运筹学计算题摘要.docx
- 文档编号:4468138
- 上传时间:2022-12-01
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:768.73KB
运筹学计算题摘要.docx
《运筹学计算题摘要.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《运筹学计算题摘要.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
运筹学计算题摘要
运筹学
线性规划(LinearProgramming,简称LP),运筹学的一个重要分支,是运筹学中研究较早、发展较快、理论上较成熟和应用上极为广泛的一个分支。
1947年G.B.Dantying提出了一般线性规划问题求解的方法——单纯形法之后,线性规划的理论与应用都得到了极大的发展。
60年来,随着计算机的发展,线性规划已广泛应用于工业、农业、商业、交通运输、经济管理和国防等各个领域,成为现代化管理的有力工具之一。
(1)LP问题的标准形式(会将一般形式化为标准形式),目标函数min,max2类
线性规划问题的一般形式:
max(min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn
s.t.a11x1+a12x2+…+a1nxn≤(或=,≥)b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn≤(或=,≥)b2
……
am1x1+am2x2+…+amnxn≤(或=,≥)bm
xj≥0(j=1,2,…,n)
其中aij、bi、cj(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)为已知常数
线性规划问题的标准形式:
maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn
s.t.a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
……
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm
xj≥0(j=1,2,…,n)
bi≥0(i=1,2,…,m)
如何转化为标准形式?
1、目标函数为求极小值,即为:
因为求minz等价于求max(-z),令z’=-z,即化为:
2、约束条件为不等式,
xn+1≥0松弛变量
如何处理?
3、右端项bi<0时,只需将等式两端同乘(-1)则右端项必大于零
4、决策变量无非负约束
设xj没有非负约束,若xj≤0,可令xj=-xj’,则xj’≥0;
又若xj为自由变量,即xj可为任意实数,可令xj=xj’-xj’’,且xj’,xj’’≥0
e.g.3试将LP问题
minz=-x1+2x2-3x3
s.t.x1+x2+x3≤7
x1-x2+x3≥2
-3x1+x2+2x3=-5
x1,x2≥0化为标准形式。
解:
令x3=x4-x5其中x4、x5≥0;
对第一个约束条件加上松弛变量x6;
对第二个约束条件减去松弛变量x7;
对第三个约束条件两边乘以“-1”;
令z’=-z把求minz改为求maxz’
LP的几种表示形式:
(2)线性规划问题的图解法
定义1在LP问题中,凡满足约束条件
(2)、(3)的解x=(x1,x2,…,xn)T称为LP问题的可行解,所有可行解的集合称为可行解集(或可行域)。
记作D={x|Ax=b,x≥0}。
定义2设LP问题的可行域为D,若存在x*∈D,使得对任意的x∈D都有cx*≥cx,则称x*为LP问题的最优解,相应的目标函数值称为最优值,
记作z*=cx*。
LP问题图解法的基本步骤:
1、在平面上建立直角坐标系;
2、图示约束条件,确定可行域和顶点坐标;
3、图示目标函数(等值线)和移动方向;
4、寻找最优解。
可行域为无界区域一定无最优解吗?
Note:
可行域为无界区域,目标函数值可无限增大,即解无界。
称为无最优解。
重要结论:
1、LP问题从解的角度可分为:
⑴有可行解a.有唯一最优解b.有无穷多最优解C.无最优解
⑵无可行解
2、LP问题若有最优解,必在可行域的某个顶点上取到;若有两个顶点上同时取到,则这两点的连线上任一点都是最优解。
(3)单纯形法
单纯形法(SimplexMethod)是1947年由G.B.Dantzig提出,是解LP问题最有效的算法之一,且已成为整数规划和非线性规划某些算法的基础。
基本思路:
基于LP问题的标准形式,先设法找到一个基可行解,判断它是否是最优解,如果是则停止计算;否
则,则转换到相邻的目标函数值不减的一个基可行解.(两个基可行解相邻是指它们之间仅有一个基变量不
相同)。
单纯形法求解LP问题的计算步骤:
Step1找出初始可行基,列初始单纯形表,确定初始基可行解;
Step2检验各非基变量xj的检验数σj,如果所有的σj≤0(j=1,2,…,n),则已求得最优解,停止计算。
否则转入下一步;
Step3在所有的σj>0中,如果有某个σk>0,所对应的xk的系数列向量p’k≤0(即a’ik≤0,i=1,2,…,m),则此问题解无界,停止计算。
否则转入下一步;
Step4根据
确定xk为换入基变量,又根据最小比值法则计算:
,确定xr为换出基变量。
转入下一步;
Step5以
为主元进行换基变换,用初等行变换将xk所对应的
列向量变换成单位列向量,即
同时将检验数行中的第k个元素也
变换为零,得到新的单纯形表。
返回Step2。
大M法和2阶段法必考,A,B卷各考一个。
(4)单纯形法的矩阵描述P33.2-5
(5)会由原问题求对偶问题
原问题与对偶问题的关系
e.g.1写出(P)问题的(D)问题
讨论对称形式:
对偶规划的若干定理
Theorem1(对称性定理)对偶问题的对偶是原问题.
Theorem2(弱对偶定理)设x0和y0分别是(P)问题和(D)问题的可行解,则必有cx0≤y0b.
Corollary1如果x*和y*分别是(P)问题和(D)问题的可行解,且cx*=y*b,则x*和y*分别是(P)问题和(D)问题的最优解。
Corollary2在一对对偶问题中,如果其中一个问题可行,但目标函数无界,则另一个问题不可行。
Corollary3如果一对对偶问题都有可行解,则它们都有最优解。
Theorem3(对偶定理)如果(P)问题((D)问题)有最优解,那么(D)问题((P)问题)也有最优解,
且目标函数值相等。
Corollary4(单纯形乘子定理)如果(P)问题有最优解,最优基为B,则y*=cBB-1就是(D)问题的一个最优解。
综上所述,(P)问题与(D)问题的解之间只有以下三种可能的关系:
(1)两个问题都有可行解,从而都有最优解,分别设为x*,y*,则必有z*=cx*=y*b=w*;
(2)一个问题为无界,另一个问题必无可行解;
(3)两个问题都无可行解。
(6)互补松弛性定理
Theorem4(互补松弛定理)设x*和y*分别是(P)问题和(D)问题的可行解,则它们分别是(P)、(D)
问题的最优解的充要条件是:
y*(b–Ax*)=0;(y*A–c)x*=0同时成立。
一个规划的某个约束成立严格不等式(约束条件为松),对应的对偶规划中变量取0(变量是紧),当
某个变量不为0时(变量是松),对应的对偶规划中约束成立等式(约束条件是紧)。
二、对偶规划的求解
1、利用原问题的最优单纯形表求对偶最优解的方法
e.g.2求如下LP问题的对偶问题的最优解
maxz=4x1+3x2+7x3
s.t.x1+2x2+2x3≤100
3x1+x2+3x3≤100
x1,x2,x3≥0
minw=100y1+100y2
s.t.y1+3y2≥4
2y1+y2≥3
2y1+3y2≥7
y1,y2≥0
原问题的最优解和最优值为:
x*=(0,25,25)Tz*=250
由推论5可知:
对偶问题的最优解和最优值为y*=(1/2,2)w*=250
§2对偶问题的基本性质
如果(P)问题为:
maxz=cx
(P)s.t.Ax=b
x≥0
2、利用互补松弛定理求对偶最优解
e.g.3求如下LP问题的对偶问题的最优解
maxz=4x1+3x2
s.t.x1+2x2≤2
x1-2x2≤3
2x1+3x2≤5
x1+x2≤2
3x1+x2≤3
x1,x2≥0
对偶问题为:
minw=2y1+3y2+5y3+2y4+3y5
s.t.y1+y2+2y3+y4+3y5≥4
2y1-2y2+3y3+y4+y5≥3
y1,y2,y3,y4,y5≥0
§2对偶问题的基本性质
可用图解法求解(P)问题,得:
x*=(4/5,3/5)Tz*=5
将x*代入(P)问题的约束条件,知:
约束条件
(2)、(3)、(4)成立严格不等式
由互补松弛定理知:
y2*=y3*=y4*=0
又因为x1*,x2*不为零
所以y1*+3y5*=42y1*+y5*=3
解得:
y1*=y5*=1
故y*=(1,0,0,0,1)w*=5
maxz=4x1+3x2
s.t.x1+2x2≤2
(1)
x1-2x2≤3
(2)
(p)2x1+3x2≤5(3)
x1+x2≤2(4)
3x1+x2≤3(5)
x1,x2≥0
minw=2y1+3y2+5y3+2y4+3y5
s.t.y1+y2+2y3+y4+3y5≥4
(D)2y1-2y2+3y3+y4+y5≥3
y1,y2,y3,y4,y5≥0
第四章表上作业法(P63-P73)
§2运输问题的表上作业法
表上作业法(又称运输单纯形法)是根据单纯形法的原理和运输问题的特点,设计的一种在表上运算
的求解运输问题的简便而有效的方法.
主要步骤:
1、求一个初始调运方案(初始基可行解);
2、判别当前方案是否为最优,若是则迭代停止,否则转下一步;
3、改进当前方案,得到新的方案(新的基可行解),再返回2。
已知某商品有三个产地A1、A2、A3和四个销地B1、B2、B3、B4,产量、销量及单位运价如表.问应如何调运,在满足各销地需要的情况下,使总的运费支出为最少?
解:
一、初始方案的确定
2、最小元素法
规则:
优先安排单位运价最小的产地与销地之间的运输任务.
Note:
在某行(或列)填入最后一个数时,如果行和列同时饱和,规定只划去该行(或列)
(幻灯片第三章P18)
3、Vogel法(元素差额法)
规则:
计算各行各列的最小元素与次小元素的差额,优先安排差额最大的所在行或列的单位运价最小的产地与销地之间的运输任务
二、最优性检验
1、闭回路法(幻灯片第三章P21)
2、位势法(对偶变量法)
三、基可行解的改进(幻灯片第三章P24)
平衡问题(第四章第三节)
匈牙利法
由最大匹配问题的讨论可知,可行解可用一个0-1矩阵给出。
如前例
因此可以在效益矩阵上进行求解。
匈牙利算法步骤:
Step1:
使效益矩阵的各行各列出现0元素
1、效益矩阵的每行各元素减去该行中的最小元素
2、再从所得矩阵每列各元素减去该列中的最小元素
见前例
Step2:
试寻最优解(用前述的寻找最大匹配的算法,Cij>0对应0,Cij=0对应1)
Step3:
作能覆盖所有0元素的最少数量的直线集合。
a.对没有(0)的行打√号.
b.对已打√号的行中所有含0元素的列打√号.
C.对打√号列上有(0)的行打√号.
d.重复(b)(c)直到得不出新的打√号的行列为止.
e.打√号的列画纵线,没打√号的行画横线,这就是覆盖所有0元素的最少直线集合.
Step4:
增加(转移)零元素
a.求出未被直线覆盖的元素中的最小值k(本例中k=2).
b.对打√行减去k,对打√列加上k
gotostep2
8
Zmin=28
进一步考虑
指派问题用匈牙利法计算,模型需要满足的形式:
(1)目标函数是求最小值
(2)效益矩阵必须是n阶方阵
(3)效益矩阵中每个元素Cij≥0,且是常数
1、考虑极大化问题
做一新的矩阵
例(第一次课的婚姻问题)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 运筹学 算题 摘要