高中数学第二单元圆锥曲线与方程232抛物线的几何性质二教学案新人教B版选修11.docx
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高中数学第二单元圆锥曲线与方程232抛物线的几何性质二教学案新人教B版选修11.docx
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高中数学第二单元圆锥曲线与方程232抛物线的几何性质二教学案新人教B版选修11
2.3.2 抛物线的几何性质
(二)
学习目标
1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题.
知识点 直线与抛物线的位置关系
思考1 直线与抛物线有哪几种位置关系?
思考2 若直线与抛物线只有一个交点,直线与抛物线一定相切吗?
梳理
(1)直线与抛物线的位置关系与公共点个数.
位置关系
公共点个数
相交
________________公共点
相切
________________公共点
相离
________公共点
(2)直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0的解的个数.当k≠0时,若Δ>0,则直线与抛物线有________个不同的公共点;当Δ=0时,直线与抛物线有________个公共点;当Δ<0时,直线与抛物线________公共点.当k=0时,直线与抛物线的对称轴________________,此时直线与抛物线有________个公共点.
类型一 直线与抛物线的位置关系
例1 已知直线l:
y=k(x+1)与抛物线C:
y2=4x,问:
k为何值时,直线l与抛物线C有两个交点,一个交点,无交点?
反思与感悟 直线与抛物线交点的个数,等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.
跟踪训练1 平面内一动点M(x,y)到定点F(0,1)和到定直线y=-1的距离相等,设M的轨迹是曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)在曲线C上找一点P,使得点P到直线y=x-2的距离最短,求出P点的坐标;
(3)设直线l:
y=x+m,问当实数m为何值时,直线l与曲线C有交点?
类型二 与弦长中点弦有关的问题
例2 已知A,B为抛物线E上不同的两点,若抛物线E的焦点为(1,0),线段AB恰被M(2,1)所平分.
(1)求抛物线E的方程;
(2)求直线AB的方程.
反思与感悟 中点弦问题有两种解法:
(1)点差法:
将两个交点的坐标代入抛物线的方程,作差,由k=
求斜率,再由点斜式求解.
(2)传统法:
设直线方程,并与抛物线的方程联立,消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程,由根与系数的关系,得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍,从而求斜率.
跟踪训练2 已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
类型三 抛物线性质的综合应用
命题角度1 抛物线中的定点(定值)问题
例3 已知点A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积;
(2)求证:
直线AB过定点.
反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题,解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等,解决这类问题的关键是代换和转化.
跟踪训练3 如图,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点,求证:
直线BC的斜率是定值.
命题角度2 对称问题
例4 在抛物线y2=4x上恒有两点A,B关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.
反思与感悟 轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.
跟踪训练4 已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,求A,B两点间的距离.
1.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有( )
A.4条B.3条
C.2条D.1条
2.已知点A(2,0),抛物线C:
x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|等于( )
A.2∶
B.1∶2
C.1∶
D.1∶3
3.已知点A(-2,3)在抛物线C:
y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,设C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )
A.
B.
C.
D.
4.过抛物线y2=4x的顶点O作互相垂直的两弦OM、ON,则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为________.
5.已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=3
,求此抛物线的方程.
求抛物线的方程常用待定系数法和定义法;直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决;抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论,灵活选择解题策略,对题目进行转化.
答案精析
问题导学
知识点
思考1 三种:
相离、相切、相交.
思考2 不一定,当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时,也只有一个交点.
梳理
(1)有两个或一个 有且只有一个 无
(2)两 一 没有 平行或重合 一
题型探究
例1 解 由方程组
消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
Δ=(2k2-4)2-4k4=16(1-k2).
(1)若直线与抛物线有两个交点,
则k2≠0且Δ>0,
即k2≠0且16(1-k2)>0,
解得k∈(-1,0)∪(0,1).
所以当k∈(-1,0)∪(0,1)时,
直线l和抛物线C有两个交点.
(2)若直线与抛物线有一个交点,
则k2=0或当k2≠0时,Δ=0,
解得k=0或k=±1.
所以当k=0或k=±1时,直线l和抛物线C有一个交点.
(3)若直线与抛物线无交点,
则k2≠0且Δ<0.
解得k>1或k<-1.
所以当k>1或k<-1时,
直线l和抛物线C无交点.
跟踪训练1 解
(1)x2=4y.
(2)设点P(x0,
),
点P到直线y=x-2的距离为
=
=
当x0=2时,取得最小值,此时P(2,1).
(3)由
得x2-4x-4m=0,
Δ=42-4×(-4m)≥0,m≥-1.
所以当m≥-1时,直线l和曲线C有交点.
例2 解
(1)由于抛物线的焦点为(1,0),
所以
=1,p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y
=4x1,①
y
=4x2,②
且x1+x2=4,y1+y2=2.
由②-①得,(y1+y2)(y2-y1)
=4(x2-x1),
所以
=2.
所以所求直线AB的方程为
y-1=2(x-2),
即2x-y-3=0.
跟踪训练2 解 方法一 由题意易知直线方程的斜率存在,设所求方程为
y-1=k(x-4).由
得ky2-6y-24k+6=0.
当k≠0时,Δ=62-4k(-24k+6)>0.①
设弦的两端点P1(x1,y1),P2(x2,y2),
∴y1+y2=
,y1y2=
.
∵P1P2的中点为(4,1),
∴
=2,∴k=3,适合①式.
∴所求直线方程为y-1=3(x-4),
即3x-y-11=0,
∴y1+y2=2,y1·y2=-22,
∴|P1P2|=
=
=
.
方法二 设P1(x1,y1),P2(x2,y2).
则y
=6x1,y
=6x2,
∴y
-y
=6(x1-x2),又y1+y2=2,
∴
=
=3,
∴所求直线的斜率k=3,
所求直线方程为y-1=3(x-4),
即3x-y-11=0.
由
得y2-2y-22=0,
∴y1+y2=2,y1y2=-22,
∴|P1P2|=
=
·
=
.
例3
(1)解 设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则有kOA=
,kOB=
.
因为OA⊥OB,所以kOA·kOB=-1,
所以x1x2+y1y2=0.
因为y
=2px1,y
=2px2,
所以
·
+y1y2=0.
因为y1≠0,y2≠0,
所以y1y2=-4p2,
所以x1x2=4p2.
(2)证明 因为y
=2px1,y
=2px2,
所以(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),
所以
=
,
所以kAB=
,
故直线AB的方程为
y-y1=
(x-x1),
所以y=
+y1-
,
即y=
+
.
因为y
=2px1,y1y2=-4p2,
所以y=
+
,
所以y=
(x-2p),
即直线AB过定点(2p,0).
跟踪训练3 证明 方法一 设AB的斜率为k,则AC的斜率为-k.
AB:
y-2=k(x-4)与y2=x联立得
y-2=k(y2-4),即ky2-y-4k+2=0.
∵y=2是此方程的一个解,
∴2yB=
,∴yB=
,
∴xB=y
=
,
∴B(
,
).
∵kAC=-k,
∴以-k代替k代入B点坐标得
C(
,
).
∴kBC=
=-
,为定值.
方法二 设B(y
,y1),C(y
,y2),
则kBC=
=
.
∵kAB=
=
,
kAC=
=
,
由题意得kAB=-kAC,
∴
=-
,则y1+y2=-4,
则kBC=-
,为定值.
例4 解 因为A,B两点关于直线y=kx+3对称,
所以可设直线AB的方程为x=-ky+m.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
把直线AB的方程代入抛物线方程,
得y2+4ky-4m=0,
设AB的中点坐标为M(x0,y0),
则y0=
=-2k,x0=2k2+m.
因为点M(x0,y0)在直线y=kx+3上,
所以-2k=k(2k2+m)+3,
即m=-
.
因为直线AB与抛物线y2=4x交于A,B两点,
所以Δ=16k2+16m>0,
把m=-
代入,
化简,得
<0,
所以
<0.
因为k2-k+3>0,所以
<0,
解得-1 跟踪训练4 解 由题意可设l: y=x+b,把直线方程代入y=-x2+3中, 得x2+x+b-3=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=-1,y1+y2=x1+b+x2+b=(x1+x2)+2b=2b-1. 所以AB的中点坐标为(- ,b- ), 因为该点在直线x+y=0上. 所以- +(b- )=0,得b=1. 所以|AB|= |x1-x2| = = =3 . 所以A,B两点间的距离为3 . 当堂训练 1.B 2.C [如图所示,由抛物线定义知|MF|=|MH|, 所以|MF|∶|MN|=|MH|∶|MN|. 由△MHN∽△FOA, 则 = = , 则|MH|∶|MN|=1∶ , 即|MF|∶|MN|=1∶ .] 3.D 4.16 5.解 设所求抛物线方程为y2=ax(a≠0). A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去y,得4x2-(a+16)x+16=0, 由Δ=(a+16)2-256>0,得a>0或a<-32. 又∵x1+x2= ,x1x2=4, ∴|AB|= =3 , 即5[( )2-16]=45, ∴a=4或a=-36. ∴所求抛物线的方程为y2=4x或y2=-36x.
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- 高中数学 第二 单元 圆锥曲线 方程 232 抛物线 几何 性质 教学 新人 选修 11