高考圆锥曲线知识点题型全总结.docx
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高考圆锥曲线知识点题型全总结
圆锥曲线全总结及全题型解析
1.圆锥曲线的两定义:
第一定义中要重视“括号”内的限制条件:
椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常,且此常数一定要大于,当常数等时,轨迹是线段FF,当常数小时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于F
|,定义中的“绝对值”与<|FF|不可忽视。
若=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若﹥|FF|,则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
(1)椭圆:
焦点在轴上时(),焦点在轴上时=1()。
方程表示椭圆的充要条件是什么?
(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。
(2)双曲线:
焦点在轴上=1,焦点在轴上=1()。
方表示双曲线的充要条件是什么?
(ABC≠0,且A,B异号)。
(3)抛物线:
开口向右时,开口向左,开口向上时
,开口向下时。
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:
由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
(2)双曲线:
由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:
焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
提醒:
在椭圆中,最大,在双曲线中,最大。
4.圆锥曲线的几何性质:
(1)椭圆(以()为例):
①范围:
;②焦点:
两个焦点;③对称性:
两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,
其中长轴长为,短轴长为;④准线:
两条准线;⑤离心率:
,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。
(2)双曲线(以()为例):
①范围:
或;②焦点:
两个焦点;③对称性:
两条对称轴,一个对称中心(0,0),两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为
;④准线:
两条准线;⑤离心率:
,双曲线,等轴双曲线
,越小,开口越小,越大,开口越大;⑥两条渐近线。
(3)抛物线(以为例):
①范围:
;②焦点:
一个焦点,其中
的几何意义是:
焦点到准线的距离;③对称性:
一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);
④准线:
一条准线;⑤离心率:
,抛物线。
在椭圆外
5、点和椭圆()的关系:
(1)点;
(2)点在椭圆上=1;(3)点在椭圆内
6.直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)相交:
直线与椭圆相交;直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一
定,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。
(2)相切:
直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线与抛物线相
切;
(3)相离:
直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相离。
提醒:
(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:
相切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线
与抛物线相交,也只有一个交点;
(2)过双曲线=1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:
①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线
和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:
一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)
过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:
两条切线和一条平行于对称轴的直线。
7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:
,即为短轴端点时,的最大值为bc;对于双曲线。
如
(1)短轴长,
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:
(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;
(2)设AB为焦点弦,M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A,B,若P为AB的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。
9、弦长公式:
若直与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,
=,分别为A、B的纵坐标,=,若弦AB所在直线
方程设为,则=。
特别地,焦点弦(过焦点的弦):
焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。
抛物线:
在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率。
提醒:
因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别
忘了检验!
11.了解下列结论
(1)双曲线的渐近线方程为;
(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为参数≠0)。
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为;
(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线的距
离),抛物线的通径为,焦准距为;
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;
(6)若抛物线的焦点弦为AB,,则①;
②
(7)若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定
点
12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:
(1)给出直线的方向向或;
(2)给出与相交,等于已知的中点;
(3)给出,等于已知的中点;
(4)给出,等于已知的中点三点共线;
(5)给出以下情形之一:
①;②存在实数;③若存在实数
等于已知三点共线.
(6)给出
等于已知
即
是直角,给出
等于已知
是钝角,
给出
等于已知
是锐角,
(8)给出,等于已知是的平分线/
(9)在平行四边形
中,给出
,等于已知
是菱形;
(10)在平行四边形
中,给出
,等于已知
是矩形;
(11)中,给出,等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);
(12)中,给,等于已是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);
(13)中,给,等于已是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);
(14)中,给出等于已通的内心;
(15)在中,给等于已知是的内心(三角形内切
圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);
(16)在中,给,等于已知是中边的中线;
(3)已知A,B为抛物线x2=2py(p>0)上异于原点的两点,点C坐标为(0,2p)
(1)求证:
A,B,C三点共线;
(2)=()且试求点M的轨迹方程。
(1)证明:
设,由得
,又
,,即A,B,C三点共线。
(2)由
(1)知直线AB过定点C,又由及=()知OM⊥AB,垂足为M,所以点M的轨迹为以OC为直径的圆,除去坐标原点。
即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x≠0,
y≠0)。
13.圆锥曲线中线段的最值问题:
例1、
(1)抛物线C:
y2¬=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为
¬
(2)抛物线C:
y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。
分析:
(1)A在抛物线外,如图,连PF,则,因而易发现,当A、P、F三点共线时,距离和最小。
(2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R三点共线
时,距离和最小。
解:
(1)(2,)
(2)()
1、已知椭圆C1的方程为,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:
与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A
和B满(其中O为原点),求k的取值范围。
解:
(Ⅰ)设双曲线C2的方程为,则
故C2的方程为(II)将
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
即①
.由直线l与双曲线C2恒有两个不
同的交点A,B得
解此不等式得③
由①、②、③
故k的取值范围
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y=-3上,M点满足MB//OA,MA•AB=MB
•BA,M点的轨迹为曲线C。
(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=(-x,-1-y),=(0,-3-y),=(x,-2).再由愿意得知(
+)•=0,即(-x,-4-2y)•(x,-2)=0.
所以曲线C的方程式为x-2.(Ⅱ)设P(x,y)为曲线x-2上一点,因为yx,所以的斜率x因此直线的方程,即。
则O点到的距.又,所当=0时取等号,所以O点距离的最小值为2.
设双曲线(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于()
设双曲线的一条渐近线,则双曲线的离心率为().
过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若
,则椭圆的离心率为
已知双曲线的左、右焦点分别是、,其一条渐近线方程为,点
·
在双曲线上.则=()0
已知直线与抛物线相交于两点,为的焦点,若
,()
已知直和直,抛物上一动点到直和直的距离之和的最小值是()
设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点。
若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为.
椭的焦点为,点P在椭圆上,若,则;的大小为.
过抛物的焦点F作倾斜角的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为
8,
【解析】设切点,则切线的斜率为.由题意有又解得:
双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=
所以
由渐近线方程为
知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是
,于是两焦点坐标分别是(-2,0)和
(2,0),且
或.不妨去
,则
∴
,.
·
=
【解析】设
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