《概率论与数理统计》试题A.docx
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《概率论与数理统计》试题A
06-07-1概率论与数理统计》试题A
一、填空题(每题3分,共15分)
1•设A,B相互独立,且P(AB)=0.8,P(A)=0.2,则
P(B)=•
2
2.已知X〜N(2, 3.设X与Y相互独立,且E(X)=2,E(Y)=3,D(X)二D(Y)=1,则E[(X—Y)2]=___ 4.设Xi,X2,山,Xn是取自总体N(~;「2)的样本,则统计量 n (xj_卩)2服从布. 5 5.设X~B(2,p),Y〜B(3,p),且P{X>^}=-,则P{Y>1}= 9 二、选择题(每题3分,共15分) 1.一盒产品中有a只正品,b只次品,有放回地任取两次,第二次取到正品的概率为【】 (A)旦丄;(B);(C)丄;(D)亠彳. a+b-1(a+b)(a+b-1)a+b(a+b丿 2.设随机变量X的概率密度为px=C1"X3则方差D(X)=【】 *f10,其他 11 (A)2;(B);(C)3;(D). 23 3.设A、B为两个互不相容的随机事件,且PB0,则下列选项必 然正确的是【】 (A)P(A)=1-P(B);(B)P(AB)=0;(C)P(AB)=1; DPAB=0. 4.设fx=sinx是某个连续型随机变量X的概率密度函数,则X的取 值范围是【】 A0,寸;Bb,: : 1;C--2,^2; D: '牛- 5•设X〜NJc2,丫二aX-b,其中a、b为常数,且a=0, 则丫〜【】 ANa」-b,a2二2-b2BNa.邛b,al2-b2;CNaUb,a2;「2;DNaA-b,a2;「2. 三、(本题满分8分)甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.5和0.4,现已知目标被命中,求它是乙命中的概率. A 四、(本题满分12分)设随机变量X的密度函数为f(x)二, e+e 求: 1 (1)常数A; (2)P{0: : : Xln3};(3)分布函数F(x). 五、(本题满分10分)设随机变量X的概率密度为 ‘6x(1_x),0cxc1 (X戶、0,其他 求丫=2X-1的概率密度 六、(本题满分10分)将一枚硬币连掷三次,X表示三次中出现正面的 (1)系数A; (2)X,Y的边缘密度函数;(3)问X,Y是否独 立。 八、(本题满分10分)设总体X的密度函数为 f(x,B)=E阿x>1 .0,x兰1 其中未知参数一: 1,Xi,X2,…,Xn为取自总体X的简单随机样本,求参数1的矩估计量和极大似然估计量• 九、 (本题满分10 分) 设总体X~N: 匕 二2,其中且亠与二2都未 知, -: : 2a -0•现从总体X 中抽取容量n=16的样本观 测 值X1,X2,■ x16,算出 116 xxi=503.75, 16心 1162 s: ..—二Cx-x=6.2022,试在置信水平10.95下,求」的V15y 置信区间• (已知: 気5(15)=1.7531,10.05(16)=1.7459,t°.°25(15)=2.1315,to.02516=2.1199). 07-08-1《既率论与数理统计》试题A 1.选择题(将正确的答案填在括号内,每小题4分,共20分) 1•检查产品时,从一批产品中任取3件样品进行检查,则可能的结果 是: 未发现次品,发现一件次品,发现两件次品,发现3件次品。 设事件 A表示发现i件次品”i=0,1,2,3。 用Ao,Ai,A2,A3表示事件发现 1件或2件次品",下面表示真正确的是() (A)A1A2;(B)AlA2;(C)AoAlA2;(D)A3AlA2. 2•设事件A与B互不相容,且PA=0,PB=0,则下面结论正确的是() (A)A与B互不相容;(B)PBA0; (C)PAB=PAPB;(D)PAB=PA. 3.设随机变量X~N1,2,Y~N2,4,且X与Y相互独立,则 2X_Y(A)2XY~N0,1;(B)2X~N0,1; 2yl3 (C)2XY1~N1,9;(D)2——'~N0,1. 2、3 4•设总体X~N」M2,」,;—是未知参数,X1,X2,…,Xn是来 自总体的一个样本,则下列结论正确的是() 1n_ (A)S2(Xi—X)2〜2(n-1); n-1y 1n一 (B)—、(Xi-X)2〜2(n); ni二 (0匸半Wx")2〜2(n—1); i吕 1n一 (Df(Xi-X)2〜2(n) CTi二 5•设总体X~Nd;「2,X1,X2,…,Xn是来自总体的一个样本,则二2的无偏估计量是() (A)^^£仗匚-X2;(B)n-1i台 n_n 丄E(Xi—X2;(C)丄瓦x2;(D)X2.nidni=1 填空(将答案填在空格处,每小题4分,共20分) 1•已知A,B两个事件满足条件PAB=PAB,且PAAp,则 P(B)=. 111 2•3个人独立破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为-,一,-,则 543 此密码被破译出的概率是 3•设随机变量X的密度函数为…2;0其: 他1,,用Y表示对X的 3次独立重复观察中事件X出现的次数,则 PY=2二. 4•设两个随机变量X和Y相互独立,且同分布: PX=—1二PY=—1,PX=1二PY=1=? ,则 PX二 0,xcO 5•设随机变量X的分布函数为: F(x)=Asinx,0兰x誇,则 1,x- I.2 A=: 三.计算 1.(8分)盒中放有10个乒乓球,其中有8个是新的。 第一次比赛从中任取2个来用,比赛后仍放回盒中。 第二次比赛时再从盒中取2个,求第二次取出的球都是新球的概率。 2.(6分)设随机变量X和Y独立同分布,且X的分布律为: 12 PX-1,PX=2二 33 求Z二XY的分布律。 3.(12分)设随机变量X的密度函数为: _x fxi=Cex (1)试确定常数C; (2)求P(X|");(3)求Y=X2的密度函数。 4.(20分)设二维连续型随机变量X,Y的联合概率密度为: 1 <1,y<1 其他 xyfx,y二4i0 (1)求随机变量X和Y的边缘概率密度; (2)求EX,EY和DX,DY; (3)X和Y是否独立? 求X和Y的相关系数RX,Y,并说明X和 Y是否相关? (4)求PXY1o 5.(6分)设总体X的分布律为 X_1 PX=Xpx-1,2,,X1,X2,,Xn是来自总体X的 一个样本°求参数P的极大似然估计° 6.(8分)食品厂用自动装罐机装罐头食品,每罐的标准重量为500g°每隔一定的时间,需要检验机器的工作情况°现抽得10罐,测得其重量 (单位: g)的平均值为X=498,样本方差s2=6.52°假定罐头的重量X~N2,试问机器的工作是否正常(显著性水平 =0.02)? (Uo.oi=2.33,to.oi9-2.82,to.oi10-2.76) 08-09-1《既率论与数理统计》试题A 一、填空题(每题3分,共15分) 1、已知随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,且随机变量 Z=2X—2,则E(Z)= 2、设A、B是随机事件,PA=0.7,PA-B=0.3,则PAB 3、设二维随机变量X,Y的分布列为 1 2 3 1 1 1 1 6 9 18 2 1 a P 3 若X与Y相互独立,则八]的值分别为。 4、设D(X)=4,D(Y)=1,R(X,Y)=0.6,贝UD(X—Y)= 5、设Xi,X2」l),Xn是取自总体N(d;「)的样本,则统计量 1n (Xi」)2服从分布. i1 二、选择题(每题3分,共15分) 1.一盒产品中有a只正品,b只次品,有放回地任取两次,第二次取到 正品的概率为【】 (A)a1;(B)辿日;(C)a;(D)」 a+b_1(a+b)(a+b_1)a+b(a+b丿 2、设事件A与B互不相容,且PA=0,PB=0,则下面结论正确的是【】 (A)A与B互不相容;(B)P(BA、>0; X与Y分别服从正态分布N0,1和 <、1(B)PXYE1二 2 j1 (D)PX-Y乞1二 2 3、设两个相互独立的随机变量 N1,1,则【】 (A)PXY乞0=~; 2 1 (C)PX-Y"= 2 4、如果X,Y满足D(X'Y)=DX-Y,则必有【】 (A)X与Y独立;(B)X与Y不相关;(C)DY=O;(D) DX=0 5、设相互独立的两个随机变量X与Y具有同一分布律,且X的分布律 X 01 P 11 22 则随机变量Z-maxX,Y的分布律为【】 11 (A)Pz=0,Pz=1;(B)Pz=0=1,Pz=1=0; 22 1331 (C)Pz=0,Pz=1;(D)Pz=0,Pz=1= 4444 三、(本题满分8分)两台机床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02,已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍,加工出来的零件放在一起,求: 任意取出的零件是合格品(A)的概率. 四、(本题满分10分)将一枚硬币连掷三次,X表示三次中出现正面的 次数,Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值,求: (1)(X,Y)的联合概率分布; (2)PYX? 五、(本题满分12分)设随机变量X~N0,1,Y=X2•1,试求 随机变量Y的密度函数. 立。 个样本, ⑴•求未知参数、-2的极大似然估计量;: ? 2; ⑵.判断? 是否为未知参数的无偏估计. 九、(本题满分8分)设总体X~NJ,匚2,其中且」与二2都未知, --: : : ■「: : •: : ,匚20.现从总体X中抽取容量n=16的样本观测值 -116 X1,X2,,X16,算出xXi=503.75, 16 s=J丄送(Xi-乂丫=6.2022,试在置信水平1一。 =0.95下,求卩的.15心 置信区间.(已知: t0.05(15)=1.7531,t0.05(16)=1.7459,t°.025(15)=2.1315,t°.025(16)=2.1199). 06-07-1《既率论与数理统计》试题A参考答案 、1.0.75;2.0.2;3.3;4.Z2(n);5. 19 27 二、1、 (C);2、(D);3.B;4、A;5、D 三、解: 设A表示事件甲命中目标”,B表示事件乙命中目标",则AB表示目标被命中”,且 P(AUB)=P(A)P(B)-P(AB) 二P(A)P(B)-P(A)P(B)=0.50.4-0.50.4=0.7所求概率为P(B/AUB)二P[B(AB)] p(aUb) 。 号1 —1 FyW) 二026x(1—x)dx-1)2(4-y); y—11 当1即y3时,Fy(y)=06x(1-x)dx=1; 2'0 0,g 12 FY(y)=fy—1)(4—y).Icy兰3 4 、1,心 「3 所以fY(y)=q(y一1)(3一y),1vy* 、0,其他 六、解: 由题意知,X的可能取值为: 0,1,2,3;Y的可能取值为1,3•且 P'X=0,丫£, 1 228, P「X=2,Y=1;弋2 121J 2328, 二A。 廿dXo '=e^yd^-A 12 所以A=2. )X的边缘密度函数 fx(x)=j]f(x,y)dy=* -x e 0, x0 其他 右y J0, (3)因f(x,y)二fx(x)fY(y),所以X,Y是独立的. 4=o-hePp 八、解: E(X)Xf(x)dxx1dx= Y的边缘密度函数: fY(y)= -Ho J=f(x,y)dx=丿 y0 其他 1-1 X-1 Pn 似然函数为L(0)f(Xi,B) 肚丿 •°, Xi1(i=1,2,,n) 令EX=X,即X,得参数一: 的矩估计量为 : -1 其他 当Xi1(i=1,2-,n)时,L(-)0, n lnL(nln11)'TnXj i=1 n -InXj=0 i4 dlnL(Jn 得参数1的极大似然估计值为 九、解: 由于正态总体nil,置信区间为 — n 'Inxi i=4 -2中期望J与方差二2都未知,所以所求 由: =0.05, -S- X--如(n-1)X n=16,得0.025.查表,得t002515=2.1315. 2 -^怙(nT).Jn 本观测值 得X二丄'Xj=503.75, 16日 ]6x-x2=6.2022. ■15i3 所以,X-St: .n-1=503.75-6.20222.1315=500.445, .•: n2「16 507.055, st_n-1=503.756.20222.1315 、n2、16 因此所求置信区间为500.445,507.055 07-08-1概率论与数理统计》试题A参考答案 一.1• B;2D•; 3•B;4 •C; 5•A. 二.1• PB=1 -P;2• 3; —; 3•—;4• 1 ;5•1. 5 64 2 三.1• 解: 设用 Ai表示: 第一 次比赛取出的两个球中有 i个新球”, i=0,1,2; 784 PB=PAoPBAoPAiPBAiPA? PBA? 0.387 2025 2•解: Z二X的可能取值为2,3,4,贝y 111PZ=2=PX=1,Y=1= 339 」」」12214 PZ=3UPX=1,Y=2PX=2,Y=1二 33339 PZ=4二PX=2,Y=2=2-=~ 339 所以Z=XY的分布律为 Z 2 3 4 P 1 4 4 9 9 9 -bey.-beI-be 解 (1)=fxdx「_: Ce乐=乳oe^dx=2CN 1 得: C 2 fx=亠卡[7x 2 (2)P(X<1)= (3)当y0时, 当y-0时, 1 e」dx二1 11-x| e1 •_j2 Fyi=PX2乞yi=0; )=p(-V7兰x兰J7)= e小Xdx =Fe」dx 0 0, ey y_0 4.解 (1)当X<1时, -be fxX「;fX,ydy二二 1xy -oO 4dy 1 (2, 0, 1 X<1 其他 同理fYy二2, I0, y1 其他 (2)EX二 _■xfXxdx二 f-d^0 」2 同理: EY=.yfYydy=0 EX2 ,七02 x J-=C 1x2 fXxdx「L 同理: EY2二: : y2fYydy=1 3 1 EX"2于Q 同理: DY=EY2-EY2 (3)由于fx,y=fxx彳丫y, 所以X和Y不独立。 EXY二xyfx,ydxdy二/y *qo '"xySdx' RX,Y」XY—EXEYJDXJDY 1-0 9_ 1 3 所以X和Y相关。 (4)PXY1=fx,ydxdy xy;: 1 111 3川’ 424 5.解: 似然函数为: n LpiriPXi二Xi i=1 01 」dx n )=口 i=1 1_x 79 〜xydyodx.」xydy96 n (1-p=pn(1-pgi lnLp二nlnp 令dlnLpn dp fn z n 'xi i=1 Xi -nIn1-p 得参数p的极大似然估计为 6.解: 假设Ho: 亠=500, X选择统计量: T- : 0=2 X 已: 」500 u“ -~t9 S10498—500 统计量的样本值: T0.97 6.5S/10 由于T=0.97vt0.01(9)=2.82,接受原假设H 0。 所以在显著性水 平〉=0.02下,可以认为自动装罐机工作正常 08~09-1学期概率论与数理统计》试题A参考答案 2c12 一、填空题: 1、2;2、0.4;3.o=—P=-;4、2.6;5、工2(n) 99 二、选择题: 1、C;2、D;3、B;4、B;5、C 三、解: 设Bi=取出的零件由第i台加工”(i=1,2) 21 PA]=PB1PARPB2PAB20.97—0.98=0.973 33 1,3•且 P=0,Y=3/=—i= 1「3 228,(11=1 28. 四、解: 由题意知,X的可能取值为: 0,1,2,3;Y的可能取值为 28,卩次曰‘丫曰匚。 ; p,: x=2,y=v=c32「i,P: X=3,Y=3: = 是, (1)(X,Y)的联合分布为 X 1 3 0 0 1 8 1 3 8 0 2 3 8 0 3 0 1 8 (2)PVX 8 五、解: 随机变量X的密度函数为 设随机变量丫的分布函数为Fyy,则有 FYy二PV X2岂y_1‘①.如果y-1乞0,即y乞1,则有Fyy=0; ②.如果yV,则有" FYy二P’X2乞y一1,y—1乞X空y—1' 2兰2yJ_x2 e2dxe2dx 鼻口■-2二o y1 re2dx 即Fv(y)才阪0edX 0y_1 所以, fYy=Fyy=2二 I1__ y-1 y」 1 2「y= y1 y_1 y1 y-1 i1Ix 六、解: ①E(X)二xe〒xdx=02 22 D(X)二E(X)-[E(X)] 1xl —hdx-O二0 2 ②Cov(X,X)=E(XX)-E(X)E(X)= 所以X与X不相关. 七、(本题满分10分) 解: (1)由1「二二f(x,y)dxdy「0: .0: Ae4x2y)dxdy .心_x 二A0edx0 亠.2y1 )eydy=丄A所以A=2 J2 _-be (2)X的边缘密度函数: fx(x)二f(x,y)dy= e~x 0, x0 其他 2e"y 、0,f(x,y)二fx(x)fy(y),所以X,y是独立的 ⑴.当二20为未知,而-: : : : : 」「: : •: : 为已知参数时,似然函 丄£(Xi-町; 2二2口 -He Y的边缘密度函数: fY(y)=Jf(x,y)dx=* _**^0 (3)因 八、解: 数为 n L(b2)=(2吨2戸exp* y0 其他 因而 所以 解得 n InL(ct2)=--ln(2兀er2卜——送(人一卩f22cry 厂InL二25丁人」2 Y22匚2i4 1n 宀丄—2 ni4 1 4-0 因此 221n2,匚2的极大似然估计量为: ? 2Xi-亠] ni二 2, 所以 ⑵.因为Xi~N」,二2i=1, X-」 △~N0,1i=1,2, CT EXj_」]=0,D〔Xj_」I-;「2 i=1,2,, 所以 所 E^Xi—42LE(Xi—卩F+D〔Xi—»]=因此,E? 2二E丄、Xi」2 ILni弓 1n1 =_'、ETXj_J-_-n;「2=;丁2 nin 1n 所以,;? 2=—乂[Xj-"是未知参数二2的无偏估计 ny 九、解: 由于正态总体N」,二2中期望丄与方差二2都未知, —S—S X—tjn-1)X+—n-1). (Jn空Jn空丿 n=16,得0.025.查表,得t002515=2.1315. 2 匚2i=1,2, 置信区间为 由、=0.05, 所以所求 观测值,得X二丄''Xi=503.75, 16i# 116_ s二'Xi-x2-6.202215i^ x—t: Jn-1-503.75■2.1315=500.445, 、n2*16 srn-1=5
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