线性代数重要公式.docx
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线性代数重要公式
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【线性代数重要公式】
1、行列式
1.n行列式共有n2个元素,展开后有n!
项,可分解为2n行列式;
2.代数余子式的性质:
1、Aj和aj的大小无关;
2、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为
3、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为IA;
代数余子式和余子式的关系:
Mij=(-1)ijAijAij=(J)ijMij
设n行列式D:
将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D,则Di=(_1)(JD;将D顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为D2,则D2=(-1)"TD;将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为D3,则DD;将D主副角线翻转后,所得行列式为D4,则D"D;行列式的重要公式:
1、主对角行列式:
主对角元素的乘积;
2、副对角行列式:
副对角元素的乘积(-1)"("■I);
3
、上、下三角行列式(、二X):
主对角元素的乘积;
④、匚和丄:
副对角元素的乘积(一1)"(T;
6、范德蒙行列式:
大指标减小指标的连乘积;
7、特征值;
6.对于n阶行列式A,恒有:
-AZ」(-1)kSk'njc,其中Sk为k阶主子式;
k=t7
7.证明A=0的方法:
①、A=-A;
2、反证法;
3、构造齐次方程组Ax=O,证明其有非零解;
4、利用秩,证明r(A):
n;
⑤、证明O是其特征值;
2、矩阵
1.A是n阶可逆矩阵:
A-0(是非奇异矩阵);
=r(A)=n(是满秩矩阵)
UA的行(列)向量组线性无关;
U齐次方程组AX=O有非零解;
=~bRn,AX=b总有唯一解;
UA与E等价;
-A可表示成若干个初等矩阵的乘积;
二A的特征值全不为0;
-ATA是正定矩阵;
=A的行(列)向量组是Rn的一组基;
UA是Rn中某两组基的过渡矩阵;
2.对于n阶矩阵A:
AA=AA=IAlE无条件恒成立;
3.(A丄)*=(A*)1(AI)T=(AT)1(A*)T=(AT)*
(AB)T=BTAT(AB)*=B*A*(AB)A=BAA亠
4.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;
5.关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:
A
若A=A匕,则:
I、AfA2IAS; U、A―匚; ■ IA亠J ②、IOo卜处O! ;(主对角分块) 9B丿2B才 3、OO∣oB亠;(副对角分块) IB0丿IA-Or 4、卜叮JA丄山七B十(拉普拉斯) IOB丿(OB丄丿, 1.一一个men矩确定的: 总阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一 HErOL; 仏OyA丄OY ICB)=I-BJCA丄B-/, 3、矩阵的初等变换与线性方程组 等价类: 所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; ⑤、 (拉普拉斯) 对于同型矩阵A、B,若r(A)=r(B)=A=B; 2.行最简形矩阵: 1、只能通过初等行变换获得; 2、每行首个非O元素必须为1; 3、每行首个非O元素所在列的其他元素必须为0; 3.初等行变换的应用: (初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) 1、若(A,E)I(E,X),则A可逆,且X=A丄; 2、对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成AdB,即: C (A,B)√E,A丄B); ③、求解线形方程组: 对于n个未知数n个方程Ax=b,如果(A,b)二(E,X), 则A可逆,且X=A丄b; 4.初等矩阵和对角矩阵的概念: 1、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定: 左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵; 2、A=,左乘矩阵A,入乘A的各行元素;右乘,花乘A的 '、、一入丿 各列元素; r1、 1 广1A 1 1 I1丿 I1丿 AB=0,贝则: ( AX=0解(转置运算后的结论); ③、对调两行或两列,符号E(i,j),且E(i,j宀E(i,j),例如: 例如: ④、倍乘某行或某列,符号E(i(k)),且E(i(k))-=E(i 1f1 1_k 1 k 1 1丿 矩阵秩的基本性质: ①、 ②、 ③、 ④、 的秩) ⑤、 ⑥、 ⑦、 ⑧、 5. 0 ⑤、倍加某行或某列,符号E(ij(k)),且E(ij(k))A=E(ij(-k)) 1-k 1 1 r(AT)=r(A); 若A=B,贝Ur(A)=r(B); 若P、Q可逆,则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵 max(r(A),r(B)) r(A■B)乞r(A)-r(B);(探) r(AB)_min(r(A),r(B));(探) 如果A是m5矩阵,B是n"矩阵,且 I、B的列向量全部是齐次方程组 U、r(A)r(B) ⑨、若A、B均为n阶方阵,则r(AB)_r(A)r(B)-n; 6.三种特殊矩阵的方幂: 1、秩为1的矩阵: 一定可以分解为列矩阵(向量)/亍矩阵(向量)的形式,再采用结合律; '1aC 2、型如01b的矩阵: 利用二项展开式; Q01J 二项展开式: (a+b)n=Can+cnan*卄+Cman^bm卄+cΓa1bn→Cnbn=丈Cmambj; mZe A 注: 1、(a∙b)n展开后有nT项; □、审=皿Z1)—C0=Cn=I 1雷會ggmm! (n_m)! 川、组合的性质: Cm=CnnJmCm1=Cnm-CnmlJCn=2"rCnr=nCnT; r_0,7 ③、利用特征值和相似对角化: 7.伴随矩阵: fnr(A)=n 1、伴随矩阵的秩: r(A*)=1 0r(A): : : n-1 2、伴随矩阵的特征值: A(AX-X,A=AA律A*X=AX); λλ ^③、IA=IAIA丄、A=IAn丄 8.关于A矩阵秩的描述: 1、r(A)=n,A中有n阶子式不为0,n1阶子式全部为0;(两句话) 2、r(A): : n,A中有n阶子式全部为0; 3、r(A)_n,A中有n阶子式不为0; 9.线性方程组: Ax=b,其中A为mn矩阵,贝I」: 1、m与方程的个数相同,即方程组A^b有m个方程; 2、n与方程组得未知数个数相同,方程组A^b为n元方程; 10.线性方程组A^b的求解: 1、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换); 2、齐次解为对应齐次方程组的解; Pm1am2 am^Xm/ n个未知数) 3. 4. 5. 込nJ 4、aXl≡2X2加-HanXn=I(线性表出) 5、有解的充要条件: r(A)=r(A,尢n(n为未知数的个数或维数) 1. "m构成nxm矢矩阵A=(耳,®,…,。 m); 4、向量组的线性相关性 m个n维列向量所组成的向量组A: : 1," m个n维行向量所组成的向量组B: P/,⅛r,…鹿构成mxn矩阵 含有有限个向量的有序向量组与矩阵对应; 1 2. 、向量组的线性相关、无关=AX=O有、无非零解;(齐次线 性方程组) 2、向量的线性表出二A^b是否有解;(线性方程组) 3、向量组的相互线性表示UAX=B是否有解;(矩阵方程)矩阵Am.与Bi/亍向量组等价的充分必要条件是: 齐次方程组AX=0和 BX=0同解;(PiOi例14) r(ATA)=r(A);(PiOi例15) n维向量线性相关的几何意义: 1、,线性相关0; 2、: J线性相关二: J坐标成比例或共线(平行); 3、: ;线性相关U「,共面; 6. 线性相关与无关的两套定理: 若h,>2,…,: 'S线性相关,则W2,…CsS1必线性相关; 若*2,…,: S线性无关,则: 1,ys」必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶) 若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量,构成n维向量组B: 若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之: 无关组延长后仍无关,反之,不确定; 7.向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为S)线性表示,且A线性无关,则^S(二版P74定理7); 向量组A能由向量组B线性表示,则r(AKr(B);(丘点定理3)向量组A能由向量组B线性表示 =AX=B有解; 二r(A)=r(A,B)(P*5定理2) 向量组A能由向量组B等价=r(A)=r(B)=r(A,B)(P85定理2推论) 8.方阵A可逆=存在有限个初等矩阵Pι,P? …,Pi,使A=PR…Pi; 1、矩阵行等价: A~BPA=B(左乘,P可逆)=AX=0与BX=0同解 2、矩阵列等价: A~BUAQ=B 3、矩阵等价: A~B=PAQ=B(P、Q可逆); 9.对于矩阵Amn与Bin: 1、若A与B行等价,则A与B的行秩相等; 2、若A与B行等价,则AX=O与BX=0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; 3、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; 4、矩阵A的行秩等于列秩; 10.若AmSBSn=Cmn,则: 1、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵; 2、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,AT为系数矩阵;(转置) 11.齐次方程组BX=0的解一定是ABX=0的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明; 1、ABX=0只有零解=BX=0只有零解; 2、BX=0有非零解二.ABX=0一定存在非零解; 12.设向量组Bn诚: b,b2,…,br可由向量组An遙: 讣2,…,线性表示为: (Pi0题19结论) (b,b2,…,br)=(a1,a2,…,ajK(B=AK) 其中K为Sr,且A线性无关,则B组线性无关=r(K)=r;(B与K的列 向量组具有相同线性相关性) (必要性: ''r=r(B)=r(AK) 反证法) 注: 当,s时,K为方阵,可当作定理使用; 13.①、对矩阵Amn,存在Qnm,AQ=Em=「(A)”、Q的列向量线性无关;(P87) ②、对矩阵Am用,存在Pnm,PA=En=r(A)=n、P的行向量线性无关;14∙: '1,: 2,…,〉S线性相关 二存在一组不全为O的数K,k2,…,kS,使得kJ心2•…2s=O成立;(定义) XVl =心1。 2,…4)[=0有非零解,即Ax=O有非零解; 15.设^n的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程组AX=0的解集S的秩为: r(S)=n-r; 16.若*为AX=b的一个解,1,2「,n丄为AX=0的一个基础解系,则 …,©丄线性无关;(Pm题33结论) 5、相似矩阵和二次型 Lb^D1[b,b] b2=a2 [b2,ar]鸟”_[br4,6]b [b2,b2][Q4,Q丄] 3.对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4.①、A与B等价A经过初等变换得到B; 二PAQ=B,P、Q可逆;=r(A)=r(B),A、B同型; 2、A与B合同=CTAC=B,其中可逆; =XTAX与XTBX有相同的正、负惯性指数; 3、A与B相似UP-AP=B; 5.相似一定合同、合同未必相似; 若C为正交矩阵,则CTAC=BhA=B,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格); 6.A为对称阵,则A为二次型矩阵; 7.n兀二次型XTAX为正定: -A的正惯性指数为n; =A与E合同,即存在可逆矩阵C,使CTAC=E; -A的所有特征值均为正数; UA的各阶顺序主子式均大于O; NQ∣A∣0;(必要条件)
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- 线性代数 重要 公式