中考数学一轮复习尺规作图专项练习题解析版.docx
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中考数学一轮复习尺规作图专项练习题解析版
中考一轮复习:
尺规作图专项练习题
1.请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
已知:
∠α,直线l及l上两点A,B.
1)请用尺规作图法,在△ABC内,求作∠ADE,使∠ADE=∠B,DE交AC于E;(不
要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在
(1)的条件下,若=2,求的值.
3.已知:
AC是?
ABCD的对角线.
图痕迹,不写作法)
2)在
(1)的条件下,若AB=3,BC=5,求△DCE的周长.
4.如图,已知等腰△ABC顶角∠A=36°.
(1)在AC上作一点D,使AD=BD(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和
证明,最后用黑色墨水笔加墨)
2)求证:
△BCD是等腰三角形.
5.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上.
(1)尺规作图:
作∠BAC的平分线,与⊙O交于点D;连接OD,交BC于点E(不写
作法,只保留作图痕迹,且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑);
2)探究OE与AC的位置及数量关系,并证明你的结论.
1)尺规作图:
不写作法,保留作图痕迹.
1作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D;
2过点D作BC的垂线,垂足为点E.
(2)在
(1)作出的图形中,求DE的长.
1)在图1中画出线段BD,使BD∥AC,其中D是格点;
2)在图2中画出线段BE,使BE⊥AC,其中E是格点.
8.【阅读理解】
用10cm×20cm的矩形瓷砖,可拼得一些长度不同但宽度均为20cm的图案.已知长度为
10cm、20cm、30cm的所有图案如下:
【尝试操作】
如图,将小方格的边长看作10cm,请在方格纸中画出长度为40cm的所有图案.
归纳发现】
观察以上结果,探究图案个数与图案长度之间的关系,将下表补充完整.
所有不同图案的个数
9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高.请用尺规作图法,求作△ABC的外接圆.(保留作图痕迹,不写作法)
求作:
∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB.
作法:
①以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
②画一条射线O′A′,以点O′为圆心,OC长为半径画弧,交O′A′于点C′;
3以点C′为圆心,CD长为半径画弧,与第②步中所画的弧相交于点D′;
4过点D′画射线O′B′,则∠A′O′B′=∠AOB.
根据上面的作法,完成以下问题:
(1)使用直尺和圆规,作出∠A′O′B′(请保留作图痕迹).
(2)完成下面证明∠A′O′B′=∠AOB的过程(注:
括号里填写推理的依据)证明:
由作法可知O′C′=OC,O′D′=OD,D′C′=,
∴△C′O′D′≌△COD()
∴∠A′O′B′=∠AOB.()
11.如图,点M和点N在∠AOB内部.
(1)请你作出点P,使点P到点M和点N的距离相等,且到∠AOB两边的距离也相等
(保留作图痕迹,不写作法);
(2)请说明作图理由.
12.按要求解答下列各题:
(1)如图①,求作一点P,使点P到∠ABC的两边的距离相等,且在△ABC的边AC上.(用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明);
(2)如图②,B、C表示两个港口,港口C在港口B的正东方向上.海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上,且在港口C的北偏西45°方向上.测得AB=40海里,求小岛A与港口C之间的距离.(结果可保留根号)
13.尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法)
DEF,使△DEF≌△ABC.
14.如图,⊙O的直径AB=10,弦AC=8,连接BC.
(1)尺规作图:
作弦CD,使CD=BC(点D不与B重合),连接AD;(保留作图痕迹,
不写作法)
(2)在
(1)所作的图中,求四边形ABCD的周长.
15.如图,四边形ABCD是矩形.
(1)用尺规作线段AC的垂直平分线,交AB于点E,交CD于点F(不写作法,保留作
图痕迹);
(2)若BC=4,∠BAC=30°,求BE的长.
16.已知:
在△ABC中,AB=AC.
(1)求作:
△ABC的外接圆.(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4,BC=6,则S⊙O=
17.如图,AD是△ABC的角平分线.
(1)作线段AD的垂直平分线EF,分别交AB、AC于点E、F;(用直尺和圆规作图,
标明字母,保留作图痕迹,不写作法.)
1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线;(保留作图痕迹,不要求写作法)
2)若
(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长.
19.尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法).
如图,已知∠α和线段a,求作△ABC,使∠A=∠α,∠C=90°,AB=a.
20.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为AB的中点,请仅用无刻度的直
尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹)
1)在图1中,画出△ABD的BD边上的中线;
21.已知:
如图,∠ABC,射线BC上一点D.
求作:
等腰△PBD,使线段BD为等腰△PBD的底边,点P在∠ABC内部,且点P到∠
ABC两边的距离相等.
22.图①、图②、图③均是6×6的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,点A、B、C、D、E、F均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法.
(1)在图①中以线段AB为边画一个△ABM,使其面积为6.
(2)在图②中以线段CD为边画一个△CDN,使其面积为6.
(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且∠EFG=90°.
23.图①,图②均为4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.在图①中已画
出线段AB,在图②中已画出线段CD,其中A、B、C、D均为格点,按下列要求画图:
(1)在图①中,以AB为对角线画一个菱形AEBF,且E,F为格点;
(2)在图②中,以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH,且G,H为格点,∠CGD=∠CHD=90°
D,使以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形.
2)在图2中仅用无刻度的直尺,把线段AB三等分(保留画图痕迹,不写画法)
25.如图,在7×5的方格纸ABCD中,请按要求画图,且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A,B,C,D重合.
(1)在图1中画一个格点△EFG,使点E,F,G分别落在边AB,BC,CD上,且∠EFG=90°.
(2)在图2中画一个格点四边形MNPQ,使点M,N,P,Q分别落在边AB,BC,CD,
DA上,且MP=NQ.
中考一轮复习:
尺规作图专项练习题
参考答案与试题解析
1.请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
已知:
∠α,直线l及l上两点A,B.
2.如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点.
要求写作法,保留作图痕迹)
2)先利用作法得到∠ADE=∠B,则可判断DE∥BC,然后根据平行线分线段成比例
定理求解.
解答】解:
(1)如图,∠ADE为所作;
(2)∵∠ADE=∠B
∴DE∥BC,
3.已知:
AC是?
ABCD的对角线.
(1)用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线,与AD相交于点E,连接CE.(保留作
图痕迹,不写作法);
(2)在
(1)的条件下,若AB=3,BC=5,求△DCE的周长.
【分析】
(1)利用基本作图作AC的垂直平分线得到E点;
(2)利用平行四边形的性质得到AD=BC=5,CD=AB=3,再根据线段垂直平分线上
的性质得到EA=EC,然后利用等线段代换计算△DCE的周长.
【解答】解:
(1)如图,CE为所作;
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC=5,CD=AB=3,
∵点E在线段AC的垂直平分线上,
∴EA=EC,
∴△DCE的周长=CE+DE+CD=EA+DE+CD=AD+CD=5+3=8.
4.如图,已知等腰△ABC顶角∠A=36
1)在AC上作一点D,使AD=BD(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和
证明,最后用黑色墨水笔加墨);
(2)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=(180°﹣36°)=72°,
∵DA=DB,
∴∠ABD=∠A=36°,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°,
∴∠BDC=∠C,
∴△BCD是等腰三角形.
5.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上.
BC于点E(不写
(1)尺规作图:
作∠BAC的平分线,与⊙O交于点D;连接OD,交作法,只保留作图痕迹,且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑);
(2)探究OE与AC的位置及数量关系,并证明你的结论.
【分析】
(1)利用基本作图作AD平分∠BAC,然后连接OD得到点E;
(2)由AD平分∠BAC得到∠BAD=∠BAC,由圆周角定理得到∠BAD=∠BOD,
则∠BOD=∠BAC,再证明OE为△ABC的中位线,从而得到OE∥AC,OE=AC.
解答】解:
(1)如图所示;
理由如下:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠BAC,
∵∠BAD=∠BOD,
∴∠BOD=∠BAC,
∴OE∥AC,
∵OA=OB,
∴OE为△ABC的中位线,
∴OE∥AC,OE=AC.
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3.
(1)尺规作图:
不写作法,保留作图痕迹.
1作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D;
2过点D作BC的垂线,垂足为点E.
(2)在
(1)作出的图形中,求DE的长.
分析】
(1)利用基本作图,先画出
CD平分∠ACB,然后作DE⊥BC于E;
2)利用CD平分∠ACB得到∠BCD=45°,再判断△CDE为等腰直角三角形,所以
DE=CE,然后证明△BDE∽△BAC,从而利用相似比计算出DE.【解答】解:
(1)如图,DE为所作;
(2)∵CD平分∠ACB,
∴∠BCD=∠ACB=45°
∵DE⊥BC,
∴△CDE为等腰直角三角形,∴DE=CE,
∵DE∥AC,
∴△BDE∽△BAC,
∴=,即=
∴=,即=
1)在图1中画出线段BD,使BD∥AC,其中D是格点;
2)在图2中画出线段BE,使BE⊥AC,其中E是格点.
分析】
(1)将线段AC沿着AB方向平移2个单位,即可得到线段BD;
2)利用2×3的长方形的对角线,即可得到线段BE⊥AC.
解答】解:
(1)如图所示,线段BD即为所求;
8.【阅读理解】
用10cm×20cm的矩形瓷砖,可拼得一些长度不同但宽度均为20cm的图案.已知长度为
10cm、20cm、30cm的所有图案如下:
【尝试操作】
如图,将小方格的边长看作10cm,请在方格纸中画出长度为40cm的所有图案.
归纳发现】
13
5个;猜想得到结论;
所有不同图案的个数
分析】根据已知条件作图可知40cm时,所有图案个数
【解答】解:
如图
根据作图可知40cm时,所有图案个数5个
50cm时,所有图案个数8个;
60cm时,所有图案个数13个;
故答案为5,8,13;
9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高.请用尺规作图法,求作△ABC的外
接圆.(保留作图痕迹,不写作法)
【分析】作线段AB的垂直平分线,交AD于点O,以O为圆心,OB为半径作⊙O,⊙O即为所求.
【解答】解:
如图所示:
⊙O即为所求.
10.已知:
∠AOB.
求作:
∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB.
作法:
①以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
②画一条射线O′A′,以点O′为圆心,OC长为半径画弧,交O′A′于点C′;
3以点C′为圆心,CD长为半径画弧,与第②步中所画的弧相交于点D′;
4过点D′画射线O′B′,则∠A′O′B′=∠AOB.根据上面的作法,完成以下问题:
(1)使用直尺和圆规,作出∠A′O′B′(请保留作图痕迹).
(2)完成下面证明∠A′O′B′=∠AOB的过程(注:
括号里填写推理的依据)证明:
由作法可知O′C′=OC,O′D′=OD,D′C′=DC,∴△C′O′D′≌△COD(SSS)
∴∠A′O′B′=∠AOB.(全等三角形的对应角相等)
【分析】
(1)根据题意作出图形即可;
(2)根据全等三角形的判定和性质即可得到结论.
【解答】解:
(1)如图所示,∠A′O′B′即为所求;
(2)证明:
由作法可知O′C′=OC,O′D′=OD,D′C′=DC,
∴△C′O′D′≌△COD(SSS)
∴∠A′O′B′=∠AOB.(全等三角形的对应角相等)
11.如图,点M和点N在∠AOB内部.
(1)请你作出点P,使点P到点M和点N的距离相等,且到∠AOB两边的距离也相等
(保留作图痕迹,不写作法);
(2)请说明作图理由.
分析】
(1)根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图;
2)根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答.
解答】解:
(1)如图,点P到点M和点N的距离相等,且到∠AOB两边的距离也相
等;
2)理由:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等、垂直平分线上的点到线段两端点
的距离相等.
12.按要求解答下列各题:
(1)如图①,求作一点P,使点P到∠ABC的两边的距离相等,且在△ABC的边AC上.(用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明);
(2)如图②,B、C表示两个港口,港口C在港口B的正东方向上.海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上,且在港口C的北偏西45°方向上.测得AB=40海里,求小岛A与港口C之间的距离.(结果可保留根号)
【分析】
(1)利用尺规作∠BAC的角平分线交AC于点P,点P即为所求.
(2)作AD⊥BC于D.解直角三角形求出AD,再利用等腰直角三角形的性质即可解决
问题.
【解答】解:
(1)如图,点P即为所求.
2)作AD⊥BC于D.
在Rt△ABD中,∵AB=40海里,∠ABD=30°,
∵∠ACD=45°,
∴AC=AD=20(海里).
答:
小岛A与港口C之间的距离为20海里.
13.尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法):
如图,已知△ABC,请根据“SAS”基本事实作出△DEF,使△DEF≌△ABC.
【分析】先作一个∠D=∠A,然后在∠D的两边分别截取ED=BA,DF=AC,连接EF即可得到△DEF;
【解答】解:
如图,
△DEF即为所求.
14.如图,⊙O的直径AB=10,弦AC=8,连接BC.
(1)尺规作图:
作弦CD,使CD=BC(点D不与B重合),连接AD;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在
(1)所作的图中,求四边形ABCD的周长.
分析】
(1)以C为圆心,
CB为半径画弧,交⊙O于D,线段CD即为所求.
2)连接BD,OC交于点E,设OE=x,构建方程求出x即可解决问题.
解答】解:
(1)如图,线段CD即为所求.
(2)连接BD,OC交于点E,设OE=x.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴BC===6,
∵BC=CD,
∴=,
∴OC⊥BD于E.
∴BE=DE,
∵BE2=BC2﹣EC2=OB2﹣OE2,
∴62﹣(5﹣x)2=52﹣x2,
解得x=,
∵BE=DE,BO=OA,
∴AD=2OE=,
∴四边形ABCD的周长=6+6+10+=.
15.如图,四边形ABCD是矩形.
(1)用尺规作线段AC的垂直平分线,交AB于点E,交CD于点F(不写作法,保留作
图痕迹);
(2)若BC=4,∠BAC=30°,求BE的长.
分析】
(1)根据线段的垂直平分线的作图解答即可;
2)利用含30°的直角三角形的性质解答即可.
分析】
(1)作线段AB,BC的垂直平分线,两线交于点O,以O为圆心,OB为半径
作⊙O,⊙O即为所求.
(2)在Rt△OBE中,利用勾股定理求出OB即可解决问题.
由题意OE=4,BE=EC=3,
在Rt△OBE中,OB==5,
∴S圆O=π?
52=25π.
故答案为25π.
17.如图,
AD是△ABC的角平分线.
1)作线段AD的垂直平分线EF,分别交AB、AC于点E、F;(用直尺和圆规作图,
标明字母,保留作图痕迹,不写作法.)
分析】
(1)利用尺规作线段AD的垂直平分线即可.
2)根据四边相等的四边形是菱形即可证明.
解答】解:
(1)如图,直线EF即为所求.
(2)∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵∠AOE=∠AOF=90°,AO=AO,
∴△AOE≌△AOF(ASA),∴AE=AF,
∵EF垂直平分线段AD,∴EA=ED,FA=FD,∴EA=ED=DF=AF,∴四边形AEDF是菱形.
故答案为菱.
18.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=8.
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)若
(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长.
MN即可.
2)设AD=BD=x,在Rt△ACD中,利用勾股定理构建方程即可解决问题.
解答】解:
(1)如图直线MN即为所求.
(2)∵MN垂直平分线段AB,
∴DA=DB,设DA=DB=x,
在Rt△ACD中,∵AD2=AC2+CD2,
∴x2=42+(8﹣x)2,
解得x=5,
∴BD=5.
19.尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法).
如图,已知∠α和线段a,求作△ABC,使∠A=∠α,∠C=90°,AB=a.
分析】根据作一个角等于已知角,线段截取以及垂线的尺规作法即可求出答案.
△ABC为所求作
20.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为AB的中点,请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1)在图1中,画出△ABD的BD边上的中线;
2)在图2中,若BA=BD,画出△ABD的AD边上的高.
分析】
(1)连接EC,利用平行四边形的判定和性质解答即可;
2)连接EC,ED,FA,利用三角形重心的性质解答即可.
解答】解:
(1)如图1所示,AF即为所求:
2)如图2所示,BH即为所求.
21.已知:
如图,∠ABC,射线BC上一点D.
求作:
等腰△PBD,使线段BD为等腰△PBD的底边,点P在∠ABC内部,且点P到∠
ABC两边的距离相等.
分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题.解答】解:
∵点P到∠ABC两边的距离相等,
∴点P在∠ABC的平分线上;∵线段BD为等腰△PBD的底边,
∴PB=PD,
∴点P在线段BD的垂直平分线上,
∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点,
22.图①、图②、图③均是6×6的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,点A、B、C、D、E、F均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法.
(1)在图①中以线段AB为边画一个△ABM,使其面积为6.
(2)在图②中以线段CD为边画一个△CDN,使其面积为6.
(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且∠EFG=90°.
分析】
(1)直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形;
2)直接利用三角形面积求法得出答案;
3)根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案.解答】解:
(1)如图①所示,△ABM即为所求;
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