普通高等学校招生全国统一考试全国新课标Ⅱ卷数学试题文科解析版.docx

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普通高等学校招生全国统一考试全国新课标Ⅱ卷数学试题文科解析版

2014年新课标II卷数学试卷（文科）

第I卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1.设集合A={-2,0,2}，B={x|x2-x-2=0}，则A⋂B=（）

A．∅B．{2}C．{0}D．{-2}

【答案解析】B.

解析：

把-2，0，2代人x2-x-2=0验证，只有2满足不等式，故选B.考点：

考查集合的知识，简单题.

1+3i

2.1-i

=（）

A．1+2iB．-1+2iC．1-2iD．-1-i

【答案解析】B.

1+3i

（1+3i）（1+i）-2+4i

解析：

===-1+2i

1-i（1-i）（1+i）2

故选B.

考点：

考查复数的基本知识，简单题.

3.函数f（x）在x=x0处导数存在，若p:

f（x0）=0,q:

x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

【答案解析】C.

解析：

极值点必为导函数的根，而导函数的根不一定是极值点，即

q⇒p,p⇒/q

故选C.

从而p是q的必要但不充分的条件

考点：

考查充要条件与极值的基础知识，简单题.

4.设向量a,b满足a+b=，a-b=，则a∙b=（）

A．1B．2C．3D．5

【答案解析】A．解析：

|a+b|=10,|a-b|=

∴a2+2a⋅b+b2=10,a2-2a⋅b+b2=6

∴4a⋅b=4

∴a⋅b=1

故选A．

考点：

考查平面向量的数量积，中等题.

5.等差数列{an}的公差为2，若a2,a4,a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn

=（）

A．n（n+1）

）B．

n（n-1）

n（n+1）

C．

2

n（n-1）

D．

2

【答案解析】A．

解析：

∵数列{an}是等差数列，公差等于2

∴a2=a1+2,a4=a1+6,a8=a1+14

∵a2,a4,a8

成等比数列

∴a2=a⋅a⇒（a+6）2=（a+2）（a

+14）

428111

解得a1=2⇒an=2+（n-1）⋅2=2n（2+2n）⋅n

∴Sn=2=n（n+1）

故选A．

考点：

考查等差数列的通项公式与求和公式，中等题.

6.如图，网格纸上正方形小格子的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛胚切削而得到，则切削掉部分的体积与原来毛胚体积的比值为（）

175

A．B．

279

101

C．D．

273

【答案解析】C.

解析：

毛胚的体积V=π⋅32⋅6=54π

制成品的体积

V=π⋅32⋅2+π⋅22⋅4=34π

1

∴切削掉的体积与毛胚体积之比为：

1-V1=1-34π=10

，故选C.

V54π27

考点：

考查三视图于空间几何体的体积，中等题.7.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为

的体积为（）

，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1

3

A．3B．

2

【答案解析】C.

C．1D．

2

解析：

∵正三棱柱的底面边长为2，D为BC中点

∴AD==

∵B1C1=2,CC1=

11

11

∴SBDC

=2⋅B1C1⋅CC1=2⋅2⋅=

11

∴VABC

=3⋅SBDC

⋅AD=⋅

3

3⋅=1

.故选C.

1111

考点：

考查空间点，线，面关系和棱锥体积公式，中等题.

8.执行右图的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7

【答案解析】D.解析：

第1次循环M=2,S=5,k=1第2次循环，M=2,S=7,k=2

第3次循环k=3>2,故输出S=7，故选D.考点：

考查算法的基本知识，简单题.

⎧x+y-1≥0

⎪

9.设x，y满足约束条件⎨x-y-1≤0

⎩

⎪x-3y+3≥0

，则z=2x+y的最大值为（）

A．8B．7C．2D．1

【答案解析】A．解析：

作图即可.

考点：

考查二元一次不等式组的应用，中等题.

10.设F为抛物线C：

y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|=

（）

A．B．6C．12D．73

【答案解析】C.解析：

∵y2=3x

∴抛物线C的焦点的坐标为：

F（3

4

0）

3

所以直线AB的方程为：

y=tan30︒（x-）

4

⎧

⎪y=

故⎨

3（x-3）

34

⎩

⎪y2=3x

12

从而16x2-168x+9=0⇒x+x

=21

2

∴弦长|AB|=x1+x2+2=12

故选C.

考点：

考查抛物线的几何性质，弦长计算以及分析直线和圆锥曲线位置关系的能力，难度为中等题.

11.若函数f（x）=kx-lnx在区间（1,+∞）上单调递增，则k的取值范围是（）

A．（-∞,-2]

B．（-∞,-1]

C．[2，+∞）

D．[1，+∞）

【答案解析】D.

解析：

f（x）=kx-lnx

∴f'（x）=k-1（x>0）

x

f（x）在区间（1,+∞）上递增

∴f（x）在区间（1,+∞）上恒大于等于0，

∴f'（x）=k-1≥0⇒k≥1（∀x∈（1,+∞））

xx

∴k≥1

故选D.

考点：

考查导数与函数单调性的关系.中等题.

00

12.设点M（x,1），若在园O:

x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x的取值范围是

（）

A．[-1,1]

【答案解析】A．

B．[-

1,1]

22

C．[-

2,2]

D．[-,]22

解析：

设N点的坐标为（cosθ,sinθ）

（1）当x0≠0,±1时

∵M点的坐标为（x0,1）

1

1-sinθ

∴OM,MN的斜率分别为：

kOM=x

kMN=x

-

cosθ

00

∵∠OMN=45︒

∴tan45︒=±kMN-kOM

⇒±（k

-k）=1+kk

1+kMNkOM

MNOMMNOM

即±（

1-sinθ-1）=1+1-sinθ⋅1

（*）

x0-cosθx0x0-cosθx0

000

取正号时，化简（*）式得：

（1+x）cosθ+（1-x）sinθ=1+x2

000

取负号化简（*）式得：

（x-1）cosθ+（1+x）sinθ=1+x2

∴

∴

故|x0|<1

且x0≠0

sin（θ+ϕ）=1+x2

≥1+x2⇒x4≤1⇒|x|≤1

（2）当x0=0时，取N（1,0）,此时满足题设.

（3）当x0=±1时，取N（0,1），此时也满足题设.

综上所述，-1≤x0≤1

，故选A．

从上面解法可以看到选择N的几个特殊位置观察，即可以猜出答案，这样就可以简化解法.考点：

考查应用斜率与倾斜角的概念，直线方程，园的方程,分析问题的能力.困难题.

第II卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.甲乙两名运动员各自从红，白，蓝3种颜色的运动服从选择1种，则他们选择相同颜色的运动服的概率为.

1

【答案解析】.

3

解析：

P==1.

3⋅33

考点：

考查古典概型的概念.简单题.

14.函数f（x）=sin（x+ϕ）-2sinϕcosx的最大值为.

【答案解析】1

解析：

因为f（x）=sinxcosϕ+cosxsinϕ-2sinϕcosx

=sinxcosϕ-sinϕcosx=sin（x-ϕ）

所以最大值为1.

考点：

考查和差角公式，简单题.

15.偶函数y=f（x）的图像关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（-1）=.

【答案解析】3

解析：

因

f（x）

是偶函数，所以

f（-1）=f

（1）

，因f（x）关于

x=2

，所以

f

（1）=f（2⋅2-1）=f（3）=3.

考点：

考查偶函数的概念，轴对称的概念.简单题.

1

n

16.数列{an}满足an+1=1-a，a2=2，则a1=.

1

【答案解析】

2

1

n

解析：

∵an+1=1-a

，a2=2

111

1

∴a2=1-a

⇒2=

1-a1

⇒a1=2

考点：

考查递推数列的概念，简单题.三、解答题（本大题共8小题）

17.（12分）

四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2.

（I）求C和BD；

（II）求四边形ABCD的面积.

【答案解析】解析：

（I）

AB=1,BC=3,CD=DA=2,A+C=180︒

∴BD2=BC2+CD2-2BC⋅CDcosC

BD2=AB2+AD2-2AB⋅ADcos（180︒-C）

∴22+32-2⋅3⋅2cosC=12+22+2⋅1⋅2cosC

∴cosC=1⇒C=60︒2

∴BD2=22+32-2⋅3⋅2cos60︒=7⇒BD=

11

（II）由（I）得，四边形ABCD的面积S=

=1⋅1⋅2sin（180︒-60︒）+1⋅2⋅3sin60︒=222

考点：

考查余弦定理的应用，中等题.

18.（12分）

AB⋅ADsinA+

22

3

BC⋅DC⋅sinC

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD中点.

（I）证明:

PB||平面AEC;

（II）设AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离.

4

【答案解析】解析：

（I）连接EF,因为四边形ABCD是矩形，故F为AC中点，又因为E为PD

中点，故EF是△PBD的中位线，从而EF||PB,故PB||面AEC.

（II）设AB=a，因AD=3,PA=1

1111

则VP-ABD=

所以a=3

2

⋅（AB⋅AD）⋅PA=⋅（a⋅3）⋅1=

32324

过A作AG垂直PB于G.

因为PA⊥面ABCD,BC⊂面ABCD⇒PA⊥BC,

又因为AB⊥BC

所以BC⊥面PAB,又BC⊂面PBC

故面PBC⊥面PAB⇒AG⊥面PBC

所以AG为点A到面PBC的距离.

因PB===

2

所以1PB⋅AG=122

PA⋅AB⇒AG=PA⋅AB=

PB

313

13

故点A到面PBC的距离为.

13

考点：

考查空间点线面的位置关系与空间距离.中等题.

19.（12分）

某市为了考核甲乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50为市民对这两部门的平分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：

（I）分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数；

（II）分别估计该市的市民对对甲，乙两部门的评分高于90的概率；

（III）根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价.

【答案解析】解析：

（I）甲部门的得分共50个，50个数字从小到大排列起来位于中间位置的数为第25，第26个数，它们分别是：

75，75，故甲部门得分的中位数是75.

乙部门的得分也是50个数，它们从小到大排列起来的第25，26个数字分别是：

66，68，

66+68

故乙部门的中为数为

2

=67.

（II）市民对甲，乙两部门的评分各有n=50个，对甲部门评分高于90分的分数有m=5个，

m

对乙部门的评分高于90分的s=8个，故对甲部门评分高于90分的概率为

n

=5=0.1，50

s

对乙部门的评分高于90的概率为

n

=8=0.16.

50

34

（III）观察茎叶图的形状，甲的分数在茎6，7处形成单峰，出现在这里面的数据频率为，

50

29

其中位数为75，乙的分数在茎5，6，7处形成单峰，出现在这个单峰里面的数据频率为，

50

3429

中位数为67.因为>

5050

75>67,这说明市民对甲部门的评价基本在75分附近，对乙部门

的评价基本在67分左右.整体看市民对甲部门的评价更好.

考点：

考查使用茎叶图及样本的数字特征估计总体的能力，中等题.

20.（12分）

x2y2

设F1,F2分别是椭圆C:

a2+b2

=1（a>b>0）的左右焦点，M是C上一点且MF2与x

轴垂直，直线MF1与C的另一个交点是N.

3

（I）若直线MN的斜率为

4

，求C的离心率;

（II）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b.

【答案解析】解析：

解析：

（I）∵MF2⊥x轴（不妨设M在x轴的上方）

⎧x2

⎨

∴M的坐标满足方程组⎪a2

y2

+=

b21

⇒

b2

M（c,）

3

∵MN的斜率为

4

b2

⎪⎩x=ca

3

∴=a

42c

⇒2b2=3ac

∵c2=a2-b2⇒2（a2-c2）=3ac

又∵e=c⇒2（1-e2）=3e⇒2e2+3e-2=0

a

∴椭圆离心率为e=.

2

（II）∵MN在y轴上的截距为2，O为F1,F2的中点

∴M的坐标为（c,4）（不妨设M在x轴的上方）

b2=

由（I）得

a

4（*）

∵|MN|=5|NF1|

∴|MF1|=4|NF1|

作NF⊥x轴于T,由于△NTF∽△MFF,故有yM

=4,2c=4

1112

133

-yN-c-xN

∴yN=-4yM

=-1,

xN=-2c

，即N（-c,-1）

2

9c2

把N点的坐标代人椭圆方程得：

4a2

1=1

b2

9（a2-b2）+1=⇒9b2-1=5

∴

4a2

b214a2b2

（**）

4

⎧⎪a=7

把（*）与（**）联立得：

⎨

⎪⎩b=2

考点：

考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，难题.

21.（12分）已知函数f（x）=x3-3x2+ax+2.曲线y=f（x）在点（0,2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2.

（I）a;

（II）证明：

当k<1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点.

【答案解析】解析：

（I）f（x）=x3-3x2+ax+2⇒f'（x）=3x2-6x+a

∵切点为（0,2）,切线过点（-2，0）

0-2

∴切线的斜率为-2-0=1

∴f'（0）=a=1

（II）由（I）知，a=1，故f（x）=x3-3x2+x+2

记g（x）=f（x）-（kx-2）=x3-3x2+（1-k）x+4，

∴g'（x）=3x2-6x+（1-k）

∴∆=36+12（1-k）=24+12k

（1）当∆≥0即-2≤k<1时

由g'（x）=0⇒x1=3

-2≤k<1

∴0

，x2=3

∴g'（x）≥0⇔xx2

g'（x）≤0⇔x1

∴g（x）在区间（-∞,x1）,（x2,+∞）

上递增，在区间

（x1,x2）上递减

∴g（x）的极小值为g（x2）=x23-3x22+（1-k）x2+4

∵g'（x2）=3x2

2-6x+1-k=0⇒x2

-2x2=

k-13

222222

∴g（x）=x（x2-2x）-x2+（1-k）x+4

=x⋅k-1-x2+（1-k）x+4=-x2-2（k-1）x+4（1≤x

<2）

23222322

记h（x）=-x2-2（k-1）x+4（1≤x<2）⇒h'（x）=-2x-2（k-1）33

2

由-2≤k<1⇒0<-

2

（k-1）≤2，由1≤x<2⇒-4<-2x≤-2

3

∴-4<-2x-

（k-1）≤0⇒h'（x）≤0

3

∴h（x）在区间[1,2）递减⇒h（x）≥h

（2）=-2（k-1）>0

3

∴g（x2）=h（x2）>0⇒g（x1）≥g（x2）>0（∵（x1,x2）是减区间）

∴当-2≤k<1时，方程g（x）=0只有一根.

（2）当∆<0即k<-2时，

有g'（x）=3x2-6x+（1-k）>0，从而g（x）在R上递增

∴当k<-2时，方程g（x）=0只有一根.

综上所述，方程g（x）=0在R上只有一根，即曲线f（x）直线y=kx-2只有唯一交点.考点：

考查利用导数综合研究函数性质的能力，难度压轴题.

22.（10分）选修4-1：

几何证明选讲

如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，

D为PC中点，AD的延长线交O于点E，证明：

（I）BE=EC

（II）AD⋅DE=2PB2

【答案解析】解析：

（I）连接OA,OD交BC于F,设

∠PAD=α，因PA是O的切线，则

∠EAO=∠OEA=90︒-α

∵PC=2PA,PC=2PD

∴PA=PD⇒PAD是等腰三角形

∴∠PDA=∠EDF=α

答案word版+微信

∵∠EDF+∠OEA=α+（90︒-α）=90︒

∴OE⊥BC故OE平分弧BC,从而BE=EC.（II）∵PA2=PB⋅PC,PC=2PD

∴PA2=PB⋅2PD

由（I）知PD=PA

∴PA2=PB⋅2PA⇒PA=2PB

∴AD⋅DE=BD⋅DC=BD⋅PA=（PD-PB）⋅PA=（PA-PB）⋅PA

=PA2-PB⋅PA=PB⋅PC-PB⋅PA=PB⋅（PC-PA）

=PB⋅（PC-PD）=PB⋅DC=PB⋅PA

把PA=2PB代人上式，得PB⋅PA=PB⋅2PB=2PB2

∴AD⋅DE=2PB2

考点：

考查与园有关的角的知识和圆幂定理的应用.难度中等.

23.（10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为

ρ=2cosθ,θ∈

π

[0,].

2

（I）求C的参数方程

（II）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:

y=

3x+2垂直，根据（I）中你得到的参

数方程，确定

D的坐标.

π

【答案解析】解析：

（I）∵极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,]

2

∴ρ2=2ρcosθ

∴对应的普通方程为：

x2+y2-2x=0（y≥0）

⎧x=1+cosϕ

，即（x-1）2+y2=1（y≥0）

版+微信

⎩

∴对应的参数方程为⎨y=sinϕ,ϕ∈[0,π]

（II）设半圆的圆心为A，则A（1,0）,又由（I）知，可以设D点坐标为（1+cosϕ,sinϕ）

∴直线DA的斜率k=tanϕ

∵切线与直线y=

3x+2垂直

p

∴tanϕ=⇒ϕ=

3

（ϕ∈[0,π]）

3

3

∴1+cosϕ=

sinϕ=

22

即D点坐标为（,）

22

考点：

本题考查园的极坐标方程参数方程以及参数方程的简单应用，难度中等题.

24.（1