深圳市届高三第二次调研考试数学文试题含答案.docx
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深圳市届高三第二次调研考试数学文试题含答案
深圳市2018年高三年级第二次调研考试
数学(文科)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
2.设
为虚数单位,则复数
()
A.
B.
C.
D.
3.袋中装有外形相同的四个小球,四个球上分别标有2,3,4,6四个数,现从袋中随机取出两个球,则两球上数字之差的绝对值不小于2的概率为()
A.
B.
C.
D.
4.如图,在三棱柱
中,侧棱
底面
,且
是正三角形,若点
是上底面
内的任意一点,则三棱锥
的正视图与侧视图的面积之比为()
(注:
以垂直于平面
的方向为正视图方向)
A.
B.
C.
D.
5.设
是等差数列
的前
项和,若
,则
()
A.
B.
C.
D.
6.九连环是我国一种传统的智力玩具,其构造如图:
要将9个圆环全部从框架上解下(或套上),无论是那种情形,都需要遵循一定的规则.解下(或套上)全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图所示的程序框图得到,执行该程序框图,则输出结果为()
A.
B.
C.
D.
7.设函数
,若曲线
在点
处的切线经过坐标原点,则
()
A.
B.
C.
D.
8.设
为双曲线
:
(
,
)的右焦点,
是双曲线
右支上一点,且满足
,线段
的垂直平分线经过坐标原点,设
是线段
的中点,若
,则双曲线
的离心率为()
A.
B.
C.
D.
9.已知
,则函数
为()
A.奇函数B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数D.既非奇函数也非偶函数
10.已知直线
经过不等式组
所表示的平面区域,则实数
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
11.如图,在矩形
中,
,
,
、
分别为边
、
的中点,
为
和
的交点,则以
、
为长轴端点,且经过
的椭圆的标准方程为()
A.
B.
C.
D.
12.对
,不等式
恒成立,则实数
的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量
,
,若
,则
.
14.在
中,
,
,
,以
为轴将
旋转一周,所得几何体的外接球的表面积为.
15.已知数列
是一个各项均为正数的等比数列,且
,若
,则数列
的前2018项的和为.
16.如图,
,
为某市的两个旅游中心,海岸线
可看做一条直线,且与
所在直线平行,现计划将两个旅游中心与海岸线连接起来,由于地势原因,需在以
为直径的半圆上选定一点
,修建
,
,
三段公路,其中
,
,两平行直线
与
之间的距离为
,公路
和
段的造价均为6千万元/
,公路
段的造价为5千万元/
,为便于筹备充足资金,需要计算该项工程的最大预算,根据以上信息,这三段公路总造价的最大值为千万.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在
中,记内角
,
,
所对的边分别为
,
,
,已知
为锐角,且
.
(1)求角
;
(2)若
,延长线段
至点
,使得
,且
的面积为
,求线段
的长度.
18.耐盐碱水稻俗称“海水稻”,是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻.海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度
(‰)对亩产量
(吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表:
绘制散点图发现,可用线性回归模型拟合亩产量
与海水浓度
之间的相关关系,用最小二乘法计算得
与
之间的线性回归方程为
.
(1)求
,并估计当浇灌海水浓度为8‰时该品种的亩产量;
(2)(i)完成下列残差表:
(ii)统计学中常用相关指数
来刻画回归效果,
越大,模型拟合效果越好,如假设
,就说明预报变量
的差异有
是由解释变量
引起的.请计算相关指数
(精确到0.01),并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的?
(附:
残差公式
,相关指数
)
19.在四棱锥
中,侧棱
底面
,
,
,
是
的中点,
在线段
上,且
,已知
,
.
(1)证明:
平面
;
(2)将过
,
,
三点的平面
与侧棱
的交点记为
,
(i)确定点
的位置,并说明理由;
(ii)求四棱锥
的体积.
20.直线
经过抛物线
:
的焦点
,且与抛物线
交于
,
两点,抛物线
在
,
两点处的切线分别与
轴交于点
,
.
(1)证明:
;
(2)记
和
的面积分别为
和
,求
的最小值.
21.设函数
,其中
为自然对数的底数.
(1)若
,求
的单调区间;
(2)若
,求证:
无零点.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),圆
的参数方程为
(
为参数),圆
的参数方程为
(
为参数).若直线
分别与圆
和圆
交于不同于原点的点
和
.
(1)以直角坐标系的原点为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,求圆
和圆
的极坐标方程;
(2)求
的面积.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数
,
.
(1)求不等式
的解集;
(2)若
恒成立,求
的取值范围.
深圳市2018年高三年级第二次调研考试数学(文科)答案
一、选择题
1-5:
6-10:
11、12:
二、填空题
13.
14.
15.100916.222
三、解答题
17.解:
(1)由正弦定理可知:
,
∴
,
∴
,
∴
,
,
∴
,即
,
∴
,
,
∴
,即
,
∴
.
(2)设
,
,
∴
,
,
∴
,
,
,
∴
,即
.①
在
中,由余弦定理可得
,即
.②
联立①②可解得
,即
.
18.解:
(1)经计算,
,
,
由
可得,
,
当
时,
,
所以当海水浓度为8‰时,该品种的亩产量为0.24吨.
(2)(ii)由
(1)知
,从而有
(ii)
,
所以亩产量的变化有
是由海水引起的.
19.
(1)证明:
取
的中点
,连接
,
.
∴
,
,
,
,
∴
,
,即四边形
为平行四边形,
∴
.
∴
,
是
的中点,
∴
,
∴
平面
,
∴
,
∴
,
,
∴
平面
,
∴
,
∵
,
∴
平面
,即
平面
.
(2)解:
(i)∵
为
的中点,
∴
,
,
,∴
,
又∵
平面
,平面
平面
,
∴
,
∵
为
的中点,
∴
是
的中点.
(ii)由
(1)知,
,
∴
,
∵
,
,
∴
,
∴梯形
的面积
.
设点
到平面
的距离为
,则由
,可得
,
即
,故
,
∴
.
20.解:
(1)不妨设
,
,其中
,
,
由导数知识可知,抛物线
在
点处的切线
的斜率
,
则切线
的方程为
,令
,可得
,
∵
,∴直线
的斜率
,
∴
,∴
.
(2)由
(1)可知
,
其中
,
,
∴
,同理可得
.
∴
.
设直线
的方程为
,联立方程
可得
,
∴
,
∴
,
∴
,当且仅当
时,等号成立,
∴
的最小值为1.
21.解:
(1)若
,则
,
∴
.
令
,则
,
当
时,
,即
单调递增,
又
,
∴当
时,
,
,
单调递减,
当
时,
,
,
单调递增.
∴
的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(2)当
时,
显然成立.
当
时,
(i)当
时,
,
,
显然成立.
(ii)当
时,易证:
,
∴
,
∴
.
综上,
恒成立,
∴
没有零点.
22.解:
(1)由题意可知,圆
的直角坐标方程为
,即
,
∴极坐标方程为
,
由题意可知,圆
的直角坐标方程为
,即
,
∴极坐标方程为
.
(2)直线
的极坐标方程为
(
),
∵直线
与圆
,
交于不同于原点的点
,
,
∴
,
,
∴
,
又点
到直线
的距离为
,
∴
,
∴
的面积为
.
23.解:
(1)由题意可知,
,
①当
时,原式可化为
,即
或
,∴
;
②当
时,原式可化为
,即
或
,∴
无解;
③当
时,原式可化为
,即
或
,∴
;
综上所述,
.
(2)由题意可知,
,
当
时,等号成立,
又
,当且仅当
时,等号成立,
令
,当
时,
取到最小值为
,
由题意可知
,故
.
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