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做好团队激励,达成销售目标4
江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷
(江西师大附中使用)高三理科数学分析
一、整体解读
试卷紧扣教材和考试说明,从考生熟悉的基础知识入手,多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力,立足基础,先易后难,难易适中,强调应用,不偏不怪,达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。
试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内,几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容,体现了“重点知识重点考查”的原则。
1.回归教材,注重基础
试卷遵循了考查基础知识为主体的原则,尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及,其中应用题与抗战胜利70周年为背景,把爱国主义教育渗透到试题当中,使学生感受到了数学的育才价值,所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际,操作性强。
2.适当设置题目难度与区分度
选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题,都是综合性问题,难度较大,学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力,以及扎实深厚的数学基本功,而且还要掌握必须的数学思想与方法,否则在有限的时间内,很难完成。
3.布局合理,考查全面,着重数学方法和数学思想的考察
在选择题,填空题,解答题和三选一问题中,试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。
包括函数,三角函数,数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。
这些问题都是以知识为载体,立意于能力,让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析
1.【试卷原题】11.已知,,ABC是单位圆上互不相同的三点,且满足ABAC→
→
=,则ABAC→→
⋅的最小值为()
A.1
4-B.12-
C.34-
D.1-
【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识,是向量与三角的典型综合题。
解法较多,属于较难题,得分率较低。
【易错点】1.不能正确用OA,OB
,OC表示其它向量。
2.找不出OB与OA的夹角和OB
与OC的夹角的倍数关系。
【解题思路】1.把向量用OA,OB
,OC表示出来。
2.把求最值问题转化为三角函数的最值求解。
【解析】设单位圆的圆心为O,由ABAC→
→
=得,22
()()OBOAOCOA-=-,因为
1OAOBOC===
,所以有,OBOAOCOA⋅=⋅则()()ABACOBOAOCOA⋅=-⋅-
2OBOCOBOAOAOCOA=⋅-⋅-⋅+
21OBOCOBOA=⋅-⋅+
设OB与OA的夹角为α,则OB
与OC的夹角为2α
所以,cos22cos1ABACαα⋅=-+211
2(cos)22
α=--
即,ABAC⋅的最小值为1
2
-,故选B。
【举一反三】
【相似较难试题】【2015高考天津,理14】在等腰梯形ABCD中,已知
//,2,1,60ABDCABBCABC==∠=,动点E和F分别在线段BC和DC上,且,1,,9BEBCDFDCλλ
==则AEAF⋅的最小值为.
【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何
运算求,AEAF,体现了数形结合的基本思想,再运用向量数量积的定义计算AEAF⋅,体
现了数学定义的运用,再利用基本不等式求最小值,体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现.【答案】
2918
【解析】因为1,9DFDCλ=12
DCAB=
,
119199918CFDFDCDCDCDCABλλλλλ
--=-=-==,
AEABBEABBCλ=+=+,19191818AFABBCCFABBCABABBCλλλλ
-+=++=++=+,
()
221*********1818AEAFABBCABBCABBCABBC
λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭
19199421cos1201818
λλ
λλ++=
⨯++⨯⨯⨯
︒211*********81818λλ=
++≥+=当且仅当2192λλ=即23λ=时AEAF⋅的最小值为
29
18
.2.【试卷原题】20.(本小题满分12分)已知抛物线C的焦点()1,0F,其准线与x轴的
交点为K,过点K的直线l与C交于,AB两点,点A关于x轴的对称点为D.(Ⅰ)证明:
点F在直线BD上;(Ⅱ)设8
9
FAFB→
→
⋅=
,求BDK∆内切圆M的方程.【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质,直线与抛物线的位置关系,圆的标准方程,韦达定理,点到直线距离公式等知识,考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法,是直线与圆锥曲线的综合问题,属于较难题。
【易错点】1.设直线l的方程为
(1)ymx=+,致使解法不严密。
2.不能正确运用韦达定理,设而不求,使得运算繁琐,最后得不到正确答案。
【解题思路】1.设出点的坐标,列出方程。
2.利用韦达定理,设而不求,简化运算过程。
3.根据圆的性质,巧用点到直线的距离公式求解。
【解析】(Ⅰ)由题可知()1,0K-,抛物线的方程为24yx=
则可设直线l的方程为1xmy=-,()()()112211,,,,,AxyBxyDxy-,故2
14xmyyx=-⎧⎨
=⎩整理得2
440ymy-+=,故121244
yymyy+=⎧⎨=⎩则直线BD的方程为()212221yyyyxxxx+-=--即2
222144yyyxyy⎛
⎫-=-⎪-⎝⎭
令0y=,得1214
yy
x==,所以()1,0F在直线BD上.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知121244
yymyy+=⎧⎨=⎩,所以()()2
12121142xxmymym+=-+-=-,
()()1211111xxmymy=--=又()111,FAxy→=-,()221,FBxy→
=-
故()()()2
121*********84FAFBxxyyxxxxm→→
⋅=--+=-++=-,
则2
84
84,93
mm-=
∴=±,故直线l的方程为3430xy++=或3430xy-+=
21yy-==
故直线BD的方程330x-=或330x-=,又KF为BKD∠的平分线,
故可设圆心()(),011Mtt-
54tt+--------------10分由
31315
4tt+-=
得1
9t=或9t=(舍去).故圆M的半径为31253
tr+=
=所以圆M的方程为2
21499xy⎛
⎫-+=⎪⎝
⎭
【举一反三】
【相似较难试题】【2014高考全国,22】已知抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=5
4|PQ|.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.
【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同.【答案】
(1)y2=4x.
(2)x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】
(1)设Q(x0,4),代入
y2=2px,得
x0=8
p
,
所以|PQ|=8p,|QF|=p2+x0=p2+8
p
.
由题设得p2+8p=54×8
p,解得p=-2(舍去)或p=2,
所以C的方程为y2=4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x,得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.
故线段的AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=
m2+1|y1-y2|=4(m2+1).
又直线l′的斜率为-m,
所以l′的方程为x=-1
my+2m2+3.
将上式代入y2=4x,
并整理得y2+4
my-4(2m2+3)=0.
设M(x3,y3),N(x4,y4),
则y3+y4=-4
m
,y3y4=-4(2m2+3).
故线段MN的中点为E⎝⎛⎭⎪⎫
2m
2+2m2+3,-2m,
|MN|=
1+1
m2|y3-y4|=4(m2+1)2m2+1
m2
.
由于线段MN垂直平分线段AB,
故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=1
2|MN|,
从而14|AB|2+|DE|2=1
4|MN|2,即4(m2+1)2+
⎝⎛⎭⎪⎫2m+2m2+⎝⎛⎭
⎪⎫2
m2+22=
4(m2+1)2(2m2+1)
m4
,
化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1,故所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
三、考卷比较
本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较,基本相似,具体表现在以下方面:
1.对学生的考查要求上完全一致。
即在考查基础知识的同时,注重考查能力的原则,确立以能力立意命题的指导思想,将知识、能力和素质融为一体,全面检测考生的数学素养,既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度,又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平,符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则.2.试题结构形式大体相同,即选择题12个,每题5分,填空题4个,每题5分,解答题8个(必做题5个),其中第22,23,24题是三选一题。
题型分值完全一样。
选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点,大部分属于常规题型,是学生在平时训练中常见的类型.解答题中仍涵盖了数列,三角函数,立体何,解析几何,导数等重点内容。
3.在考查范围上略有不同,如本试卷第3题,是一个积分题,尽管简单,但全国卷已经不考查了。
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