高考数学难点突破难点01集合思想及应用.docx
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高考数学难点突破难点01集合思想及应用
难点1集合思想及应用
集合是高中数学的基本知识,为历年必考内容之一,主要考查对集合基本概念的认识和理解,以及作为工具,考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点,不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.
●难点磁场
(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠,求实数m的取值范围.
●案例探究
[例1]设A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=,证明此结论.
命题意图:
本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力,即能从集合符号上分辨出所考查的知识点,进而解决问题.属★★★★★级题目.
知识依托:
解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=转化为A∩C=且B∩C=,这样难度就降低了.
错解分析:
此题难点在于考生对符号的不理解,对题目所给出的条件不能认清其实质内涵,因而可能感觉无从下手.
技巧与方法:
由集合A与集合B中的方程联立构成方程组,用判别式对根的情况进行限制,可得到b、k的范围,又因b、k∈N,进而可得值.
解:
∵(A∪B)∩C=,∴A∩C=且B∩C=
∵∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0
∵A∩C=
∴Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0
∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解,其充要条件是16b2-16>0,即b2>1①
∵
∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0
∵B∩C=,∴Δ2=(1-k)2-4(5-2b)<0
∴k2-2k+8b-19<0,从而8b<20,即b<2.5②
由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组,得
∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.
[例2]向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果:
赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?
命题意图:
在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.
知识依托:
解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出来.
错解分析:
本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索.
技巧与方法:
画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系.
解:
赞成A的人数为50×=30,赞成B的人数为30+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x.
依题意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50,解得x=21.
所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人.
●锦囊妙计
1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.
2.注意空集的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如AB,则有A=或A≠两种可能,此时应分类讨论.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},则()
A.M=NB.MNC.MND.M∩N=
2.(★★★★)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 A.-3≤m≤4B.-3 C.2 二、填空题 3.(★★★★)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1个,则a的取值范围是_________. 4.(★★★★)x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|=1,a>0,b>0},当A∩B只有一个元素时,a,b的关系式是_________. 三、解答题 5.(★★★★★)集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|log2(x2-5x+8)=1},C={x|x2+2x-8=0},求当a取什么实数时,A∩B和A∩C=同时成立. 6.(★★★★★)已知{an}是等差数列,d为公差且不为0,a1和d均为实数,它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)|x2-y2=1,x,y∈R}. 试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明. (1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B至多有一个元素; (3)当a1≠0时,一定有A∩B≠. 7.(★★★★)已知集合A={z||z-2|≤2,z∈C},集合B={w|w=zi+b,b∈R},当A∩B=B时,求b的值. 8.(★★★★)设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x}. (1)求证: AB; (2)如果A={-1,3},求B. 参考答案 难点磁场 解: 由得x2+(m-1)x+1=0① ∵A∩B≠ ∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解. 首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1,当m≥3时,由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1>0知,方程①只有负根,不符合要求. 当m≤-1时,由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知,方程①只有正根,且必有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内. 故所求m的取值范围是m≤-1. 歼灭难点训练 一、1.解析: 对M将k分成两类: k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x= nπ+,n∈Z},对N将k分成四类,k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}. 答案: C 2.解析: ∵A∪B=A,∴BA,又B≠, ∴即2<m≤4. 答案: D 二、3.a=0或a≥ 4.解析: 由A∩B只有1个交点知,圆x2+y2=1与直线=1相切,则1=,即ab=. 答案: ab= 三、5.解: log2(x2-5x+8)=1,由此得x2-5x+8=2,∴B={2,3}.由x2+2x-8=0,∴C={2,-4},又A∩C=,∴2和-4都不是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的解,而A∩B,即A∩B≠, ∴3是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的解,∴可得a=5或a=-2. 当a=5时,得A={2,3},∴A∩C={2},这与A∩C=不符合,所以a=5(舍去);当a=-2时,可以求得A={3,-5},符合A∩C=,A∩B,∴a=-2. 6.解: (1)正确.在等差数列{an}中,Sn=,则(a1+an),这表明点(an,)的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an,)均在直线y=x+a1上. (2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解,由方程组消去y得: 2a1x+a12=-4(*),当a1=0时,方程(*)无解,此时A∩B=;当a1≠0时,方程(*)只有一个解x=,此时,方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解. ∴A∩B至多有一个元素. (3)不正确.取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n-1)d=n>0,>0,这时集合A中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于a1=1≠0.如果A∩B≠,那么据 (2)的结论,A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0=<0,y0=<0,这样的(x0,y0)A,产生矛盾,故a1=1,d=1时A∩B=,所以a1≠0时,一定有A∩B≠是不正确的. 7.解: 由w=zi+b得z=, ∵z∈A,∴|z-2|≤2,代入得|-2|≤2,化简得|w-(b+i)|≤1. ∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面,集合A表示以点(2,0)为圆心,半径为2的圆面,集合B表示以点(b,1)为圆心,半径为1的圆面. 又A∩B=B,即BA,∴两圆内含. 因此≤2-1,即(b-2)2≤0,∴b=2. 8. (1)证明: 设x0是集合A中的任一元素,即有x0∈A. ∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0). 即有f[f(x0)]=f(x0)=x0,∴x0∈B,故AB. (2)证明: ∵A={-1,3}={x|x2+px+q=x}, ∴方程x2+(p-1)x+q=0有两根-1和3,应用韦达定理,得 ∴f(x)=x2-x-3. 于是集合B的元素是方程f[f(x)]=x,也即(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x(*)的根. 将方程(*)变形,得(x2-x-3)2-x2=0 解得x=1,3,,-. 故B={-,-1,,3}.
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