高考数学全国卷1理科.docx
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高考数学全国卷1理科
2014年高考数学全国卷1(理科)
绝密★启用前
2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I卷)
数学(理科)
一•选择题:
共12小题,每小题5分,共60分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x|x22x30},B={x|—2WV2=,则
AB=
A.[-2,-1]
c.[-1,1]d.[1,2)
2(1i)3=
2
B.[-1,2)
(1I)2
A.1iB.1i
C.1
i
D.1i
3.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且
f(x)时奇函数
5
g(x)是偶函数,则下列结论正确的是
a.f(x)g(x)是偶
函数
b.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|
是奇函数
4.已知F是双曲线C:
x2my23m(m0)的一个焦点,贝点F到C的一条渐近线的距离为A..3
B.3
C..3m
D3m
■
5
8
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率
B.8
6.
如图,圆0的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线0A,终边为射线0P,
过点P作直线0A的垂线,垂足为M,将点M到直线0P的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,]上的图像大致为
7.执行下图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,
8.
[开始入
否
则输出的M=
P3
.P1,
10.
准线为I,P是l-
-H-uuuuuur|-trr
右FP4FQ,贝U|QF|
已知抛物线C:
y28x的焦点为F一点,Q是直线PF与C的一个焦点,
A.7
2
c.3d.2
11.已知函数f(x)=ax33x21,若f(x)存在唯一的零点X。
,
且xo>0,则a的取值范围为
A.(2,+x)B.(-8,-2)
(1,+8)D.(-8,-1)
12.如图,网格纸上小正方形的边长为
1,粗实线画出的是某多面体的三视
B.42
图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为
c.6
D.4
第口卷(非选择题共90分)
本卷包括必考题和选考题两个部分。
第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。
第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。
二•填空题:
本大题共四小题,每小题5分。
13.(xy)(xy)8的展开式中x2y2的系数为佣数
字填写答案)
14•甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C
三个城市时,
甲说:
我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:
我没去过C城市;
第5页共16页
可判断乙去过的城市为
15.已知A,B,C是圆0上的三点,若AO1(ABAC)
则AB与AC的夹角为.
16.已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,
a=2,且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC,贝ABC面积的最大值为.
三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(I)证明:
an2an
仃.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Snai=1,an0,anan1Sn1,其中为常数.
(n)是否存在,使得{an}为等差数列?
并说明理
18.(本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(I)求这500件产品质量指标值的样本平均数X和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(n)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.
(i)利用该正态分布,求P(187.8Z212.2);
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,学
科网记X表示这100件产品中质量指标值为于区间
(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求
附:
150〜12.2若Z〜N(,2),则
20.(本小题满分12分)已知点a(0,-2),椭圆e:
X2b21(ab0)的离心率为f,F是椭圆的焦点,直线ab2
AF的斜率为字,O为坐标原点.
3
(I)求E的方程;
(U)设过点A的直线I与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求I的方程•
.x1
21.(本小题满分12分)设函数f(x。
aexInx叮,曲线
x
yf(x)在点(1,f
(1))处的切线为ye(x1)2.(I)
求a,b;(H)证明:
f(x)1.
请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。
注意:
只能做所选定的题目。
如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔
在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4—1:
几何证明选讲如图,四边形ABCD是OO的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE
(I)证明:
/D=ZE;学科网
(H)设AD不是OO的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:
△ADE为等边三角形.
23.
x2t
y22t
(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
已知曲线c:
(t为参数)•
(I)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(U)过曲线C上任一点P作与l夹角为30。
的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值•
24.(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲若a0,b0,且11VOb
ab
(I)求a3b3的最小值;
(U)是否存在a,b,使得2a3b6?
并说明理由.
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I答案
1—5ADCAD6—12CDCBBCB
13.—2014.A15.90°16•血
17•【解析】:
(I)由题设寺寺1〈1,需寺2Sn11,两
式相减
an1an2anan1,由于an0,所以
an2an
(U)由题设a1=1
知a31
假设{%}为等差数列,则ai,a2,a3成等差数列,
aia32a?
,解得4;
证明4时,{an}为等差数列:
由an2an4知
数列奇数项构成的数列a2mi是首项为1,公差为4的等差数列a2mi4m3
令n2m1,贝卩m—―1,・・an2n1(n2m1)
27
数列偶数项构成的数列a2m是首项为3,公差为4的等差数列a2m4m1
令n2m,贝卩m£,・・an2n1(n2m)
・・an2n1(nN*),a.1a.2
因此,存在存在4,使得{an}为等差数
列.12分
18.【解析】:
(I)抽取产品质量指标值的样本平均数X和样本方差s2分别为
x1700.021800.091900.222000.33
2100.242200.082300.02
200
2222
s300.02200.09100.2200.33
222
100.24200.08300.02
6分
(n)(i)由(I)知Z〜N(200,150),从而
P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.6826
9分
(ii)由(i)知,一件产品中质量指标值为于区
间(187.8,212.2)的概率为0.6826
依题意知X:
B(100,0.6826),所以
EX1000.682668.2612分
BCBCi
平面
19.【解析】:
(I)连结BG,交EC于O,连结AO.因为侧面BBGC为菱形,所以BCBG,且O为BC与BG
的中点•又ABBQ,所以BQ平面ABO,故B.CAO又BOCO,故
ACAB1…
(U)因为ACAB,且o为EC的中点,所以
AO=CO又因为AB=BC,所
以BOABOC
故OA丄OB,从而OA,OB,
OB,两两互相垂直.
以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,OB为单位长,建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.因
为CBBi600,所以CBBi为等边三角形.又AB=BC则
A。
。
,;,B1。
0,B10-33-0,C0,J0
UULT33UUUUUUU3UUULTLUU
AB10,,ABAB1,0,——,B1C1BC
3313
设nx,y,z是平面的法向量,则
3y3z0r
,即33所以可取n
x基z0
3
ITUlUU
设m是平面的法向量,则mgAUB1
ngBQ
则cosn,m軒乩1,所以二面角
rujirngAB0rujuurngA,B10
ngm
20.【解析】(I)设Fc,0
又c3a2,
所以a=2
x2
4
y21
设Pxny1,QX2,讨2 b2a c21 1,3,3 : ,同理可取m1,3'3 .6分 lx轴不合题意, ABiCi的余弦值为 由条件知- c 故设直线I: ykx 2 将ykx2y21,得 477 、[/ 当16(4k23)0,即k23时, 4k21g4k23 X1,2 8k24k23 14k2 从而|PQ|血口卜1X2 14k2 又点O到直线PQ的距离d 2,所以OPQk21 的面 ^积SopqPQ 44k23 设4k23t, 则t0,Sopq 4t t24 当且仅当 2,k斗时等号成立,且满足 所以 当OPQ 的面积最大时,l的方程为: y7x2 2 21•【解析】(I)函数 f(x)aexInx x 由题意可得 f(x)的定义域为 a1,b2 ax e2 xx f (1)2,f (1)e,故 6分 f(x)exlnx,从而f(x)1等价于 x7 bx1bx1 e-e x (H)由(I)知, xlnxxe e 设函数g(x)xlnx,则g(x)xlnx,所以当x0,-e 时,g(x)0,故 在\单调递 e 的最小值为 时, g(x) g(x)0 从而 g(-)丄. ee 8 设函数 增, 0,1单调递减,e g(x)在0, 「1x,所以当 x0,1时,h(x)0,当x1,时, h(x)0,故h(x)在0,1单调递增,在 1,单调递减,从而h(x)g(x)在0,的 最小值为h⑴1.综上: 当x0时,g(x)h(x),即 e71 h(x) xe 2,则h(x)e f(x)1.12分 22.【解析】.(I)由题设知得A、B、C、D四点共圆,所以D=CBE,由已知得,CBE=E,所以D=E5分 (H)设BCN中点为,连接MN,则由MB=MC 由(I) (1)知D=E 1 知MN丄BC所以O在MN上,又AD不是O 的直径,M为AD中点,故OM丄AD,即 MN丄AD,所以AD//BC,故A=CBE,又CBE=E,故A=E 所以△ADE为等边三角形. 分 x2cosy3sin 的参数方程为: 23.【解析】.(I)曲线C 2xy60 4cos3sin6, (n) (2)在曲线C上任意取一点P(2cos,3sin到I的距离为 d5 d— 5 则|PA|dosin300 tan4 3' 当sin 其中为锐角•且 1时,|PA|取得最大值,最大值为泌; 5 当sin 1时,|PA|取得最小值,最小值为 abJ2 a3b3的 使得 255.ic分 5 24.【解析】(I)由石b1£忌,得ab2,且当时等号成立, 故a3b33a3g)342,且当ab2时等号成立,/.最小值为42.…厶分 (H)由(I)知: 2a3b26ab43, 由于43>6,从而不存在a,b, 2a3b6.10分
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