水平宽铅垂高求三角形面积完整版.docx
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水平宽铅垂高求三角形面积完整版
水平宽铅垂高求三角形
面积
HENsystemofficeroom[HEN16H-HENS2AHENS8Q8-H
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
二次函数教学反思
铅垂咼
如图,过AABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫AABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在AABC内部线段的长度叫AABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法:
SZXABC二1\2ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题,经过研究,我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”,同学们很快掌握了这种方法现总结如下:
如图1,过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△遊的“水平宽”@),中间的这条直线在△遊内部线段的长度叫的"铅垂高
⑷”.我们可得岀一种计算三角形面积的新方法:
Swc=丄必,即三角形面积等2
于水平宽与铅垂高乘积的一半.
得到学段0B.”
°0、B兰点、的抛杨劇祜尿°(3)4
(2)中抛物线的对称轴上是否存在点G使疋的周
长最小?
若存在,求岀点C的坐标;若不存在,请说明理曲.(4)如果点尸是
(2)中的抛物线上的动点,且在X轴的下方,那么△验是否有最大面积?
若有,求出此时尸点的坐标及△別5的最大面积;若没有,请说明理由・
(2)设抛物线的解析式为尸祗3”,代入点方(1,石),得因此
(3)如图,抛物线的对称轴是直线A—1,当点。
位于对称轴与线段M的交点时,△必疋的周长最小.
设直线月万为尸炽b・所以
J因此直线妙为y=黑亠,
333
3
当沪一1时,尸£,因此点C的坐标为(一1,V3/3).
(4)
如图,过尸作y轴的平行线交月万于0.
例2.(2014益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点«1,4),交x轴于点4(3,0),交y轴于点£
(1)求抛物线和直线初的解析式;
(2)点尸是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结丹1,PB,当尸点运动到顶点。
时,求万的铅垂高Q及
(3)是否存在一点只使若存在,求出尸点的坐标;若不存
O
在,请说明理由.
解:
(1)设抛物线的解析式为:
y!
=«(x-l)2+4把A(3,0)代
入解析式求得0=-1所以月=-(•¥-1)2+4=-x2+2x+3设直
线M的解析式为:
旳=kx+b由儿=-x2+2x+3求得万点的坐标为(0,3)把4(3,0),3(0,3)代入y2=kx+b中解得:
k=f
(2)因为C点坐标为(1,4)所以当x=l时,y】=4,yz=2所以
CD=4-2=2S1CAB=-x3x2=3(平方单位)
2
(3)假设存在符合条件的点只设尸点的横坐标为弘△別5的铅垂高为怡则
9
h=y}—y2=(一对+2x+3)—(―x+3)=一广+3x山5^3得
8
1QQQ
—x3x(-x2+3x)=—x3化简得:
4亍-12x+9=0解得,x=—x=—KA
2822
比=』+2“3中,解得尸点坐标为(|,乎)
例3.(2015江津)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(l,0),B(-3,0)
两点,
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设
(1)中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得AQAC的周长最小?
若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理山.(3)在
(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一
点匕使△磁的面积最大?
若存在,求出点P的坐标及△磁的面积最大值•若没有,请说明理山.
•••抛物线解析式为:
y=-x2-2x+3
(2)存在。
理山如下:
山题知A.B两点关于抛物线的对称轴x=_l对称
•••直线BC与兀=-1的交点即为Q点,此时AAQC周长最小•••y=-x2-2x+3
•••C的坐标为:
(0,3)直线BC解析式为:
y=x+3Q点坐标即为<
Y=—1
AQ(-b2)
y=2
(3)答:
存在。
理由如下:
了9
设F点(Xf—x—2x+3)(一3 =S四边形—=S四边形叭。 —牙 若S四边形肿co有最大值,则比叭•就最大…•• S四边形bpco=Sr3pe+悌形peoc=2肚*PE+㊁OE(PE+OC) 1133927 =三(x+3)(—对—2x+3)+—(-x)(-x~—2x+3+3)=—三(x+—Y+—+— 222228 3叭c曰+估_927•c曰+_927927 |X=--llJ,S闷边形BPCO収人值一牙于瓦••人一匸 315315 当X=--W,—疋―2兀+3=上・••点P坐标为(—二,—) 2424 同学们可以做以下练习: 抛物线CP段(不 AAOC沿AC翻折得△APC。 (1)填空: ZPCB二—度,P点坐标为(,); 4 (2)若P,A两点在抛物线y二一一x'+bx+c上,求b,c 3 此抛物线上; (3)在 (2)中的 的值,并说明点C在 包括C,F点) 上,是否存在一点M,使得四边形MCAP的面积最大? 若存在,求出这个最大值及此时M点的坐标;若不存在,请说明理山。 2.(湖北省十堰市2014)如图①,已知抛物线y=川+加+3(#0)与兀 轴交于点J(l,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C (1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线的对称轴与x轴交于点",问在对称轴上是否存在点只使△C0为等腰三角形? 若存在,请直接写岀所有符合条件的点尸的坐标;若不存在,请说明理 III-(3)如图②,若点尸为第二象限抛物纯上一动点,连接宓CE.求四边形万血面积的最大值,并求此时疋点的坐标.7 图② 图① 3.(2015年恩施)如图11,在平面直甦棕谕中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于川、B/\ 两点,力点在原点的左侧,万点购#标为(3,\卩: 与y轴交于C(0,-3)点,点尸是直线应'下方的抛物线0\ (1)求这个二次函数的表达式] (2)连结尸0、PC,并把沿CO翻折,得到四边形POPG那么是否存在点只使四边形POPC为菱形? 若存在,请求岀此时点尸的坐标;若不存在,请说明理山. (3)当点尸运动到什么位置时,四边形如0的面积最大并求出此时尸点的坐标 和四边形月肿C的最大面积. 解: (1)将5C两点的坐标代入得 乙=一2 解得: 所以二次函数的表达式为: y=x2-2x-3图11 c=一3 (2)存在点只使四边形POPC为菱形.设尸点坐标为(x, 2x-3),〃交00于疋若四边形POPC是菱形,则有〃=P0. 疗警I(不合题意,舍 连结M则PE丄CO于E/.OE=EO7y=-2. r.x2-2x-3=-1解得為二2丁9" 22 去) ・・.p点的坐标为(寸‘弓) (3)过点尸作y轴的平行线与%交于点0,与0B交于点E设Pg W-2x-3),易得,直线恭的解析式为y=x-3则0点的坐标为(弘x—3)・ 当x=-时,四边形月眈的面积最大 2 (31SA的最大值为兰 此时尸点的坐标为‘-二,四边形丽%的面积8. U4丿 25.(2015绵阳)如图,抛物线y二/+bx+4与x轴的两个交点分别为月 (-4,0)、B(2,0),与y轴交于点G顶点为05(1,2)为线段肚的中 点,恭的垂直平分线与x轴、y轴分别交于只G. (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点。 的坐标; (2)在直线矿上求一点使△创的周长最小,并求出最小周长; (3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当攵运动到什么位置时,△耐的面 【解析】 (1)山题意,得严一弘+4=0,解得“=_丄,b二一1・4“+2b+4=0,2 所以抛物线的解析式为y=-lx2-A-+4,顶点D的坐标为(一1,? ). 22 (2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M.因为EF垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B,连结BD交于EF于一点,则这一点为所求点乩使DH+CH最小,即最小为 DH+CH二DH+HB二BD=yiBM2+DM1=-y/\3•而 2 •••ACDH的周长最小值为CD+DR+CH二、厅护、订3 2所以直线BD的解析式为y二_Jx+3-由于BC二2®CE二BC/2二$RtA 2 CEGs/XCOB, 得CE: CO=CG: CB,所以CG二,GO=.G(0,).同理可求得直线EF的解析式为y二丄x+-. 22 联立直线BD与EF的方程,解得使ACDH的周长最小的点H(? 兰). 48 (3)如图所示,设K(t,—丄八一/+4),xFVtVxE.过K作x轴的垂线交EF于 2 N. 则KN=yK-yN=-1/2-/+4-(丄t+丄)+ 222222 所以SAEFK二SAKFN+SAKNE二丄KN(t+3)+丄KN(1-t)二2KN二-f-3t 22 即当t二送时,8FK的面积最大,最大面积为普,此时K却• 平面直角坐标系中三角形面积的求法 我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题•解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧. 1.有一边在坐标轴上: 例1: 如图1,平面直角坐标系中,AABC的顶点坐标分别为(一3,0),(0, 3),(0,-1),求AABC的面积. 分析: 根据三个顶点的坐标特征可以看出,AABC的边BC在y由图形可得BC=4,点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离,也就尾匚耳A点横坐标的绝对值3,然后根据三角形的面积公式求解. 2.有一边与坐标轴平行: 例2: 如图2,三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1),B血匚車[匚1,2),求ZXABC的面积.r 分析: 由A(4,1),B(4,5)两点的横坐标相同,可知边AB_与y轴平行,因而AB的长度易求.作AB边上的高CD,就可求得线段CD的长,进而可求得三角形ABC的面积.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.三边均不与坐标轴平行: 彳列3: 巳知平面内三点A,BtC的坐标如图所示,求△4BC的面积. 分析: 由于三边均不平行于坐标轴,所以我们无法直邇二n求边长,也无法求高,因此得另想办法. 4. _ aAABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线,I直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这h: AABC内部线段的长度叫AABC的“铅垂高”(h)•我朮茴理应: U•丄•丄•农' 一种计算三角形面积的新方法: SAABc=-ah 2 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 例4: 已知: 直线Iny=-2x+6与x轴交于点A,直线L: y二x+3与y轴交于点B,直线]a、b交于点C. (I)建立平面直角坐标系,画出示意图并求出C点的坐标; (1【)利用阅读材料提供的方法求AABC的面积. 5.巩固练习: (1)已知: 如图,直线y=kx+b与反比例函数y=-(x<0)的图象相交于点 A、点B,与兀轴交于点C,其中点A的坐标为 (I)试确定反比例函数的关系式; (2)如图,在直角坐标平面内,函数y=- A(l,4),b)9其中a>\.过点A作x轴垂线,垂足为C,过点B作y轴垂 线,垂足为£>,连结AD,DC,CB. 若△ABD的面积为4,求点3的坐标;
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