最新上海教材高中数学知识点总结最全资料.docx
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最新上海教材高中数学知识点总结最全资料
一、集合与常用逻辑
二、不等式
三、函数概念与性质
四、基本初等函数
五、函数图像与方程
六、三角函数
七、数列
八、平面向量
九、复数与推理证明
十、直线与圆
十一、曲线方程
十二、矩阵、行列式、算法初步
十三、立体几何
十四、计数原理
十五、概率与统计
一、集合与常用逻辑
1.集合概念元素:
互异性、无序性
2.集合运算全集U:
如U=R
交集:
并集:
补集:
3.集合关系空集
子集:
任意
注:
数形结合---文氏图、数轴
4.四种命题
原命题:
若p则q逆命题:
若q则p
否命题:
若则逆否命题:
若则
原命题逆否命题否命题逆命题
5.充分必要条件
p是q的充分条件:
p是q的必要条件:
p是q的充要条件:
p⇔q
6.复合命题的真值
①q真(假)⇔“”假(真)
②p、q同真⇔“p∧q”真
③p、q都假⇔“p∨q”假
7.全称命题、存在性命题的否定
∀∈M,p(x)否定为:
∃∈M,
∃∈M,p(x)否定为:
∀∈M,
二、不等式
1.一元二次不等式解法
若,有两实根,则
解集
解集
注:
若,转化为情况
2.其它不等式解法—转化
或
()
()
3.基本不等式
①
②若,则
注:
用均值不等式、
求最值条件是“一正二定三相等”
三、函数概念与性质
1.奇偶性
f(x)偶函数f(x)图象关于轴对称
f(x)奇函数f(x)图象关于原点对称
注:
①f(x)有奇偶性定义域关于原点对称
②f(x)奇函数,在x=0有定义f(0)=0
③“奇+奇=奇”(公共定义域内)
2.单调性
f(x)增函数:
x1<x2f(x1)<f(x2)
或x1>x2f(x1)>f(x2)
或
f(x)减函数:
?
注:
①判断单调性必须考虑定义域
②f(x)单调性判断
定义法、图象法、性质法“增+增=增”
③奇函数在对称区间上单调性相同
偶函数在对称区间上单调性相反
3.周期性
是周期恒成立(常数)
4.二次函数
解析式:
f(x)=ax2+bx+c,f(x)=a(x-h)2+k
f(x)=a(x-x1)(x-x2)
对称轴:
顶点:
单调性:
a>0,递减,递增
当,f(x)min
奇偶性:
f(x)=ax2+bx+c是偶函数b=0
闭区间上最值:
配方法、图象法、讨论法---
注意对称轴与区间的位置关系
注:
一次函数f(x)=ax+b奇函数b=0
四、基本初等函数
1.指数式
2.对数式(a>0,a≠1)
注:
性质
常用对数,
自然对数,
3.指数与对数函数y=ax与y=logax
定义域、值域、过定点、单调性?
注:
y=ax与y=logax图象关于y=x对称(互为反函数)
4.幂函数
在第一象限图象如下:
五、函数图像与方程
1.描点法
函数化简→定义域→讨论性质(奇偶、单调)
取特殊点如零点、最值点等
2.图象变换
平移:
“左加右减,上正下负”
伸缩:
对称:
“对称谁,谁不变,对称原点都要变”
注:
翻折:
保留轴上方部分,
并将下方部分沿轴翻折到上方
保留轴右边部分,
并将右边部分沿轴翻折到左边
3.零点定理
若,则在内有零点
(条件:
在上图象连续不间断)
注:
①零点:
的实根
②在上连续的单调函数,
则在上有且仅有一个零点
③二分法判断函数零点---?
六、三角函数
1.概念第二象限角()
2.弧长扇形面积
3.定义
其中是终边上一点,
4.符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”
5.诱导公式:
“奇变偶不变,符号看象限”
如,
6.特殊角的三角函数值
0
sin
0
1
0
cos
1
0
0
tg
0
1
/
0
/
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
7.基本公式
同角
和差
sinx
cosx
tanx
值域
[-1,1]
[-1,1]
无
奇偶
奇函数
偶函数
奇函数
周期
2π
2π
π
对称轴
无
中心
倍角
降幂cos2α=sin2α=
叠加
8.三角函数的图象性质
单调性:
增减增
注:
9.解三角形
基本关系:
sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosC
tan(A+B)=-tanC
正弦定理:
==
余弦定理:
a2=b2+c2-2bccosA(求边)
cosA=(求角)
面积公式:
S△=absinC
注:
中,A+B+C=?
a2>b2+c2⇔∠A>
七、数列
1、等差数列
定义:
通项:
求和:
中项:
(成等差)
性质:
若,则
2、等比数列
定义:
通项:
求和:
中项:
(成等比)
性质:
若则
3、数列通项与前项和的关系
4、数列求和常用方法
公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法
八、平面向量
1.向量加减三角形法则,平行四边形法则
首尾相接,=共始点
中点公式:
是中点
2.向量数量积==
注:
①夹角:
00≤θ≤1800
②同向:
3.基本定理(不共线--基底)
平行:
()
垂直:
模:
=
夹角:
注:
①∥②(结合律)不成立
③(消去律)不成立
九、复数与推理证明
1.复数概念
复数:
(a,b,实部a、虚部b
分类:
实数(),虚数(),复数集C
注:
是纯虚数,
相等:
实、虚部分别相等
共轭:
模:
复平面:
复数z对应的点
2.复数运算
加减:
(a+bi)±(c+di)=?
乘法:
(a+bi)(c+di)=?
除法:
===…
乘方:
,
3.合情推理
类比:
特殊推出特殊
归纳:
特殊推出一般
演绎:
一般导出特殊(大前题→小前题→结论)
4.直接与间接证明
综合法:
由因导果
比较法:
作差—变形—判断—结论
反证法:
反设—推理—矛盾—结论
分析法:
执果索因
分析法书写格式:
要证A为真,只要证B为真,即证……,
这只要证C为真,而已知C为真,故A必为真
注:
常用分析法探索证明途径,综合法写证明过程
5.数学归纳法:
(1)验证当n=1时命题成立,
(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立
由
(1)
(2)知这命题对所有正整数n都成立
注:
用数学归纳法证题时,两步缺一不可,归纳假设必须使用
十、直线与圆
1、倾斜角范围
斜率
位置关系
相切
相交
相离
几何特征
代数特征
注:
直线向上方向与轴正方向所成的最小正角
倾斜角为时,斜率不存在
2、直线方程
点斜式,斜截式
两点式,截距式
一般式
注意适用范围:
①不含直线
②不含垂直轴的直线
③不含垂直坐标轴和过原点的直线
3、位置关系(注意条件)
平行且
垂直垂直
4、距离公式
两点间距离:
|AB|=
点到直线距离:
5、圆标准方程:
圆心,半径
圆一般方程:
(条件是?
)
圆心半径
6、直线与圆位置关系
注:
点与圆位置关系点在圆外
7、直线截圆所得弦长
十一、圆锥曲线
一、定义
椭圆:
|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)
双曲线:
|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|)
抛物线:
与定点和定直线距离相等的点轨迹
二、标准方程与几何性质(如焦点在x轴)
椭圆(a>b>0)
双曲线(a>0,b>0)
中心原点对称轴?
焦点F1(c,0)、F2(-c,0)
程序框
名称
功能
起止框
起始和结束
输入、输出框
输入和输出的信息
处理框
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立
循环框
重复操作以及运算
顶点:
椭圆(±a,0),(0,±b),双曲线(±a,0)
范围:
椭圆-a≤x≤a,-b≤y≤b
双曲线|x|≥a,y∈R
焦距:
椭圆2c(c=)
双曲线2c(c=)
2a、2b:
椭圆长轴、短轴长,
双曲线实轴、虚轴长
离心率:
e=c/a椭圆0
注:
双曲线渐近线
方程表示椭圆
方程表示双曲线
抛物线y2=2px(p>0)
顶点(原点)对称轴(x轴)
开口(向右)范围x≥0离心率e=1
焦点准线
十二、矩阵、行列式、算法初步
十、算法初步
一.程序框图
二.基本算法语句及格式
1输入语句:
INPUT“提示内容”;变量
2输出语句:
PRINT“提示内容”;表达式
3赋值语句:
变量=表达式
4条件语句
“IF—THEN—ELSE”语句“IF—THEN”语句
IF条件THENIF条件THEN
语句1语句
ELSEENDIF
语句2
ENDIF
5循环语句
当型循环语句直到型循环语句
WHILE条件DO
循环体循环体
WENDLOOPUNTIL条件
当型“先判断后循环”直到型“先循环后判断”
三.算法案例
1、求两个数的最大公约数
辗转相除法:
到达余数为0
更相减损术:
到达减数和差相等
2、多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值
秦九韶算法:
v1=anx+an-1v2=v1x+an-2
v3=v2x+an-3vn=vn-1x+a0
注:
递推公式v0=anvk=vk-1X+an-k(k=1,2,…n)
求f(x)值,乘法、加法均最多n次
3、进位制间的转换
k进制数转换为十进制数:
十进制数转换成k进制数:
“除k取余法”
例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3
例2已知f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,秦九韶算法求f(5)
123=2×48+27v0=2
48=1×27+21v1=2×5-5=5
27=1×21+6v2=5×5-4=21
21=3×6+3v3=21×5+3=108
6=2×3+0v4=108×5-6=534
Thestrandゆ崲Ma囩▼v5=534×5+7=2677
The鑱斿悎Ma愯緭
The鎵Kua繍Lu?
The鐗╄祫Ning傚満Chui勬祴十三、立体几何
1.三视图正视图、侧视图、俯视图
The鐗╂祦Chan栧寘2.直观图:
斜二测画法=450
平行X轴的线段,保平行和长度
平行Y轴的线段,保平行,长度变原来一半
The鐢indigo瓙鍖栦紒Juan?
3.体积与侧面积
The鍚堢harms鐗╂祦V柱=S底hV锥=S底hV球=πR3
The鍓嶇Jiang鏈?
S圆锥侧=S圆台侧=S球表=
4.公理与推论确定一个平面的条件:
TheMa涘嚭鍙e晢鍝佹Nan?
①不共线的三点②一条直线和这直线外一点
The鍥㈤槦Qiplay③两相交直线④两平行直线
公理:
平行于同一条直线的两条直线平行
定理:
如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两
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