春季新版华东师大版八年级数学下学期175实践与探索同步练习5.docx
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春季新版华东师大版八年级数学下学期175实践与探索同步练习5
华师大版八年级下册第17章反比例函数与三角形综合题专训(含答案)
一、反比例函数与等腰三角形结合
试题1、(2015常州)如图,反比例函数y=
的图象与一次函数y=
x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方.
(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△PAB的面积;
(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证:
△PMN是等腰三角形;
(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合),连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由.
【解答】解:
(1)k=4,S△PAB=15.
提示:
过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,
设AP与y轴交于点C,如图1,
把x=4代入y=
x,得到点B的坐标为(4,1),
把点B(4,1)代入y=
,得k=4.
解方程组
,得到点A的坐标为(﹣4,﹣1),
则点A与点B关于原点对称,
∴OA=OB,
∴S△AOP=S△BOP,
∴S△PAB=2S△AOP.
设直线AP的解析式为y=mx+n,
把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,
求得直线AP的解析式为y=x+3,
则点C的坐标(0,3),OC=3,
∴S△AOP=S△AOC+S△POC
=
OCAR+
OCPS
=
×3×4+
×3×1=
,
∴S△PAB=2S△AOP=15;
(2)过点P作PH⊥x轴于H,如图2.
B(4,1),则反比例函数解析式为y=
,
设P(m,
),直线PA的方程为y=ax+b,直线PB的方程为y=px+q,
联立
,解得直线PA的方程为y=
x+
﹣1,
联立
,解得直线PB的方程为y=﹣
x+
+1,
∴M(m﹣4,0),N(m+4,0),
∴H(m,0),
∴MH=m﹣(m﹣4)=4,NH=m+4﹣m=4,
∴MH=NH,
∴PH垂直平分MN,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形;
(3)∠PAQ=∠PBQ.
理由如下:
过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.
可设点Q为(c,
),直线AQ的解析式为y=px+q,则有
,
解得:
,
∴直线AQ的解析式为y=
x+
﹣1.
当y=0时,
x+
﹣1=0,
解得:
x=c﹣4,
∴D(c﹣4,0).
同理可得E(c+4,0),
∴DT=c﹣(c﹣4)=4,ET=c+4﹣c=4,
∴DT=ET,
∴QT垂直平分DE,
∴QD=QE,
∴∠QDE=∠QED.
∵∠MDA=∠QDE,
∴∠MDA=∠QED.
∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.
∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA,∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED,
∴∠PAQ=∠PBQ.
试题2、(2016黄冈校级自主招生)如图,直线OB是一次函数y=2x的图象,点A的坐标是(0,2),点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形,求C点坐标.
【解答】解:
若此等腰三角形以OA为一腰,且以A为顶点,则AO=AC1=2.
设C1(x,2x),则得x2+(2x﹣2)2=22,
解得
,得C1(
),
若此等腰三角形以OA为一腰,且以O为顶点,则OC2=OC3=OA=2,
设C2(x′,2x′),则得x′2+(2x′)2=22,解得
=
,
∴C2(
),
又由点C3与点C2关于原点对称,得C3(
),
若此等腰三角形以OA为底边,则C4的纵坐标为1,从而其横坐标为
,得C4(
),
所以,满足题意的点C有4个,坐标分别为:
(
),(
),(
),C4(
).
试题3、(2011广西来宾,23,10分)已知反比例函数的图像与一次函数图像交于点A(1,4)和B(m,-2).
(1)求这两个函数的关系式.
(2)如果点C与点A关于x轴对称,求△ABC的面积。
(3)点P是X轴上的动点,△AOP是等腰三角形,求点P的坐标。
二、反比例函数与等边三角形结合
试题1、如图,直线y=2x+4与x,y轴分别交于A,B两点,以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,将点C向左平移,使其对应点C′恰好落在直线AB上,则点C′的坐标为 (﹣1,2) .
解:
∵直线y=2x+4与y轴交于B点,
∴x=0时,得y=4,∴B(0,4).
∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,
∴C在线段OB的垂直平分线上,
∴C点纵坐标为2.
将y=2代入y=2x+4,得2=2x+4,解得x=﹣1.
故答案为:
(﹣1,2).
试题2、(2015黄冈校级自主招生)如图,△AOB和△ACD均为正三角形,且顶点B、D均在双曲线
(x>0)上,则图中S△OBP=( )
A.
B.
C.
D.4
【解答】解:
∵△AOB和△ACD均为正三角形,
∴∠AOB=∠CAD=60°,
∴AD∥OB,
∴S△ABP=S△AOP,
∴S△OBP=S△AOB,
过点B作BE⊥OA于点E,则S△OBE=S△ABE=
S△AOB,
∵点B在反比例函数y=
的图象上,
∴S△OBE=
×4=2,
∴S△OBP=S△AOB=2S△OBE=4.
故选D.
试题3、(2013黄冈模拟)如图,△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形,点P1、P2在函数
的图象上,斜边OA1、A1A2都在x轴上,则点A2的坐标是( )
A.(
,0)B.(
,0)C.(
,0)D.(
,0)
【解答】解:
(1)根据等腰直角三角形的性质,可设点P1(a,a),
又y=
,
则a2=4,a=±2(负值舍去),
再根据等腰三角形的三线合一,得A1的坐标是(4,0),
设点P2的坐标是(4+b,b),又y=
,则b(4+b)=4,
即b2+4b﹣4=0,
又∵b>0,∴b=2
﹣2,
再根据等腰三角形的三线合一,
∴4+2b=4+4
﹣4=4
,
∴点A2的坐标是(4
,0).
故选C.
三、反比例函数与直角三角形结合
试题1、(2015大连模拟)如图,以Rt△AOB的直角顶点O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,C为AB的中点,将一个足够大的三角板的直角顶点与C重合,并绕点C旋转,直角边CM、CN与边OB、OA相交于E、F.
(1)如图1,当∠ABO=45°时,请直接写出线段CE与CF的数量关系:
CE=CF .
(2)如图2,当∠ABO=30°时,请直接写出CE与CF的数量关系:
FC=
EC .
(3)当∠ABO=α时,猜想CE与CF的数量关系(用含有α的式子表示),并结合图2证明你的猜想.
(4)若OA=6,OB=8,D为△AOB的内心,结合图3,判断D是否在双曲线y=
上,说明理由.
【解答】解:
(1)如图1,连接OC,
∵∠AOB=90°,∠MCN=90°,
∴四边形OFCE共圆,
∵∠ABO=45°,C为AB的中点,
∴∠EOC=∠FOC=45°,
∴CE=CF,
故答案为:
CE=CF.
(2)如图2,连接OC,
∵∠AOB=90°,∠MCN=90°,
∴四边形OFCE共圆,此圆为⊙G,设半径为r,作GP⊥FC,连接GF,
∵∠ABO=30°,C为AB的中点,
∴∠BOC=30°,
∴∠FOC=60°,可得∠FGP=60°,
∴FC=2FP=
r,
同理可得EC=r,
∴FC=
EC.
故答案为:
FC=
EC.
(3))如图2,连接OC,
∵∠AOB=90°,∠MCN=90°,
∴四边形OFCE共圆,此圆为⊙G,设半径为r,作GP⊥FC,连接GF,
∵∠ABO=α,C为AB的中点,
∴∠BOC=α,
∴∠FOC=90°﹣α,可得∠FGP=90°﹣α,
∴FC=2FP=2rsin(90°﹣α),
同理可得EC=2rsinα,
∴FC:
EC=sin(90°﹣α):
sinα,
∴FC=
EC.
(4)如图3,
∵OA=6,OB=8,
∴AB=
=
=10,
设OC为x,AC=6﹣x,
∵D为△AOB的内心,
∴OE=x,BE=8﹣x,
∴8﹣x+6﹣x=10,
∴x=2,
∴点D(2,2).代入双曲线y=
不成立,
∴D不在双曲线y=
上,
四、反比例函数与等腰直角三角形结合
试题1、如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3…都在x轴上,点B1,B2,B3…都在直线y=x上,△OA1B1,△B1A1A2,△B2B1A2,△B2A2A3,△B3B2A3…都是等腰直角三角形,且OA1=1,则点B2015的坐标是( )
A.C.
解:
∵OA1=1,∴点A1的坐标为(1,0),
∵△OA1B1是等腰直角三角形,
∴A1B1=1,∴B1(1,1),
∵△B1A1A2是等腰直角三角形,
∴A1A2=1,B1A2=
,
∵△B2B1A2为等腰直角三角形,
∴A2A3=2,∴B2(2,2),
同理可得,B3(22,22),B4(23,23),…Bn(2n﹣1,2n﹣1),
∴点B2015的坐标是(22014,22014).
故选:
A.
试题2、(2015仪征市一模)如图,点A是双曲线y=
在第一象限上的一动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为斜边作等腰Rt△ABC,点C在第二象限,随着点A的运动,点C的位置也不断的变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为 y=﹣
.
【解答】解:
连结OC,作CD⊥x轴于D,AE⊥x轴于E,如图,
设A点坐标为(a,
),
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=
的交点,
∴点A与点B关于原点对称,
∴OA=OB
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴OC=OA,OC⊥OA,
∴∠DOC+∠AOE=90°,
∵∠DOC+∠DCO=90°,
∴∠DCO=∠AOE,
∵在△COD和△OAE中
∴△COD≌△OAE(AAS),
∴OD=AE=
,CD=OE=a,
∴
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