高中数学导数大题压轴高考题选.docx
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高中数学导数大题压轴高考题选
函数与导数高考压轴题选
一.选择题(共2小题)
1.(2013•安徽)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,若f(x1)=x1<x2,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数为( )
A.3B.4C.5D.6
2.(2012•福建)函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:
①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;
②f(x2)在[1,]上具有性质P;
③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];
④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]
其中真命题的序号是( )
A.①②B.①③C.②④D.③④
二.选择题(共1小题)
3.(2012•新课标)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
三.选择题(共23小题)
4.(2014•陕西)设函数f(x)=lnx+,m∈R.
(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;
(Ⅱ)讨论函数g(x)=f′(x)﹣零点的个数;
(Ⅲ)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.
5.(2013•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=ex﹣ln(x+m)
(Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.
6.(2013•四川)已知函数,其中a是实数,设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的点,且x1<x2.
(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2﹣x1的最小值;
(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.
7.(2013•湖南)已知函数f(x)=.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)证明:
当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.
8.(2013•辽宁)已知函数f(x)=(1+x)e﹣2x,g(x)=ax++1+2xcosx,当x∈[0,1]时,
(I)求证:
;
(II)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
9.(2013•陕西)已知函数f(x)=ex,x∈R.
(Ⅰ)若直线y=kx+1与f(x)的反函数g(x)=lnx的图象相切,求实数k的值;
(Ⅱ)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数.
(Ⅲ)设a<b,比较与的大小,并说明理由.
10.(2013•湖北)设n是正整数,r为正有理数.
(Ⅰ)求函数f(x)=(1+x)r+1﹣(r+1)x﹣1(x>﹣1)的最小值;
(Ⅱ)证明:
;
(Ⅲ)设x∈R,记[x]为不小于x的最小整数,例如.令的值.
(参考数据:
.
11.(2012•辽宁)设f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b为常数),曲线y=f(x)与直线y=x在(0,0)点相切.
(I)求a,b的值;
(II)证明:
当0<x<2时,f(x)<.
12.(2012•福建)已知函数f(x)=axsinx﹣(a∈R),且在上的最大值为,
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明.
13.(2012•湖北)设函数f(x)=axn(1﹣x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数,曲线y=f(x)在(1,f
(1))处的切线方程为x+y=1
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的最大值;
(Ⅲ)证明:
f(x)<.
14.(2012•湖南)已知函数f(x)=ex﹣ax,其中a>0.
(1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图象上取定点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为K,证明:
存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=K恒成立.
15.(2012•四川)已知a为正实数,n为自然数,抛物线与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.
(Ⅰ)用a和n表示f(n);
(Ⅱ)求对所有n都有成立的a的最小值;
(Ⅲ)当0<a<1时,比较与的大小,并说明理由.
16.(2011•四川)已知函数f(x)=x+,h(x)=.
(Ⅰ)设函数F(x)=f(x)﹣h(x),求F(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)设a∈R,解关于x的方程log4[f(x﹣1)﹣]=log2h(a﹣x)﹣log2h(4﹣x);
(Ⅲ)试比较f(100)h(100)﹣与的大小.
17.(2011•陕西)设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f
(1)=0,导函数f′(x)=,g(x)=f(x)+f′(x).
(Ⅰ)求g(x)的单调区间和最小值;
(Ⅱ)讨论g(x)与的大小关系;
(Ⅲ)是否存在x0>0,使得|g(x)﹣g(x0)|<对任意x>0成立?
若存在,求出x0的取值范围;若不存在请说明理由.
18.(2011•四川)已知函数f(x)=x+,h(x)=.
(Ⅰ)设函数F(x)=18f(x)﹣x2[h(x)]2,求F(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)设a∈R,解关于x的方程lg[f(x﹣1)﹣]=2lgh(a﹣x)﹣2lgh(4﹣x);
(Ⅲ)设n∈Nn,证明:
f(n)h(n)﹣[h
(1)+h
(2)+…+h(n)]≥.
19.(2010•四川)设,a>0且a≠1),g(x)是f(x)的反函数.
(Ⅰ)设关于x的方程求在区间[2,6]上有实数解,求t的取值范围;
(Ⅱ)当a=e,e为自然对数的底数)时,证明:
;
(Ⅲ)当0<a≤时,试比较||与4的大小,并说明理由.
20.(2010•全国卷Ⅱ)设函数f(x)=1﹣e﹣x.
(Ⅰ)证明:
当x>﹣1时,f(x)≥;
(Ⅱ)设当x≥0时,f(x)≤,求a的取值范围.
21.(2010•陕西)已知函数f(x)=,g(x)=alnx,a∈R,
(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有共同的切线,求a的值和该切线方程;
(Ⅱ)设函数h(x)=f(x)﹣g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式;
(Ⅲ)对(Ⅱ)中的φ(a)和任意的a>0,b>0,证明:
φ′()≤≤φ′().
22.(2009•全国卷Ⅱ)设函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点x1、x2,且x1<x2,
(Ⅰ)求a的取值范围,并讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)证明:
f(x2)>.
23.(2009•湖北)在R上定义运算:
(b、c∈R是常数),已知f1(x)=x2﹣2c,f2(x)=x﹣2b,f(x)=f1(x)f2(x).
①如果函数f(x)在x=1处有极值,试确定b、c的值;
②求曲线y=f(x)上斜率为c的切线与该曲线的公共点;
③记g(x)=|f′(x)|(﹣1≤x≤1)的最大值为M,若M≥k对任意的b、c恒成立,试求k的取值范围.(参考公式:
x3﹣3bx2+4b3=(x+b)(x﹣2b)2)
24.(2009•湖北)已知关于x的函数f(x)=﹣x3+bx2+cx+bc,其导函数为f′(x).令g(x)=|f′(x)|,记函数g(x)在区间[﹣1、1]上的最大值为M.
(Ⅰ)如果函数f(x)在x=1处有极值﹣,试确定b、c的值:
(Ⅱ)若|b|>1,证明对任意的c,都有M>2
(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立,试求k的最大值.
25.(2008•江苏)请先阅读:
在等式cos2x=2cos2x﹣1(x∈R)的两边求导,得:
(cos2x)′=(2cos2x﹣1)′,由求导法则,得(﹣sin2x)•2=4cosx•(﹣sinx),化简得等式:
sin2x=2cosx•sinx.
(1)利用上题的想法(或其他方法),结合等式(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn(x∈R,正整数n≥2),证明:
.
(2)对于正整数n≥3,求证:
(i);
(ii);
(iii).
26.(2008•天津)已知函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中a,b∈R.
(Ⅰ)当时,讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若函数f(x)仅在x=0处有极值,求a的取值范围;
(Ⅲ)若对于任意的a∈[﹣2,2],不等式f(x)≤1在[﹣1,1]上恒成立,求b的取值范围.
四.解答题(共4小题)
27.(2008•福建)已知函数f(x)=ln(1+x)﹣x
(1)求f(x)的单调区间;
(2)记f(x)在区间[0,n](n∈N*)上的最小值为bn令an=ln(1+n)﹣bn
(i)如果对一切n,不等式恒成立,求实数c的取值范围;
(ii)求证:
.
28.(2007•福建)已知函数f(x)=ex﹣kx,
(1)若k=e,试确定函数f(x)的单调区间;
(2)若k>0,且对于任意x∈R,f(|x|)>0恒成立,试确定实数k的取值范围;
(3)设函数F(x)=f(x)+f(﹣x),求证:
F
(1)F
(2)…F(n)>(n∈N*).
29.(2006•四川)已知函数,f(x)的导函数是f′(x).对任意两个不相等的正数x1、x2,证明:
(Ⅰ)当a≤0时,;
(Ⅱ)当a≤4时,|f′(x1)﹣f′(x2)|>|x1﹣x2|.
30.(2006•辽宁)已知f0(x)=xn,其中k≤n(n,k∈N+),设F(x)=Cn0f0(x2)+Cn1f1(x2)+…+Cnnfn(x2),x∈[﹣1,1].
(1)写出fk
(1);
(2)证明:
对任意的x1,x2∈[﹣1,1],恒有|F(x1)﹣F(x2)|≤2n﹣1(n+2)﹣n﹣1.
函数与导数高考压轴题选
参考答案与试题解析
一.选择题(共2小题)
1.(2013•安徽)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,若f(x1)=x1<x2,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数为( )
A.3B.4C.5D.6
【解答】解:
∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,
∴f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根,
∴△=4a2﹣12b>0.解得=.
∵x1<x2,
∴,.
而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0,
∴此方程有两解且f(x)=x1或x2.
不妨取0<x1<x2,f(x1)>0.
①把y=f(x)向下平移x1个单位即可得到y=f(x)﹣x1的图象,
∵f(x1)=x1,可知方程f(x)=x1有两解.
②把y=f(x)向下平移x2个单位即可得到y=f(x)﹣x2的图象,∵f(x1)=x1,∴f(x1)﹣x2<0,可知方程f(x)=x2只有一解.
综上①②可知:
方程f(x)=x1或f(x)=x2.只有3个实数解.即关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的只有3不同实根.
故选:
A.
2.(2012•福建)函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:
①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;
②f(x2)在[1,]上具有性质P;
③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];
④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]
其中真命题的序号是( )
A.①②B.①③C.②
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