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微分几何试题库
微分几何
—、判断题
1、两个向量函数之和的极限等于极限的和(V)
2、二阶微分方程A(u,v)du22B(u,v)dudvB(u,v)dv2=0总表示曲面上两族曲线•()
3、若r(t)和s(t)均在[a,b]连续,贝U他们的和也在该区间连续(V)
4、向量函数詞具有固定长的充要条件是对于t的每一个值,
T
s(t)的微商与s(t)平行(X)
5、等距变换一定是保角变换.()
6、连接曲面上两点的所有曲线段中,测地线一」定是最短的.()
7、常向量的微商不等于零(X)
8螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点(1,0,0)的切线为X=Y=Z(X)
9、对于曲线s=S(t)上一点(t=t。
),若其微商是零,则这一点为曲线的正常点
(X)
10、曲线上的正常点的切向量是存在的(V)
11、曲线的法面垂直于过切点的切线(V)
12、单位切向量的模是1(V)
13、每一个保角变换一定是等距变换(X)
14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.()
15、坐标曲线网是正交网的充要条件是F=0,这里F是第一基本量.()
、填空题
16、曲面上的一个坐标网,其中一族是测地线
17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t在点(1,0,0)的法平面是y+z=0,
彳b
18设给出c1类曲线:
r=r(t),aG兰b.则其弧长可表示为fjr\t)dt
19、已知r={cos'x,sin'x,cos2x},0:
:
x,{则一{3e!
S,4x
25
20、曲面的在曲线,如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向,则称为渐进曲线。
21、旋转面r={®(t)cos日,d(t)sin日严(t)},他的坐标网是否为正交的?
是
傾“是”或“不是”).
22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的线线.
23、任何两个向量p,q的数量积p-q=p|qcos(pq)
24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为等距(保长)变换__.
25、圆柱螺线的曲率和挠率都是常数_数(填“常数”或“非常数”).
26若曲线(c)用自然参数表示r=r(t),则曲线(c)在P(s°)点的密切平面的方程是
(R-r(s°),r(s0),r(s0))=0
27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面
28.杜邦指标线的方程为Lx22Mxy•Ny2二1
29、已知曲面r={ucosv,usinv,6v},u0,03,则它的第一基本形式
2
—2dudv,高斯曲率
u36
dU+(th36)d2v,第二基本形式为
-36
K=2,平均曲率H=0,点(1,Q0)
(u236)2
处沿方向du:
dv=2的法曲
率一竺>/57,点(1,0,0)处的两个主曲率分别为
1517
66
3737
30、(Cohn-Voeeen定理)两个卵形面之间如果存在一个保长映射,则这个映射一定是R3中的合同或对称。
31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。
32、—个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络
三、综合题
33.求曲线x=tsint,y=tcost,z=tet在原点的密切平面,法平面,切线方程。
解:
r二{tsint,tcost,tet},
r(t)={sinttcost,cost-tsint,ettet},
r(t)={2cost-tsint,—2sin^tcost,2ettet}
在原点处t=0
r(0)二{0,0,0},r(0)={0,1,1},r(0)={2,0,2}.
在原点处切平面的方程为:
(R-r(0),r(0),r(0))=0
011
34、求曲面z=x3-y3的渐近曲线。
解设r={u,v,u3-v3}
则賈={1,0,3『},2={0,1,-3/},j口=4=4{-3u2,3v2,1}
|陰5|J9u4+9v4+1
44H4
ruu二{0,0,6u},ruv=°,rvv二{0,0,-6v}
-6v
9『一9厂1
6u
L=nGu:
-4,M=ng=0,
J9u4+9v4+1
因渐近曲线的微分方程为
Ldu22MdudvNdv2二0
即udu2二vdv2或udu二'一vdv二0
3333
渐近曲线为『=v「G或(-叮=v「C2
35求双曲抛物面r二{a(u•v),b(u-v),2uv}的第一基本形式
解:
r={a(uv),b(u-v),2uv},r^{a,b,2v},r={a,-b,2u}.
E=4h=a2b24v2,F兀=a2_b24uv,
G二rvrv二a2b24u2.
2222222222
I=(ab4v)du2(a-b-4uv)dudv-(ab4u)dv
36计算球面r=(Rcos^cos,Rcos^sin,Rsin〒)的第二基本形式
解:
r={Rcos^cos,Rcos^sin,Rsinr),r二{-Rcos^sin,Rcosvcos「,0},q={-Rsin^cos,-Rsin^sin,Rcos*,
由此得到
E=r:
r=R2cos),F=r:
;.q-0,
_r_r2_、EG-F2
e
Rcoscos
-Rsinsin
={cos^cos,cos^sin,sin^},
又由于
r二{-Rcos^cos:
-Rcosnsin,0},
rj-{Rsinvsin:
—Rsincos,0},
r*-{—Rcos^cos:
—Rcos^sin:
-Rsin^},
所以
L=r]]n二-Rcos2(T),M二rn=0,N二qn=-R,
因而得到
n--(Rcos2却2RdJ)
解:
因为
所以
所以
38、已知曲面的第一基本形式为I=v(du2•dv2),v0,求坐标曲线的测地曲率。
解E-G=v,
F=0,Gu=0,Ev=1
u-线的测地曲率
Ev=1
gu2E.G2v.v
v-线的测地曲率
2GE
39、问曲面上曲线丨的切向量沿曲线-本身平行移动的充要条件是曲面上的
曲线]是测地线吗?
为什么?
答:
曲面上曲线-的切向量沿曲线-本身平行移动的充要条件是曲面上的
曲线丨是测地线•
・-12
则丨的切向量为?
二;•2如
dsds
记『唱,『卑,『da1j;aidjDa2=da2j2込
则曲线[的切向量'沿丨平行移动=二Da1=O,Da2=0
二-为测地线
40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线,另一族是螺旋线.
解:
因为r={ucosv,usinv,bv},
22—b
E二1,F二0,G二ub丄二0,M,N=0.
Ju2+b2
由于L二N=0,所以,正螺面的曲纹坐标网是渐进网,则一族渐近线是
r={u0cosv,u0sinv,bv},
这是螺旋线,另一族渐近线是
r二{ucosv°,usinv0,bv。
},
这是直线.
41、设空间两条曲线-和C的曲率处处不为零,若曲线-和C可以建立一一对应,且在对应点的主法线互相平行,求证曲线】和C在对应点的切线夹固定角•
证设-:
r=r(s),-:
?
"二;(s),则由一:
H"知1”=-,
从而「九詔,=o,屯m.空「—0
dsds
cos二,:
这表明曲线-和C在对应点的切线夹固定角
42、证明r(t)具有固定方向的充要条件是
r(t)r(t)=0
证明必要性设r(t)「(t)e(e为常单位向量),则r(t)「(t)e,
所以r(t)r(t)二0
充分性:
r(t)二珂t)e(t)(e(t)为单位向量函数),则
r(t^■(t)e(tr(t)e(t),
r(t)r(t)「2(t)[e(t)e(t)].
因为r(t)=0,于是'(t)=0,当r(t)r(t)三0,从而有
e(t)e(t)=0,
有固定方向
43、给出曲面上一条曲率线】,设】上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角•求证丨是一条平面曲线•
4O
-
TnS
dd
证设Z:
r=r(u,v),丨:
u二u(s),v=v(s),其中s是丨的自然参数,记
r-r,n,则rn=cosr,两边求导,得-.■n
由】为曲率线知dn//dr,即虫〃丸上,因此:
r■nrdr=0
dsdsdsds
若.=0,则】为平面曲线;
呻
若ne=0,则因『为曲面龙上的一条曲率线,故d^Kndr.而
■n二n=匸幕{=0,所以d「0,即n为常向量.于是丨为平面曲线.
44、求圆柱螺线R(t)二{acost,asint,bt}在t处的切线方程。
3
r(t)二{acost,asint,bt},r(t)={-asint,acost,b},
Gr)兀J3叱13广吵亍Wt时,有r(-)二{-^af’b}.
3322
所以切线的方程为
n
P_r(3)
1一几J3J3中九/兀_xi
pa©ae2()be3
223
如果用坐标表示,则得切线方程为
ji
Zb
3
2x-a2Y-.3a
-3aa
45、求双曲螺线r二{acosht,asinht,at}从t=0起计算的弧长。
小r={acosht,asinht,at},
解:
.
r二{asinht,acosht,a}
从t=0起计算的弧长为
tt
G=订r(t)|dt=[lx"+yJz%t
a2(sinh211)a2cosh2tdt
:
、a2cosh2tfcosftdt
=■-2asinht.
46、求球面r二{Rcos^cos「,Rcos^sin,Rsin*的第一基本形式。
r={Rcosvcos:
Rcosvsin:
Rsinv},可得出
解:
由r={-Rcos)sin:
Rcos)cos:
0},
J-{-Rsinvcos「,-Rsinvsin:
Rcos},
由此得到曲面的第一类基本量
E二r:
r=R2co2s^,
F=rr^-0,
2
G=口每-R
因而
I二R2cos-2R2d「
47、曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值。
证明设ki:
:
:
k2(如果KiK2,可以交换坐标u和v),由欧拉公式知
kn=kicos2Tk2(1_cos2寸)=k2(ki_k2)cos2寸,
于是
2
k2~'kn=(k2~'kjcos:
-0
因此
k2-kn
同样又可以得到
kn-匕=(k2-kjsinJ-0,
由此
ki—kn一k2
这就是说,主曲率k2,ki是kn法曲率的最大值和最小值。
48、曲面的第一基本形式为I=E(u)du2G(u)dv2。
求证:
(1)u-曲线是测地线;
(2)v-曲线是测地线,当且仅当Gu(u)=O
证明:
u-曲线的方程为dv=0.由
=0,
dv
ds
得到
sin=0
所以
J-0
代入刘维尔公式得
因此得到u-曲线是测地线。
(2)若-曲线为测地线,由八-得穿。
则有
0=0+0
1-E:
u
Gu=0
49、R3中全体合同变换构成一个群,称为空间合同变换群。
证明:
因为
(1)空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换;
(2)空间三个合同变换的组合满足合里律;
(3)恒同变换I:
x「=Xj(i=1,2,3)与空间任何合同变换T的组合
IT二TI=T,因此I对于空间合同变换的组合来说是单位元素;
(4)空间任何合同变换一定有逆变换,而且这个逆变换还是空间合同变换。
50、沿曲线面上一条曲线平行移动时,保持向量的内积不变。
证明:
沿曲线(C)给出两个平行的向量场,在曲面上取正交坐标网
(u1,u2,则)
1丄21丄2
u二ueue2,v二ve2,
du1w2dvw2门
ds
du2
u
ds
u0,v20,dsdsds
2.22
1W1dv1W1
0,v0
dsdsds
所以
d(uv^d(u1v1u2v2)
dsds
1122
du11dvdu22dv
vuvu1
dsdsdsds
2
二(u2v1
121221、W[
uv-uv-uv)0
ds
51、设曲线(C):
r=rt是具有周期」的闭的正规平面曲线,如果把参数换成
自然参数,则它的周期是L=『|f(t)|dt,L的闭曲线的周长.
t也/
证明s(t+灼)=(|r(O|dt
=J0|r(t)|dt+匚|r(t)|dt,
因为
rt■=rt,
所以
『t•,t.
我们得到
.t/
s(t+国)=L+r(t)dt=L+s(t),
所以有
rsL=rstL=rst「=rst=rs.
I正交.
52、对于空间简单的、正规闭曲线,至少存在一条切线与给定的方向证明取I为坐标系的z轴方向.设曲线C的自然参数表示是
C:
r^'xs.ys.zs:
s0,L!
因而单位切向量为
as二xs,ys,zs
根据微积分中值定理,存在0丄!
使得
但是
z(L)=z(0)
所以
z(S))=0,
即
a(s°—x(s0)y(s°)0?
,
这表示a$垂直于z轴,即与方向I正交
53、单位球面上的曲线C,若kg=0,则
**
kk
T=—=—Z.,
kkgk^k2-1
其中,=1
证明设单位球面上的曲线C:
r=rs由于
r2=1,
从而有
r・a=0,
所以
a・ar・k-_0,
即
1+kr•':
=0.
由上式得
kr・:
kr…kr•:
=0,
利用伏雷内公式,化简后得
*
-匚kr■=0.
k
若令n--r,由于
kg=k・n--kr・,
则有
+kg=0.
但是单位球面上曲线的法曲率kn=1,并且由于
knk:
=k2,
所以
kg-;k-1,-1.
因此当kg7时,有
*•
kk
T=—=—Zj.
kkgk.k2-1
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