高中数学第一章算法初步13算法案例教学案新人教A版必修3.docx
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高中数学第一章算法初步13算法案例教学案新人教A版必修3
2021年高中数学第一章算法初步1.3算法案例教学案新人教A版必修3
预习课本P34~45,思考并完成以下问题
(1)如何求a,b,c的最大公约数?
(2)如何求两个数的最小公倍数?
1.辗转相除法
(1)辗转相除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法.
(2)辗转相除法的算法步骤:
第一步,给定两个正整数m,n.
第二步,计算m除以n所得的余数r.
第三步,m=n,n=r.
第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步.
2.更相减损术
(1)更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法.
(2)其基本过程是:
第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用2约简;若不是,执行第二步.
第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
[点睛]
辗转相除法与更相减损术的区别与联系
两种方法
辗转相除法
更相减损术
计算法则
除法
减法
终止条件
余数为0
减数与差相等
最大公约数的选取
最后一步中的除数
最后一步中的减数
计算特点
步骤较少,运算复杂
步骤较多,运算简单
相同点
同为求两个正整数最大公约数的方法,都是递归过程
3.秦九韶算法
把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改写成如下形式:
f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0,这种求n次多项式f(x)的值的方法叫秦九韶算法.
1.用更相减损术求98与63的最大公约数时,需做减法的次数为( )
A.4 B.5
C.6D.7
解析:
选C (98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7),∴共进行6次减法.
2.用“辗转相除法”求得168与486的最大公约数是( )
A.3B.4
C.6D.16
解析:
选C 486=168×2+150,168=150×1+18,150=18×8+6,18=3×6,故168与486的最大公约数为6.
3.有关辗转相除法下列说法正确的是( )
A.它和更相减损之术一样是求多项式值的一种方法
B.基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m=nq+r,直至r C.基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m=nq+r(0≤r D.以上说法皆错 解析: 选C 辗转相除法和更相减损之术都是求最大公约数的方法,故A错,而C中0≤r 4.已知多项式f(x)=4x5+3x4+2x3-x2-x- ,用秦九韶算法求f(-2)等于( ) A.- B. C. D.- 解析: 选A ∵f(x)=((((4x+3)x+2)x-1)x-1)x- ,∴f(-2)=- . 求最大公约数 [典例] 求228与1995的最大公约数. [解] 法一: (辗转相除法)1995=8×228+171,228=1×171+57,171=3×57, 所以228与1995的最大公约数为57. 法二: (更相减损术)1995-228=1767,1767-228=1539, 1539-228=1311,1311-228=1083, 1083-228=855,855-228=627, 627-228=399,399-228=171, 228-171=57,171-57=114, 114-57=57. 所以228与1995的最大公约数为57. 辗转相除法计算次数少,步骤简捷,更相减损术计算次数多,步骤复杂,但是更相减损术每一步的计算都是减法,比做除法运算要简单一些,一般当数较小时可以考虑用更相减损术,当数较大时可以考虑用辗转相除法. [活学活用] 用辗转相除法和更相减损术求1515与600的最大公约数,需要运算的次数分别为( ) A.4,15 B.5,14 C.5,13D.4,12 解析: 选B 辗转相除法: 1515=600×2+315;600=315×1+285,315=285×1+30,285=30×9+15,30=15×2,故最大公约数为15,且需计算5次.用更相减损术: 1515-600=915,915-600=315,600-315=285,315-285=30,285-30=255,255-30=225,225-30=195,195-30=165,165-30=135,135-30=105,105-30=75,75-30=45,45-30=15,30-15=15.故最大公约数为15,且需计算14次. 秦九韶算法的应用 [典例] 用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1,当x=2时的值. [解] 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=8x7+5x6+0·x5+3·x4+0·x3+0·x2+2x+1=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1. 而x=2,所以有 v0=8, v1=8×2+5=21, v2=21×2+0=42, v3=42×2+3=87, v4=87×2+0=174, v5=174×2+0=348, v6=348×2+2=698, v7=698×2+1=1397. 所以当x=2时,多项式的值为1397. 应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题 (1)要正确将多项式的形式进行改写. (2)计算应由内向外依次计算. (3)当多项式函数中间出现空项时,要以系数为零的齐次项补充. [活学活用] 用秦九韶算法写出当x=3时,f(x)=2x5-4x3+3x2-5x+1的值. 解: 因为f(x)=((((2x+0)x-4)x+3)x-5)x+1, v0=2,v1=2×3+0=6,v2=6×3-4=14,v3=14×3+3=45,v4=45×3-5=130,v5=130×3+1=391, 所以f(3)=391. 进位制 [典例] (1)把二进制数101101 (2)化为十进制数为________. (2)将十进制数458转化为四进制数为________. (3)比较85(9)和210(6)的大小. [解析] (1)101101 (2)=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20=32+8+4+1=45, 所以二进制数101101 (2)转化为十进制的数为45. (2) 所以458=13022(4). 答案: (1)45 (2)13022(4) (3)解: 因为85(9)=5+8×9=77, 210(6)=0+1×6+2×62=78, 而78>77,所以210(6)>85(9). 十进制数转化为其他进制数的方法步骤 [活学活用] (1)将101111011 (2)转化为十进制的数; (2)将235(7)转化为十进制的数; (3)将137(10)转化为六进制的数; (4)将53(8)转化为二进制的数. 解: (1)101111011 (2)=1×28+0×27+1×26+1×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1×20=379(10). (2)235(7)=2×72+3×71+5×70=124(10). (3) ∴137(10)=345(6). (4)53(8)=5×81+3×80=43(10). ∴53(8)=101011 (2). [层级一 学业水平达标] 1.用辗转相除法求294和84的最大公约数时,需要做除法运算的次数是( ) A.1 B.2 C.3D.4 解析: 选B 294=84×3+42,84=42×2,故需要做2次除法运算. 2.三位四进制数中的最大数等于十进制数的( ) A.63B.83 C.189D.252 解析: 选A 三位四进制数中的最大数为333(4),则333(4)=3×42+3×41+3=63. 3.把389化为四进制数,则该数的末位是( ) A.1B.2 C.3D.4 解析: 选A 由389=4×97+1,97=4×24+1,24=4×6+0,6=4×1+2,1=4×0+1,389化为四进制数的末位是第一个除法代数式中的余数1. 4.在对16和12求最大公约数时,整个操作如下: 16-12=4,12-4=8,8-4=4.由此可以看出12和16的最大公约数是( ) A.4B.12 C.16D.8 解析: 选A 根据更相减损术的方法判断. [层级二 应试能力达标] 1.4830与3289的最大公约数为( ) A.23 B.35 C.11D.13 解析: 选A 4830=1×3289+1541; 3289=2×1541+207; 1541=7×207+92; 207=2×92+23;92=4×23; ∴23是4830与3289的最大公约数. 2.用辗转相除法求72与120的最大公约数时,需要做除法次数为( ) A.4B.3 C.5D.6 解析: 选B 120=72×1+48, 72=48×1+24, 48=24×2. 3.用更相减损术求459与357的最大公约数,需要做减法的次数为( ) A.4B.5 C.6D.7 解析: 选B 459-357=102,357-102=255,255-102=153,153-102=51,102-51=51,所以459与357的最大公约数为51,共做减法5次. 4.下列各数,化为十进制后,最大的为( ) A.101010 (2)B.111(5) C.32(8)D.54(6) 解析: 选A 101010 (2)=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+0×20=42,111(5)=1×52+1×51+1×50=31,32(8)=3×81+2×80=26,54(6)=5×61+4×60=34. 故转化为十进制后,最大的是101010 (2). 5.阅读程序框图,利用秦九韶算法计算多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,当x=x0时,框图中A处应填入________. 解析: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,先用秦九韶算法改为一次多项式, f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. f1=an;k=1,f2=f1x0+an-1; k=2,f3=f2x0+an-2;…; 归纳得第k次fk+1=fkx0+an-k.故A处应填an-k. 答案: an-k 6.三进制数2012(3)化为六进制数为abc(6),则a+b+c=________. 解析: 2012(3)=2×33+0×32+1×31+2×30=59. 三进制数2012(3)化为六进制数为135(6),∴a+b+c=9. 答案: 9 7.三位七进制数表示的最大的十进制数是________. 解析: 最大的三位七进制数表示的十进制数最大,最大的三位七进制数为666(7),则666(7)=6×72+6×71+6×70=342. 答案: 342 8.10x1 (2)=y02(3),求数字x,y的值. 解: ∵10x1 (2)=1×20+x×21+0×22+1×23=9+2x, y02(3)=2×30+y×32=9y+2,∴9+2x=9y+2且x∈ ,y∈ ,所以x=1,y=1. 9.用秦九韶算法计算多项式f(x)=x6-12x5+60x4-160x3+240x2-192x+64,当x=2时的值. 解: 将f(x)改写为f(x)=(((((x-12)x+60)x-160)x+240)x-192)x+64,v0=1,v1=1×2-12=-10,v2=-10×2+60=40,v3=40×2-160=-80,v4=-80×2+240=80,v5=80×2-192=-32,v6=-32×2+64=0.所以f (2)=0,即x=2时,原多项式的值为0. (时间120分钟,满分150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列关于赋值语句的说法错误的是( ) A.赋值语句先计算出赋值号右边的表达式的值 B.赋值语句是把左边变量的值赋给赋值号右边的表达式 C.赋值语句是把右边表达式的值赋给赋值号左边的变量 D.在算法语句中,赋值语句是最基本的语句 解析: 选B 赋值语句的一般格式是: 变量名=表达式,其作用是把右边表达式的值赋给赋值号左边的变量,故B错误. 2.阅读如图所示的程序框图,下列说法正确的是( ) A.该框图只含有顺序结构、条件结构 B.该框图只含有顺序结构、循环结构 C.该框图只含有条件结构、循环结构 D.该框图包含顺序结构、条件结构、循环结构 解析: 选D 阅读程序框图,可知该程序框图含有顺序结构、循环结构、条件结构,故选D. 3.求下列函数的函数值时,其程序框图中需要用到条件结构的是( ) A.f(x)=-2x2+x B.f(x)=-2x-5 C.f(x)= D.f(x)=1-5x 解析: 选C 只有选项C中函数f(x)是分段函数,需分类讨论x的取值范围,要用条件结构来设计程序框图,A、B、D项均不需要用条件结构,故选C. 4.如果输入A=2015,B=2016,则下面一段程序的输出结果是( ) A.2016,2015B.2015,2015 C.2015,2016D.2016,2016 解析: 选D 输入A=2015,B=2016后,经过两个赋值语句,使得A,B中的值都为2016.故选D. 5.运行如图所示的程序,其结果为( ) A.192B.3840 C.384D.1920 解析: 选C 程序的功能为计算8×6×4×2的值,易知为384,故选C. 6.若运行如图所示的程序,最后输出y的值是7,那么应该输入的t的值可以为( ) A.-3B.3 C.3或-3D.3或-3或5 解析: 选D 程序中的函数为一个分段函数y= 若输出7,则 或 解得t的值为3或-3或5,故选D. 7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为( ) A.7B.6 C.5D.4 解析: 选B 第一次运行: S=0+(-1)1×1=-1<3;第二次运行: n=2,S=-1+(-1)2×2=1<3;第三次运行: n=3,S=1+(-1)3×3=-2<3;第四次运行: n=4,S=-2+(-1)4×4=2<3;第五次运行: n=5,S=2+(-1)5×5=-3<3;第六次运行: n=6,S=-3+(-1)6×6=3,满足S≥3.故输出n的值为6,故选B. 8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的结果是4,则程序框图中的处理框“①”处应填写的是( ) A.n=n-1B.n=n-2 C.n=n+1D.n=n+2 解析: 选C 因为起始n=1,输出的n=4,所以排除A、B.若“①”处填n=n+1.则S= =-1,n=2,判断-1≠2,继续循环;S= = ,n=3,判断 ≠2,继续循环;S= =2,n=4,判断2=2,则输出n的值为4,故选C. 9.执行如图所示的程序框图,若输出S= ,则输入整数n=( ) A.8B.9 C.10D.8或9 解析: 选D 在条件成立的情况下,执行第一次循环后,S= ,i=4;执行第二次循环后,S= ,i=6;执行第三次循环后,S= ,i=8;执行第四次循环后,S= ,i=10.若n=8或n=9,此时10≤n不成立,退出循环,输出S= ,因此n=8或n=9,故选D. 10.用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是( ) A.6,6B.5,6 C.5,5D.6,5 解析: 选A 由f(x)=(((((3x+4)x+5)x+6)x+7)x+8)x+1可以得知答案选A. 11.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6的值,当x=-4时,v4的值为( ) A.-57B.124 C.-845D.220 解析: 选D 依据秦九韶算法有v0=a6=3,v1=v0x+a5=3×(-4)+5=-7,v2=v1x+a4=-7×(-4)+6=34,v3=v2x+a3=34×(-4)+79=-57,v4=v3x+a2=-57×(-4)+(-8)=220,故选D. 12.下列各数中最小的数为( ) A.101011 (2)B.1210(3) C.110(8)D.68(12) 解析: 选A 101011 (2)=1×25+1×23+1×2+1=43,1210(3)=1×33+2×32+1×3=48,110(8)=1×82+1×8=72,68(12)=6×12+8=80,故选A. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.如图程序中,要求从键盘输入n,求1+2+3+…+n的和,则横线上缺的程序项是①________,②________. 解析: 程序应先输入一个n的值, 确定要计算前多少项的和, ②处应确定计数变量i满足的条件, 即确定终止条件. 答案: n i<=n 14.执行如图所示的框图所表达的算法,如果最后输出的S值为 ,那么判断框中实数a的取值范围是________. 解析: 当1≤a<2时,输出的S值为 = ; 当2≤a<3时,输出的S值为 = ; 当3≤a<4时,输出的S值为 = ;…; 当2015≤a<2016时, 输出的S值为 . 答案: [2015,2016) 15.如图是计算1+2+ +3+ +…+2014+ 的值的程序框图.图中空白的判断框应填________,处理框应填________. 解析: 读懂程序框图后,即可知判断框内要填“i≤2014? ”或“i<2015? ”,处理框内要填“S=S+i+ ”. 答案: i≤2014? (或i<2015? ) S=S+i+ 16.用更相减损术求36与134的最大公约数时,第一步应为________________________. 解析: ∵36与134都是偶数, ∴第一步应为: 先除以2,得到18与67. 答案: 先除以2,得到18与67 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)写出用辗转相除法求下列两组数的最大公约数的过程: (1)8251与6105; (2)6731与2809. 解: (1)8251=6105×1+2146; 6105=2146×2+1813; 2146=1813×1+333; 1813=333×5+148; 333=148×2+37; 148=37×4. ∴最后的除数37就是8251和6105的最大公约数. (2)6731=2809×2+1113; 2809=1113×2+583; 1113=583×1+530; 583=530×1+53; 530=53×10. ∴6731与2809的最大公约数为53. 18.(本小题满分12分)写出下面程序运行的过程,并写出运行结果. 解: 运行过程如下: i=1,S=0时,执行S=0+1=1,i=2; 由于S=1≤20,因此继续执行S=1+2=3,i=3; 由于S=3≤20,因此继续执行S=3+3=6,i=4; 由于S=6≤20,因此继续执行S=6+4=10,i=5; 由于S=10≤20,因此继续执行S=10+5=15,i=6; 由于S=15≤20,因此继续执行S=15+6=21,i=7; 这时S=21>20,结束循环,执行WEND后面的语句,因此程序的运行结果为7. 19.(本小题满分12分)用秦九韶算法求f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6当x=2时的值. 解: 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6,按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值. v0=3, v1=v0×2+8=3×2+8=14, v2=v1×2-3=14×2-3=25, v3=v2×2+5=25×2+5=55, v4=v3×2+12=55×2+12=122, v5=v4×2-6=122×2-6=238, 所以当x=2时,多项式的f(x)值为238. 20.(本小题满分12分)如图所示,在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,沿着边线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动.设点P运动的路程为x,△APB的面积为y,求y与x之间的函数关系式并画出程序框图. 解: 函数关系式为 y= 程序框图如图所示: 21.(本小题满分12分)用二分法求f(x)=x2-2(x>0)近似零点的程序框图如下图所示. (1)请在图中判断框内填上合适的语句,使之能完成该题算法功能; (2)根据程序框图写出程序. 解: (1)判断框内应填循环终止的条件: |a-b| . (2)根据框图,设计程序如下: 22.(本小题满分12分)某商场第一年销售计算机6000台,如果以后每年销售比上一年增加12%,那么从第一年起,大约经过几年可使总销量达到150000台? 画出解决此问题的程序框图,并写出程序. 解: 程序框图如图所示: 程序如下:
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