高中数学《充分条件与必要条件》导学案.docx
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高中数学《充分条件与必要条件》导学案
1.2.1 充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
命题真假
“若p,则q”是真命题
“若p,则q”是假命题
推出关系
p
⇒q
p
q
条件关系
p是q的
充分条件
q是p的
必要条件
p
不是q的充分条件
q
不是p的必要条件
1.p⇒q的含义
(1)“若p,则q”形式的命题为真命题;
(2)由条件p可以得到结论q;
(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p;
(4)只要有条件p,就一定有结论q,即p对于q是充分的;
(5)q是p的必要条件或p的必要条件是q;
(6)为得到结论q,具备条件p就可以推出.
显然,p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系,即p⇒q,只是说法不同而已.
2.对充分条件的理解
所谓充分,就是说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.
3.对必要条件的理解
所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少的,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立”.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.( )
(2)若p是q的充分条件,则綈p是綈q的充分条件.( )
(3)“x=1”是“x2=x”的必要条件.( )
答案
(1)√
(2)× (3)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的________条件.
(2)“a>0,b>0”是“ab>0”的________条件.
(3)“若p,则q”的逆命题为真,则p是q的________条件.
答案
(1)充分
(2)充分 (3)必要
探究1 充分条件与必要条件的判断
例1 在下列各题中,分别判断p是否为q的充分条件或必要条件,并说明理由.
(1)p:
x2=2x+1,q:
x=
;
(2)p:
a
<1;
(3)p:
ab≠0,q:
直线ax+by+c=0与两坐标轴都相交.
[解]
(1)∵x2=2x+1
x=
,x=
⇒x2=2x+1,
∴p是q的必要条件,且p不是q的充分条件.
(2)由于a
>1;当b>0时,
<1,故若a
<1;当a>0,b>0,
<1时,可以推出a
<1时,可以推出a>b.所以p不是q的充分条件,且p不是q的必要条件.
(3)由ab≠0,即a≠0且b≠0,此时直线ax+by+c=0与两坐标轴都相交;又当ax+by+c=0与两坐标轴都相交时,a≠0且b≠0,即ab≠0,所以p是q的充分条件,且p是q的必要条件.
拓展提升
充分条件、必要条件的判定方法
(1)定义法:
直接判断p⇒q和q⇒p是否成立,然后得结论.
(2)等价法:
利用命题的等价形式:
p⇒q⇔綈q⇒綈p,q⇒p⇔綈p⇒綈q,p⇔q与綈p⇔綈q
的等价关系.对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法.
(3)集合法:
对于涉及取值范围的判断题,可从集合的角度研究,若两个集合具有包含关系,则小范围⇒大范围,大范围
小范围.
(4)传递法:
由推式的传递性:
p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn,则p1⇒pn.
【跟踪训练1】 在下列各题中,分别判断p是否为q的充分条件或必要条件,并说明理由.
(1)p:
|a|≥2,a∈R,q:
方程x2+ax+a+3=0有实根;
(2)p:
a+b=0,q:
a2+b2=0;
(3)p:
四边形是矩形;q:
四边形的对角线相等.
解
(1)当|a|≥2时,如a=3,则方程x2+3x+6=0无实根,而方程x2+ax+a+3=0有实根,则必有a≤-2或a≥6,可推出|a|≥2,故p不是q的充分条件,且p是q的必要条件.
(2)a+b=0
a2+b2=0;a2+b2=0⇒a+b=0,故p不是q的充分条件,且p是q的必要条件.
(3)四边形的对角线相等
四边形是矩形;四边形是矩形⇒四边形的对角线相等,故p是q的充分条件,且p不是q的必要条件.
探究2 利用充分条件与必要条件求参数
的取值范围
例2 已知集合A={y|y=x2-3x+1,x∈R},B={x|x+2m≥0};命题p:
x∈A,命题q:
x∈B,并且綈p是綈q的必要条件,求实数m的取值范围.
[解] 由已知可得
A=
=
,B={x|x≥-2m},则∁RA=
,∁RB=(-∞,-2m),因为綈p是綈q的必要条件,
所以∁RB⊆∁RA,
所以-2m≤-
,解得m≥
,
所以m的取值范围是
.
[解法探究] 此题有没有其他解法?
解 由已知可得
A=
=
,
B={x|x≥-2m}.
因为綈p是綈q的必要条件,
所以p是q的充分条件,所以A⊆B,
所以-2m≤-
,所以m≥
,
即m的取值范围是
.
[条件探究] 如果把例2中“必要”改为“充分”,其他条件不变,如何解答?
解 由已知得A=
,B={x|x≥-2m}.
因为綈p是綈q的充分条件,
所以p是q的必要条件,所以B⊆A,
所以-2m≥-
,解得m≤
,
即m的取值范围是
.
拓展提升
利用充分、必要条件求参数的思路
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,先将p,q等价转化,再根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
【跟踪训练2】 已知M={x|(x-a)2<1},N={x|x2-5x-24<0},若M是N的充分条件,求a的取值范围.
解 由(x-a)2<1,得a-1 由x2-5x-24<0,得-3 ∵M是N的充分条件, ∴M⊆N. 于是 从而可得-2≤a≤7. 故a的取值范围为[-2,7]. 探究3 充分条件与必要条件的实际应用 例3 在下面电路图中,闭合开关A是灯泡B亮的什么条件? [解] 如题图 (1),闭合开关A或闭合开关C,都可使灯泡B亮.反之,若要灯泡B亮,不一定非要闭合开关A.因此,闭合开关A是灯泡B亮的充分不必要条件; 如题图 (2),闭合开关A而不闭合开关C,灯泡B不亮.反之,若要灯泡B亮,开关A必须闭合,说明闭合开关A是灯泡B亮的必要不充分条件; 如题图(3),闭合开关A但不闭合开关C,灯泡B不亮.反之,灯泡B亮也不必闭合开关A,只要闭合开关C即可,说明闭合开关A是灯泡B亮的既不充分也不必要条件. 拓展提升 充分、必要条件实际应用的解题策略 将问题转化为数学模型,分清条件与结论为解题关键. (1)p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立,但是如果没有p,q也可能成立”. (2)q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”,或者说“若q不成立,则p一定不成立”;但即使有q成立,p未必会成立. 【跟踪训练3】 《三国演义》中曹操败走华容道是这样描写的: 曹操投南郡,除华容道外,还有一条便于通行的大路,前者路险,但近50余里;后者路平,却远50余里,曹操令人上山观察敌情虚实,回报说: “小路山边有数处起烟,大路并无动静.”曹操说: “诸葛亮多谋,故使人于山僻烧烟,使我军不敢从这条山路上走,他却伏兵于大路等着,吾已料定,偏不中他计.”结果致使曹操败走华容道,请用数学知识解释这种现象. 解 “诸葛亮多谋”是“虚则实之,实则虚之”的充分条件,“虚则实之,实则虚之”是“小路山边有数处起烟,而大路并无动静(有伏兵却没动静)”的充分条件,因为诸葛亮多谋是事实,所以曹操认为诸葛亮必然运用兵法“虚则实之,实则虚之”,曹操不以调查事实为依据,而诸葛亮抓住了曹操的这一心理,所以致使曹操败走华容道. 1.充分与必要条件的判断方法 判断p是q的什么条件,其实质是判断“若p,则q”及其逆命题“若q,则p”的真假. 若p⇒q,q p,则p是q的充分不必要条件; 若p q,q⇒p,则p是q的必要不充分条件; 若p⇒q,q⇒p,则p是q的充分条件,也是q的必要条件(也称充要条件); 若p q,q p,则p是q的既不充分也不必要条件. 2.等价转化法的应用 一般地,根据命题间的等价关系,若“p⇒q且p q”等价于“綈p⇐綈q且綈p 綈q”,即“p是q的充分不必要条件”等价于“綈p是綈q的必要而不充分条件”. 3.集合观点的应用 若p,q对应的数集分别为P,Q,当P⊆Q时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,这可以总结为“小范围推出大范围”,简记为: “小充分,大必要”. 1.钱大妈常说“便宜没好货”,她这句话的意思中: “好货”是“不便宜”的( ) A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 “便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”,所以“好货”是“不便宜”的充分条件. 2.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 因为A={1,a},B={1,2,3},若a=3,则A={1,3},所以A⊆B,所以a=3⇒A⊆B;若A⊆B,则a=2或a=3,所以A⊆B a=3,所以“a=3”是“A⊆B”的充分而不必要条件. 3.对于任意的实数a,b,c,在下列命题中,真命题是( ) A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件 C.“ac D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件 答案 B 解析 若a=b,则ac=bc;若ac=bc,则a不一定等于b,故“ac=bc”是“a=b”的必要条件. 4.若綈A是B的充分不必要条件,则A是綈B的________条件. 答案 必要不充分 解析 由题知綈A⇒B,则綈B⇒A,反之不成立. 5.下列说法是否正确? 请说明理由. (1)x=1是(x-1)(x-2)=0的充分条件; (2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的充分条件; (3)α= 是sinα= 的必要条件; (4)x+y>2是x>1,y>1的必要条件. 解 (1)正确,因为x=1⇒(x-1)(x-2)=0. (2)正确,因为△ABC≌△A′B′C′⇒△ABC∽△A′B′C′. (3)错误,因为sinα= α= . (4)正确,因为x>1,y>1⇒x+y>2. A级: 基础巩固练 一、选择题 1.“0≤m≤1”是“函数f(x)=sinx+m-1有零点”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 函数f(x)=sinx+m-1有零点⇔方程sinx=1-m有根⇔-1≤1-m≤1⇔0≤m≤2,所以“0≤m≤1”是“函数f(x)=sinx+m-1有零点”的充分不必要条件. 2.已知两条不重合的直线a,b与平面α,下列四个条件: ①a⊄α,b⊂α;②a⊂α,b∥α;③a⊥α,b⊥α;④a,b为异面直线.其中是“a,b无公共点”的充分条件的是( ) A.①②B.②③C.③④D.②③④ 答案 D 解析 ①中有可能a∩α=A,A∈b,故①错误. ②中b∥α,且a⊂α,则a,b无公共点,满足条件. ③中a⊥α,b⊥α,则a∥b,满足条件. ④中由异面直线的定义可知④正确. ∴②③④正确,故选D. 3.设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使 = 成立的充分条件是( ) A.a=-bB.a∥b C.a=2bD.a∥b且|a|=|b| 答案 C 解析 , 分别
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