福建省厦门市同安区六校九级数学上学期期中联考试题.docx
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福建省厦门市同安区六校九级数学上学期期中联考试题
福建省厦门市同安区六校2017届九年级数学上学期期中联考试题
满分:
150分;考试时间:
120分钟
一、选择题(本大题10小题,每小题4分,共40分)
1、下列关于x的方程中,是一元二次方程的有( )
A.2x+1=0B.y2+x=1C.x2﹣1=0D.x2+
=1
2、方程x2﹣2x=0的根是( )
A.x1=x2=0B.x1=x2=2C.x1=0,x2=2D.x1=0,x2=﹣2
3、关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是( )
A.没有实数根B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
4、已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根,则代数式m2﹣m+2的值等于( )
A.4B.1C.0D.﹣1
5、一个三角形的两边长为3和6,第三边的边长是方程(x-3)(x-4)=0的根,则这个三角形的周长()
A.13B.11或13C.11D.11和13
6、用配方法解下列方程时,配方有错误的是( )
A.2m2+m﹣1=0化为
B.x2﹣6x+4=0化为(x﹣3)2=5
C.2t2﹣3t﹣2=0化为
D.3y2﹣4y+1=0化为
7、抛物线y=(x+2)2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移过程正确的是( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
8.如图,在正方形ABCD中,△ABE经旋转,可与△CBF重合,AE的延长线交FC于点M,以下结论正确的是( )
A.BE=CEB.FM=MCC.AM⊥FCD.BF⊥CF
9.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高( )
A.4元或6元B.4元C.6元D.8元
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列结论:
①b2﹣4ac>0;②2a+b<0;③4a﹣2b+c=0;④a+b+c>0.其中正确的是( )
A.①②B.②③C.③④D.①④
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
11.抛物线y=2(x+3)2+1的顶点坐标是___________
12.已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2,则b= .
13.如果函数y=(k﹣3)
+kx+1是二次函数,那么k的值一定是 .
14.已知抛物线y=x2﹣2(k+1)x+16的顶点在x轴上,则k的值是 .
15.某药品原价每盒25元,为了响应国家解决老百姓看病贵的号召,经过连续两次降价,现在售价每盒16元,则该药品平均每次降价的百分率是 .
16.如图,Rt△OAB的顶点A(﹣2,4)在抛物线y=ax2上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为 .
三、解答题(共86分)
17.(7分)解方程:
x2﹣6x﹣16=0
18.(7分)解方程:
2x2+3=7x;
19.(7分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根,求m的值及方程的根.
20.(7分)求抛物线y=-2x2+8x-8的开口方向、对称轴和顶点坐标。
21.(7分)已知二次函数y=x2﹣x﹣6.
(1)画出函数的图象;
(2)观察图象,指出方程x2﹣x﹣6=0的解及不等式x2﹣x﹣6>0解集;
22.(7分)某种流感病毒,有一人患了这种流感,在每轮传染中一人将平均传给x人.
(1)求第一轮后患病的人数;(用含x的代数式表示)
(2)在进入第二轮传染之前,有两位患者被及时隔离并治愈,问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生,请说明理由.
23.(7分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4,将△ABC绕点C顺时针旋转90°,若点A,B的对应点分别是点D,E,画出旋转后的三角形,并求点A与点D之间的距离.(不要求尺规作图)
24.(7分)已知抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=﹣4x+m相交于第一象限不同的两点,A(5,n),B(3,9),求此抛物线的解析式。
25.(7分)某水渠的横截面呈抛物线,水面的宽度为AB(单位:
米),现以AB所在直线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O.已知AB=8米,设抛物线解析式为y=ax2﹣4.
(1)求a的值;
(2)点C(﹣1,m)是抛物线上一点,点C关于原点O的对称点为点D,连接CD,BC,BD,求△BCD的面积.
26.(11分)某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后,经过统计得到此商品单价在第x天(x为正整数)销售的相关信息,如表所示:
销售量n(件)
n=50﹣x
销售单价m(元/件)
当1≤x≤20时,m=20+
x
当21≤x≤30时,m=10+
(1)请计算第几天该商品单价为25元/件?
(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式;
(3)这30天中第几天获得的利润最大?
最大利润是多少?
27.(12分)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(﹣1,0),如图所示:
抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?
若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2016-2017学年度第一学期期中联考
数学科评分标准
一、选择题(本大题10小题,每小题4分,共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
选项
C
C
D
A
A
C
B
C
C
D
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
11.(-3,1)12.-413.0
14.3或-515.20%16.(
,2)
三、解答题(共86分)
17.(7分)解方程:
x2﹣6x﹣16=0
解:
原方程变形为(x﹣8)(x+2)=0
x﹣8=0或x+2=0
∴x1=8,x2=﹣2;
18.(7分)解方程:
2x2+3=7x;
解:
原方程可变形为(2x﹣1)(x﹣3)=0
∴2x﹣1=0或x﹣3=0,
∴x1=
,x2=3;
19.(7分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根,求m的值及方程的根.
解:
由题意可知△=0,即(﹣4)2﹣4(m﹣1)=0,解得m=5.
当m=5时,原方程化为x2﹣4x+4=0.解得x1=x2=2.
所以原方程的根为x1=x2=2.
20.(7分)求抛物线y=-2x2+8x-8的开口方向、对称轴和顶点坐标。
解:
配方得y=-2(x-2)2
所以开口向下,对称轴x=2,顶点坐标(2,0)
21.(7分)已知二次函数y=x2﹣x﹣6.
(1)画出函数的图象;
(2)观察图象,指出方程x2﹣x﹣6=0的解及不等式x2﹣x﹣6>0解集;
解:
(1)函数图象如右:
(2)由抛物线解析式y=x2﹣x﹣6知,抛物线与x轴的交点坐标是(3,0),(﹣2,0),
方程x2﹣x﹣6=0的解是x1=﹣2,x2=3;
不等式x2﹣x﹣6>0的解集为x<﹣2或x>3;
22.(7分)某种流感病毒,有一人患了这种流感,在每轮传染中一人将平均传给x人.
(1)求第一轮后患病的人数;(用含x的代数式表示)
(2)在进入第二轮传染之前,有两位患者被及时隔离并治愈,问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生,请说明理由.
解:
(1)(1+x)人,
(2)设在每轮传染中一人将平均传给x人
根据题意得:
x﹣1+x(x﹣1)=21
整理得:
x2﹣1=21
解得:
,
∵x1,x2都不是正整数,
∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生.
23.(7分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4,将△ABC绕点C顺时针旋转90°,若点A,B的对应点分别是点D,E,画出旋转后的三角形,并求点A与点D之间的距离.(不要求尺规作图)
解:
如图,∵在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4,
∴AC=
=3,
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°,点A,B的对应点分别是点D,E,
∴AC=CD=3,∠ACD=90°,
∴AD=
=3
.
24.(7分)已知抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=﹣4x+m相交于第一象限不同的两点,A(5,n),B(3,9),求此抛物线的解析式。
解:
(1)∵直线y=﹣4x+m过点B(3,9),
∴9=﹣4×3+m,解得:
m=21,
∴直线的解析式为y=﹣4x+21,
∵点A(5,n)在直线y=﹣4x+21上,
∴n=﹣4×5+21=1,
∴点A(5,1),
将点A(5,1)、B(3,9)代入y=﹣x2+bx+c中,
得:
,解得:
,
∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+6;
25.(7分)某水渠的横截面呈抛物线,水面的宽度为AB(单位:
米),现以AB所在直线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O.已知AB=8米,设抛物线解析式为y=ax2﹣4.
(1)求a的值;
(2)点C(﹣1,m)是抛物线上一点,点C关于原点O的对称点为点D,连接CD,BC,BD,求△BCD的面积.
解:
(1)∵AB=8,由抛物线的性质可知OB=4,
∴B(4,0),
把B点坐标代入解析式得:
16a﹣4=0,
解得:
a=
;
(2)过点C作CE⊥AB于E,过点D作DF⊥AB于F,
∵a=
,
∴y=
x2﹣4,令x=﹣1,∴m=
×(﹣1)2﹣4=﹣
,
∴C(﹣1,﹣
),
∵C关于原点对称点为D,
∴D的坐标为(1,
),
则CE=DF=
,
S△BCD=S△BOD+S△BOC=
OB•DF+
OB•CE=
×4×
+
×4×
=15,
∴△BCD的面积为15平方米.
26.(11分)某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后,经过统计得到此商品单价在第x天(x为正整数)销售的相关信息,如表所示:
销售量n(件)
n=50﹣x
销售单价m(元/件)
当1≤x≤20时,m=20+
x
当21≤x≤30时,m=10+
(1)请计算第几天该商品单价为25元/件?
(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式;
(3)这30天中第几天获得的利润最大?
最大利润是多少?
解:
(1)分两种情况
①当1≤x≤20时,将m=25代入m=20+
x,解得x=10
②当21≤x≤30时,25=10+
,解得x=28
经检验x=28是方程的解
∴x=28
答:
第10天或第28天时该商品为25元/件.
(2)分两种情况
①当1≤x≤20时,y=(m﹣10)n=(20+
x﹣10)(50﹣x)=﹣
x2+15x+500,
②当21≤x≤30时,y=(10+
﹣10)(50﹣x)=
综上所述:
(3)①当1≤x≤20时
由y=﹣
x2+15x+500=﹣
(x﹣15)2+
,
∵a=﹣
<0,
∴当x=15时,y最大值=
,
②当21≤x≤30时
由y=
﹣420,可知y随x的增大而减小
∴当x=21时,y最大值=
﹣420=580元
∵
∴第15天时获得利润最大,最大利润为612.5元.
27.(12分)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(﹣1,0),如图所示:
抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?
若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)过点B作BD⊥x轴,垂足为D,
∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°,
∴∠BCD=∠CAO,
又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,
∴△BCD≌△CAO,
∴BD=OC=1,CD=OA=2,
∴点B的坐标为(﹣3,1);
(2)抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B(﹣3,1),
则得到1=9a﹣3a﹣2,
解得a=
,
所以抛物线的解析式为y=
x2+
x﹣2;
(3)假设存在点P,使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形:
①若以点C为直角顶点;
则延长BC至点P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,
过点P1作P1M⊥x轴,
∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,
∴△MP1C≌△DBC.(10分)
∴CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得点P1(1,﹣1);
②若以点A为直角顶点;
则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形△ACP2,
过点P2作P2N⊥y轴,同理可证△AP2N≌△CAO,
∴NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得点P2(2,1),
③以A为直角顶点的等腰Rt△ACP的顶点P有两种情况.即过点A作直线L⊥AC,在直线L上截取AP=AC时,点P可能在y轴右侧,即现在解答情况②的点P2;
点P也可能在y轴左侧,即还有第③种情况的点P3.因此,然后过P3作P3G⊥y轴于G,同理:
△AGP3≌△CAO,
∴GP3=OA=2,AG=OC=1,
∴P3为(﹣2,3);
经检验,点P1(1,﹣1)与点P2(2,1)都在抛物线y=
x2+
x﹣2上,点P3(﹣2,3)不在抛物线上.
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