可为直角顶点,因此分两种情况讨论,作出图
形后,根据勾股定理等知识求得结果.
【答案】3或6.
【解析】解:
∵AD=8,AB=6,四边形ABCD为矩形,
∴BC=AD=8,∠B=90°,根据勾股定理得:
AC=10.
由分析知,△EFC为直角三角形分下面两种情况:
①当∠EFC=90°时,如下图所示,
由折叠性质知:
∠AFE=∠B=90°,∠EFC=90°,AF=AB=6,∴A、F、C三点共线,又AE平分∠BAC,
∴CF=AC-AF=4,
设BE=x,则EF=x,EC=8-x,
在Rt△EFC中,由勾股定理得:
222
x2428x,
解得:
x=3,即BE=3;②当∠FEC=90°时,如下图所示.
由题意知:
∠FEC=90°,∠FEB=90∴∠AEF=∠BEA=45°,∴四边形ABEF为正方形,
∴BE=AB=6.
综上所述:
BE的长为3或6.
故答案为:
3或6.
例4.(2019·唐河县三模)矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E为AD的中点,点P为线段AB上一个动点,连接EP,将△APE沿PE折叠得到△FPE,连接CE,CF,当△CEF为直角三角形时,AP的长为
∠EFC=90°或∠FEC=90°,作出图形求解;
9
【答案】或1.
4
【解析】解:
分以下两种情况讨论:
所以点P、F、C在一条直线上,
∵EF=ED=3,
∴Rt△CEF≌Rt△CED,由勾股定理得:
CE=5,
∴CD=CF=4,
设AP=x,则PF=x,PC=x+4,BP=4-x,
在Rt△BCP中,由勾股定理得:
x
2
4
x
22
462,
9
9
解得:
x=
,即
AP=;
4
4
(2)
∠FEC=90°
,如下图所示,
过F作FH⊥AD于H,过P作PG⊥FH于G,易知∠EFH=∠ECD,
FHDE
∴EFCE,
FH3,
∴
35
9123
即FH=,∴EH=,AH=PG=,
555
由∠FPG=∠HFE,
∴cos∠FPG=cos∠HFE,
PGFH
即,
PFEF
39
55,
PF3,
解得:
PF=1;
9
故答案为:
或1.
例5.(2019
3
·许昌二模)如图,已知平行四边形ABCD中,AB=16,AD=10,sinA=,点M为AB
5
边上一动点,过点
M作MN⊥AB交AD边于点N,将∠A沿直线MN翻折,点A落在线段AB上的点E
DEC=90°,过D作
DH⊥AB于H,根据相似三角形的性质:
得到DH=6,AH=8,设EH=x,根据勾股定理得到x=8
﹣27,x=8+27(舍去),得AE=AH+HE=16﹣27,于是得到AM=8﹣7.
答案】4或8﹣7.
解析】解:
当△CDE为直角三角形时,
∴DE⊥AB,
由折叠知:
MN⊥AB,AM=EM,
∴MN∥DE,
1
∴AN=DN=AD=5,
2
MN3
由sinA==,
AN5
∴MN=3,AM=4;
②当∠DEC=90°,如下图所示,
过D作DH⊥AB于H,
由题意知:
∠HDC=90°,
∴∠HDC+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠HDE=∠DCE,
∴△DHE∽△CED,
DECD,
∴,
EHDE
3
∵sinA=,AD=10,∴DH=6,AH=8,
5
设EH=x,
∴DE=4x,
由勾股定理得:
DH2+HE2=DE2,62+x2=16x,解得:
x=8﹣27,x=8+27(不合题意舍去)∴AE=AH+HE=16﹣27,
∴AM=8﹣7,
故答案为:
4或8﹣7.
例6.(2019·金水区校级一模)如图,在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,点P为AC上一点,过点P
答案】
作PD⊥BC于点D,将△PCD沿PD折叠,得到△PED,连接AE.若△APE为直角三角形,则PC=
15
16
解析】解:
当∠AEP=90°时,
4
cosC=,
5
设PC=x,在Rt△PDC中,sinC=3
5
34
所以PD=x,CD=x.
55
4
由折叠知:
DE=CD=x.
5
12
∴BE=BC﹣CE=x.
5
在△ABE和△EDP中,∠B=∠PDE,
∴∠BAE=∠PED.
∴△ABE∽△EPD.
BE
DPx
15
,即5
3,解得x=
AB
DE,即53
4
16
故答案为
15
:
16
分析】根据勾股定理得到AB=10,分三种情况讨论:
∠CFE=90°,∠ECF=90°,∠CEF=90°时,得到结论.
7
【答案】或5.
5
【解析】解:
在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,
由勾股定理得:
AB=10,
∴∠1+∠2=∠B+∠A=90
由折叠知:
∠A=∠2,AE=EF,
∴∠1=∠B,即CF=BC=6,
在Rt△CEF中,由勾股定理得:
CE2=EF2+CF2,
CE2=(8﹣CE)2+62,
25
∴CE=
4
∴AE=
∴AD=
2)当∠ECF=90°时,点F与B重合,AD=5;
3)当∠CEF=90°时,则EF∥BC,∠AFE=∠B,
∵∠A=∠AFE,
∴∠A=∠B,
∴AC=BC(与题设矛盾),
∴这种情况不存在,故答案为:
7或5.
5
例8.(2019·河南模拟)在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E,F分别为BC,AC上的两个动点,将△CEF沿EF折叠,点C的对应点为G,若点G落在射线AB上,且△AGF恰为直角三角形,则线段CF的长为
2020
【答案】或.
79
【解析】解:
(1)当∠AFG=90°时,如下图所示,
设CF=y
可得:
△AFG∽△ABC
∴AFGF
ABBC
即5yy
34
20
解得:
x=;
7
(2)当∠AGF=90°时,如下图,
设CF=x
AC=5
在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,由勾股定理得:
由折叠知:
GF=FC.
∵∠AGF=∠ABC=90°
∴GF∥EC∴△AGF∽△ABC
AF
GF
AC
即5x
5
BC
解得:
x
4
20
故答案为:
9
2020
或.
79
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